哈三中第一次高考模拟考试数学试题分析_2

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2016年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【知识点】抽样【试题解析】由于男生、女生的差异比较明显，故采用分层抽样法。

故答案为：D【答案】D2. 已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B ⋂=， 则m n +=A ．1B ．2C ．4D ．8 【知识点】集合的运算 【试题解析】若，则．所以所以m+n=1． 故答案为：A 【答案】A3. 若)2,1(=a，(),1b m =，若ab ，则=mA ．21-B ．21C ．2 D. 2-【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若则故答案为：B【答案】B4. 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的最大值为A. 3- B ．3 C ．4 D. 2- 【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域：所以的最大值为3．故答案为：B【答案】B5．已知数列{}n b是等比数列，9b是1和3的等差中项，则216b b=A．16 B．8C．2 D．4【知识点】等比数列等差数列【试题解析】因为是1和3的等差中项，所以又等比数列中，故答案为：D【答案】D6. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是11正视图11左视图A ．B ．C ． D.【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】显然C 不正确。

2019届高三第一次模拟考试（内用）理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）正视图侧视图俯视图A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三视图可判断该几何体为三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，且底面为直角三角形，直角边分别为1和2，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体体积问题，首先由三视图还原几何体，再由体积公式求解即可，属于常考题型.4.已知，，，则（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．5.已知数列的前项和，且，则（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，且，∴，即∴，当时，，∴，即，∴∴∴故选：C 6.设随机变量，，若，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】，选B.7.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为，且在双曲线上到的距离为的点有且仅有个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.8.甲、乙等人排一排照相，要求甲、乙人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有种排法，其余人排其它个位置，共有种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有种．故选．点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为，则判断框中的条件不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，所以判断条件为？时，，输出的结果不为0．故选A.10.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11.已知，在这两个实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据这五个数构成等差数列，可用，表示出后三项，再由，令，代入后三项的和，即可求出结果.【详解】因为在实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为，由等差数列的性质可得，所以，同理可得，所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以.故选D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质和三角函数的性质，即可求解，属于常考题型.12.函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意画出函数图像：设有两个根，每个t值对应两个x值，故情况为当属于情况一时，将0代入方程得到m=1,此时二次方程的根是确定的一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况二时，故答案为：C.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。

高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14-4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知00:,5100np n N ∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,5100n n N ∀∈<B ．,5100nn N ∀∈≥ C. 00,5100nn N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．410+ B ．410- D7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223- C. 101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A ．0B ． C. 4036 D ．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A +D ．10. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b -=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ）A ．8B ．．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a = ．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是 ．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为 ． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且22cosB a 4ac b =-+，则B = ． 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率. 19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,2ABCD A B A A AB AC ===，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-. ①证明：PP PF'为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.21. 已知函数()a f x x x=+. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当 ()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x ty t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1fx x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB二、填空题13. ± 14. 甲 15. 9 16.6π（或30°） 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222nn nn nT --=+++++， ∴2111111122121222222212nn n n n nn n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙， 22S S <甲乙，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=， 另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种， 其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况， 则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，02,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ， 则AN ⊥平面11B BCC ，在Rt ABM ∆中可求得AM BM ==AN =所以，点A 到平面11B BCC 20.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-， 由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴1244,22x x mAF BF MF ++=-=+=∵,,AF MF BF 成等差数列，∴2AF BF MF +=，即42m +=解得125m =或43m =-， 又因为22m -<<，所以43m =-.21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x -'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数；②若0a>，则()200f x x a x '>⇒->⇒<或x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x=-=+-->，()22211a x x a h x x x x --'=--=，设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数，()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数， 又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >， 所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==， 所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，第11页 共11页 ()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

2016年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是 A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法2. 已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B ⋂=，则m n +=A ．1B ．2C ．4D ．83. 若)2,1(=a ϖ，(),1b m =r ，若a r P b r ，则=mA ．21- B ．21C ．2D. 2-4. 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的最大值为A. 3- B ．3 C ．4 D. 2-5． 已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =A ．16B ．8C ． 2D ．46. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是A ．B ．C ． D.7. 如果函数)2sin(2ϕ-=x y 的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则正视图左视图满足条件的直线l 有A ． 4条B ． 3条C ．2条D ．无数条9. 已知0x （10>x ）是函数11ln )(--=x x x f 的一个零点，若),1(0x a ∈， ),(0+∞∈x b ，则A ．0)(<a f ，0)(<b fB ．0)(>a f ，0)(>b fC ．0)(<a f ，0)(>b fD ．0)(>a f ，0)(<b f10. 已知函数⎩⎨⎧≤-->+=0,10,log 3)(22x x x x x x f ，则不等式5)(≤x f 的解集为A. []1,1-B.(]()4,02,⋃-∞-C. []4,2-D.(][]4,02,⋃-∞-11. 直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率 1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距A. 为定值3-B. 为定值3C. 为定值1-D. 不是定值12. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1A 距离是2的点形成一 条封闭的曲线，这条曲线的长度是 A ．π B ．32πC ．3πD.52π2016年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 ．14. 若p 是q 的充分不必要条件,则p ⌝是q ⌝的 条件.15. 下列命题①已知,m n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，并且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“m //n ”的必要不充分条件； ②不存在(0,1)x ∈，使不等式23log log x x <成立； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；④R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数. 正确的命题序号是 ．16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，M 为AB 边的中点，()λλ=∈u u u u r u u u r CM MP R 且cos cos =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u ur CA CBMP CA A CB B，又已知2=u u u u r cCM ， 则角=C ．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =, .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设数列11+=n n n a a b ，求{}n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）哈三中某兴趣小组为了调查高中生的数学成绩是否与物理成绩有关系，在高二年级随机调 查了50名学生，调查结果表明：在数学成绩较好的25人中有18人物理成绩好， 另外7人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩好，另外19人物理成 绩一般.(Ⅰ) 试根据以上数据完成以下22⨯列联表,并运用独立性检验思想,指出是否有99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系.1221a a +=(Ⅱ) 现将4名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别编号为1,2,3,4,将4名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别编号1,2,3,4,从这两组学生中各任选1人进行学习交 流,求被选取的2名学生编号之和不大于5的概率. 附：)(2k K P ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19．（本小题满分12分）边长为4的菱形ABCD 中，满足60DCB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD 和CB 的中点， AC 交BD 于点H ，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置,使平面ABD PEF 平面⊥,连接PA ，PB ，PD ，得到如图所示的五棱锥P ABFED -. (Ⅰ) 求证：BD PA ⊥； (Ⅱ) 求点D 到平面PBF 的距离．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，设右焦点为F ，过原点O的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且14OM ON ⋅=-u u u u r u u u r .(Ⅰ) 若离心率e =12，求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求椭圆C 的长轴长的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数=)(x f 212x ax e x---，R x ∈．（Ⅰ）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若对任意0≥x 都有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围；请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）如图, B A ,是⊙O 上的两点，P 为⊙O 外一点，连结PB PA ,分别交⊙O 于点D C ,，且AD AB =，连结BC 并延长至E ，使PAB PEB ∠∠=. (Ⅰ) 求证：PD PE =; (Ⅱ) 若1==EP AB ，且°120=BAD ∠，求AP .23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y x 2212（t 为参数）．在极坐标 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中， 圆C 的方程为θρcos 4=． (Ⅰ) 求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为)1,2(，求|PA |＋|PB |．AB24.（本小题满分10分）关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3 (m 为整数) . （Ⅰ）求整数m 的值;（Ⅱ）已知R c b a ∈,,,若m c b a =++444444, 求222c b a ++的最大值.一模文科数学答案选择题DABBD CCBCC AD 填空题 13.5019 14 . 必要不充分 15. ① 16. 2π 三．解答题17.（1）解:由已知有2,11==d a , ………………………..4分 则12-=n a n …………………………..6分 （2）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n , ………………………….10分则12+=n nT n ………………………………..12分……………………..2分538.112≈K …………………………….5分有9.99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系. ………………………………6分 （2）85………………………………..12分 19.(1)因为平面ABDPEF 平面⊥,平面ABD PO PEF PO EF ABD PEF ⊥∴⊂=⋂,,平面则BD PO ⊥,又APO BD APO PO APO AO O PO AO BD AO ⊥∴⊂⊂=⋂⊥,,,,PA BD APO AP ⊥∴⊂,Θ ………………………………….6分 （2）5154 ……………………………………12分 20.（1）1121622=+y x …………………….3分 （2）设)2,22(),2,22(),,(),,(00000000y x N y x M y x B y x A --+--则 (4)1)(4112020-=+-=⋅y x N O M O ρρ,则52020=+y x , …………………….6分设l 方程为kx y =,和椭圆方程142222=-+a y a x 联立消元整理得[],,04)4(22222220a k a a a a x ∈-+-= …………………10分 所以长轴长范围是[]6,52 …………………………………12分 21. (1)解: 21)(--='x e x f x, ……………………………..1分 令)()(x f x g '=,则1)(-='xe x g ,则当)0,(-∞∈x 时, ,0)(<'x g 则)(xf '单调递减,当),0(+∞∈x 时, ,0)(>'x g 则)(x f '单调递增. …………………………………4分所以有021)0()(>='≥'f x f ,所以()上递增，－在∞+∞)(x f ……………………..6分(2) 当0≥x 时,a x e x f x --=')(,令)()(x f x g '=,则01)(≥-='x e x g ,则)(x f '单调递增,a f x f -='≥'1)0()( …………………… 7分当1≤a 即01)0()(≥-='≥'a f x f 时, ()上递增，在∞+0)(x f ,0)0()(=≥f x f 成立;……………………………………….9分当1>a 时,存在),0(0+∞∈x ,使0)(0='x f ,则()上递，在00)(x x f 减,则当),0(a x ∈时, 0)0()(=<f x f ,不合题意. ……………………………………11分综上1≤a …………………………..12分22. （1）连结DC ，因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠,ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =, 所以 ADB ABD ∠=∠,所以PCD PCE ∠=∠.·················3分 由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠,所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =,所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.················5分(2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠所以ABC ∆∽APB ∆, 则)(2PC AP AP AC AP AB -=⋅=,所以)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP +=⋅=⋅=-又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP ,················8分 所以322+=AP .所以 262+=AP .················10分23. (1)求圆C 的直角坐标方程4)2(22=+-y x ……………….3分 A BAB P（2）设点A 、B 对应的参数分别为21,t t ,将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221222代入4)2(22=+-y x 整理得0322=-+t t ,则⎩⎨⎧-=-=+⋅322121t t t t , …………………..5分又|PA|＋|PB|=144)(212212121=-+=-=+t t t t t t t t ……………………..10分24.（1）由12≤-m x 有2121+≤≤-m x m , ……………………….2分 关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3,则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤-<42133212m m ,即75<<m ,又m 为整数,则6=m ……………………..5分（2）由6444444=++c b a 有23444=++c b a , 由柯西不等式有()()()29)()()(1112222222222222=++++≤++c b a c b a 当且仅当421===c b a 时,等号成立, ……………..8分 所以222c b a ++的最大值为223 …………………10分。

黑龙江省哈尔滨三中2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数3sin 4cos y x x =+，x ∈R 的值域是（ ） A ．[]7,7-B ．[]5,5-C ．[]4,4-D ．[]3,3-2．已知等比数列{}n a 的前n 项和3nn S a =+（a 为常数），则数列2{}n a 的前n 项和为（ ）A ．1(91)2n- B ．1(91)4n- C ．1(9)8na +D ．3(91)8na +-3．已知函数()31log 5xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数x 0是方程f(x)＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零4．1x >是21x >的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数()2sin f x x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x =图象，若关于x 的方程()g x a =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．[2,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-6．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线E 交于,A B 两点，与双曲线E 的渐近线交于,C D两点，若AB ，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A．y =B．y =C ．2y x =± D．y =±7．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．38．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，V ABC是边长为PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．654πB ．16πC ．6516πD ．494π9．设11321log 2,log 3a b ==， c ＝0.3，则( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<c<aD ．b<a<c10．若将函数cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z x ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈11．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()f x =sgn x x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图所示，等边ABC ∆的边长为2，AM BC P ，且6AM =.若N 为线段CM 的中点，则AN BM ⋅=u u u r u u u u r（ ）A ．18B ．22C ．23D ．24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年第一次验收考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列关系：①πR ∈；②{}{}22024,1202520240x x x =-+=；③{}0∅⊆；④(){}(){}21,2,2x y y x x -⊆=--.其中正确的个数为（）A .1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐一判断各个命题即可作答.【详解】显然πR ∈，{}0∅⊆，①③正确；2}{}{|(1)(2024)0}{1,20|20252024024x x x x x x =-=+=--=，②正确；在2y x x 2=--中，当1x =时，=2y -，即有2(1,2){(,)|2}x y y x x -∈=--，因此2{(1,2)}{(,)|2}x y y x x -⊆=--，④正确，所以正确命题的个数是4.故选：D2.下列选项中表示同一函数的是（）A.()0f x x =与()1g x =B.()f x x =与()2x g x x=C.()f x =与()2023g x x =-D.()1,01,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩与(),01,0xx x g x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩【答案】D 【解析】【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A ，()0f x x =的定义域为{|0)x x ≠，而()1g x =定义域为R ，故二者不是同一函数；对于B ，()f x x =的定义域为R ，与()2x g x x=的定义域为{|0)x x ≠，故二者不是同一函数；对于C ，()|2023|f x x ==-与()2023g x x =-对应关系不同，故二者不是同一函数；对于D ，()1,0,01,01,01,01,01,0x xx x x g x x x x x >⎧⎧≠≥⎧⎪⎪====⎨⎨⎨-<⎩⎪⎪-<=⎩⎩与()1,01,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数，故选：D3.若集合{}1A x x =≥，60,N 1x B x x x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,5B.(]1,5 C.{}2,3,4,5,6 D.{}1,2,3,4,5,6【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式||1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，即(,1][1,)A =-∞-+∞ ，解不等式601x x -≤-，得16x <≤，于是{2,3,4,5,6}B =，所以{2,3,4,5,6}A B = .4.若函数()21f x -的定义域为[]1,1-，则函数1y -=）A.(]1,2- B.[]0,2 C.[]1,2- D.(]1,2【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.【详解】由函数()21f x -的定义域为[]1,1-，即11x -≤≤，得3211x -≤-≤，因此由函数1y -=有意义，得31110x x -≤-≤⎧⎨->⎩，解得12x <≤，所以函数1y -=(]1,2.故选：D5.已知()0,1x ∈，则121x x+-的最小值为（）A.6B.3+ C.2+ D.4【答案】B 【解析】【分析】根据11x x +-=得到122121b a x x a b+=+++-，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】设x a =，1x b -=，则1a b +=，(),0,1a b ∈，()12121221231b a a b x x a b a b a b ⎛⎫+=+=++=+++≥+ ⎪-⎝⎭2b aa b=，即1a =-，2b =.故选：B.6.已知函数()22,24,22x ax x f x a x x x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪-⎩的最大值为1，则实数a 的值为（）A.1a =±B.54a =C.7a =D.54a =或7a =【答案】A【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可作答.【详解】当2x >时，4()2[(2)]262f x a x a a x =---+≤----，当且仅当422x x -=-，即4x =时取等号，依题意，61a -≤，即7a ≤，当2x ≤时，22()()f x x a a =--+，若2a ≤，则当x a =时，2max ()1f x a ==，解得1a =±，符合题意，若27a <≤，则当2x =时，max ()441f x a =-+=，解得54a =，矛盾，所以实数a 的值为1±.故选：A7.已知0a b >>且1ab =，若把2b a()a b +，2ab 按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（）A.2baB.()a b + C.2ab D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决.【详解】法一：特殊值法.令3a =，13b =，则133122ba =>，()5353221a b -+==，而5321111422>>=1224a b =，所以()22a b b a a b +>>()a b +.法二：不等式的性质由题意，10>>>a b ，所以22a b a b ⋅>⋅，所以22b aa b>，又2bbb a +>=，所以()21a b a bba ++>=’又2abab +=>，所以()12a ab a bb++<=’所以()22a b b a a b+>>()a b +.法三：构造函数log 221log 12222a a a b aa -==()22a b a b +-+=，log 221log 12222b b b a b b -==，问题变为比较2log 1a a -，2a b+-，2log 1b b-的大小.构造函数2211log )log 221()(g x x x x x x x x +--=+=--，0x >很显然，()g x 为两个增函数的和，在(0,)+∞为增函数，所以()(1)0()g a g g b >=>，所以2211log log 22121b a ba b a b a b a +>--++-==>--，所以log log 2211222b a b a b a +--->>，即()22a b b a a b +>>.故选：B.8.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对,0m n ∀>满足()()()3f m n f m f n +=+-，()36f =，当0x >时()3f x >，则关于a 的不等式()254f a a --<的解集为（）A.()2,3- B.()3,2- C.121121,22⎛+ ⎪⎝⎭D.1211212,22⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的单调性，并求出(1)f 的值，再利用单调性脱去法则“f ”求解作答.【详解】对,0m n ∀>满足()()()3f m n f m f n +=+-，且当0x >时，()3f x >，()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，则210x x ->，有21()3f x x ->，于是22111211()[()]()()3()f x f x x x f x f x x f x =-+=+-->，因此()f x 在()0,∞+上单调递增，又(3)(1)(2)3(1)(1)(1)333(1)66f f f f f f f =+-=++--=-=，解得(1)4f =，从而22(5)4(5)(1)f a a f a a f --<⇔--<，则2051a a <--<，解得12122a -<<或12132a <<，所以原不等式的解集是121121(2,(,3)22-- .故选：D（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若0a b >>，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.22a b > C.33a b > D.11a b ab<+【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，因为0a b >>，可得110,0a b><，所以11a b >成立，所以A 正确；对于B 中，由22()()a b a b a b -=-+，因为0a b >>，可得0a b ->，而a b +符号不确定，所以2a 和2b 不能确定，所以B 错误；对于C 中，由33222213()()()[()]24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++，因为0a b >>，可得0a b ->，2213()024a b b ++>，所以330a b ->，即33a b >，所以C 正确；例如：当3,2a b ==-时，可得1111,6a b ab ==-+，此时11>+a b ab，所以D 错误.故选：AC.10.已知函数()933f x x =--，下列说法正确的是（）A.()f x 定义域为[)(]3,00,3-B.()f x 值域为()3,3-C.()f x 为定义域内的增函数D.()f x 为(]0,3内的增函数【答案】AD 【解析】【分析】求出函数()f x 定义域并化简函数，再逐项分析判断作答.【详解】函数()33f x x =--有意义，则290330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得-<3≤0x 或03x <≤，()f x x=-，函数()f x 的定义域为[3,0)(0,3]- ，A 正确；由于1()32f =<-，B 错误；而11(()22f f -=>，则函数()f x 在[3,0)(0,3]- 不是增函数，C 错误.函数291y x=-在(0,3]上单调递减，y =(0,3]上单调递减，因此函数()f x =在(0,3]上单调递增，D 正确.故选：AD11.下列命题中是假命题的是（）A.命题：“()0,x ∀∈+∞1x >+”的否定为：“(],0x ∃∈-∞1x ≤+”B.设{}260A x x x =+-<，{}0,B m =，且A B ⋂有四个子集，则实数m 的取值范围是()3,2-C.已知p ：{}21,Z x x k k =-∈，q ：{}61,N x x k k =+∈，p 是q 的充分不必要条件D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项根据全称命题的否定判断即可；B 选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后结合集合中元素的特征求m 的范围即可；C 选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D 选项根据根的判别式和韦达定理列不等式求解即可.【详解】A 选项：命题“()0,x ∀∈+∞，1x >+”的否定为：“()0,x ∃∈+∞1x ≤+”，故A 错；B 选项：{A x =}32x -<<，因为AB ⋂有四个子集，所以A B ⋂中有两个元素，则m A ∈，且0m ≠，即30m -<<，02m <<，故B 错；C 选项：p 表示所有奇数，q 表示部分奇数，所以p 是q 的必要不充分条件，故C 错；D 选项：设方程得两个根分别为1x ，2x ，因为方程有一个正根，一个负根，所以()212Δ340a a x x a ⎧=-->⎪⎨=<⎪⎩，解得a<0，故D 正确.故选：ABC.12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,x x ∀∈R ，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()31f x x =+不是“[]2023,2023-封闭”函数B.定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}2023封闭”函数D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】利用特殊值122023,0x x ==，可判定A 错误；根据函数的新定义，得到12,R x x ∀∈，必有()()120f x f x -=，可判定B 正确；根据函数的定义，得到22()()f x k f x k +=+，可判定C 正确；根据函数的定义，以及单调性的定义，可判定D 错误.【详解】对于A 中，函数()31f x x =+，当122023,0x x ==时，122023[2023,2023]x x -=∈-，而()()123202313016069[2023,2023]f x f x -=⨯+-⨯-=∉-，所以A 正确；对于B 中，对于区间{}0，12,R x x ∀∈，使得120x x -=，即12x x =，必有()()120f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，所以B 正确；对于C 中，对于区间{}1，12,R x x ∀∈，使得{}121x x -∈，即121x x =+，因为()f x 都是“{}1封闭”函数，则()()2211f x f x +-=，即R x ∀∈，都有()()11f x f x +=+，对于区间{}k ，12,R x x ∀∈，使得{}12x x k -∈，则12x x k =+，而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，L22(1)()1f x f x +=+，所以222222()(1)(1)(1)(2)()f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++ ，即22()()f x k f x k +=+，故22()()f x k f x k +=+，其中N k *∈，当2023k =时，可得22(2023)()2023f x f x +=+，所以函数()f x 都是“{}2023封闭”函数，所以C 正确；对于D 中，若函数()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,Na b ∈，则当[]12,x x a b -∈时，都要()()[]12,f x f x a b -∈，所以120x x ->，即12x x >时，都有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在区间[],a b 上单调递增，所以D 错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13.函数()()122log 56f x x x =--的单调递增区间为______.【答案】(),1-∞-【解析】【分析】先求出对数型函数的定义域，再结合二次函数和复合函数单调性的性质进行求解即可.【详解】由25606x x x -->⇒>，或1x <-，所以该函数的定义域为()(6,),1+∞-∞- ，二次函数256y x x =--的对称轴为52x =，因为函数12log y x =是正实数集上的减函数，所以函数()()122log 56f x x x =--的单调递增区间为二次函数256y x x =--的递减区间，即为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，而()(6,),1x ∈+∞-∞- ，所以()()122log 56f x x x =--的单调递增区间为(),1-∞-，故答案为：(),1-∞-14.关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为[]2,3，则20cx bx a ++≤的解集为______.【答案】11[,]32【解析】【分析】由给定的解集用a 表示,b c ，再代入求解一元二次不等式作答.【详解】不等式20ax bx c ++≤的解集为[]2,3，则0a >，且2323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即5,6,0b a c a a =-=>，因此20cx bx a ++≤化为：2650ax ax a -+≤，即26510x x -+≤，解得1132x ≤≤，所以不等式20cx bx a ++≤的解集为11[,]32.故答案为：11[,3215.关于x 的不等式()2221x ax +<的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是______.【答案】2549,916⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】将不等式()2221x ax +<化为不等式20(4)14a x x -++<，根据有解确定40Δ164(4)0a a ->⎧⎨=+->⎩，再用a 表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】不等式()2221x ax +<即不等式20(4)14a x x -++<，若4a =，则20(4)14a x x -++<即410x +<，整数解有无数个，不合题意，故4a ≠，由于关于x 的不等式()2221x ax +<的整数解恰有3个，故需满足40Δ164(4)0a a ->⎧⎨=+->⎩，解得04a <<；则解20(4)14a x x -++<可得x <<因为04a <<，故1124-<<-，故不等式()2221x ax +<的3个整数解恰为3,2,1---，则43-≤<-，解得2549916a <≤，即2549,916a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故答案为：2549,916⎛⎤⎥⎝⎦.16.若A 是正整数集的非空子集，称集合{},B u v u v A u v =-∈≠且为集合A 的生成集.若A 是由n 个正整数构成的集合，则其生成集B 中元素个数的最小值为______.【答案】n -1【解析】【分析】根据生成集的定义判断即可.【详解】由题意可得，当集合A 中的n 个元素从小到大排列成等差数列时其生成集B 中的元素个数最少，设n 个元素分别为12,n x x x ，且12n x x x <<< ，则集合{}11121,,n n B x x x x x x -=---L ，所以生成集B 中元素个数最小值为n 1-.故答案为：n 1-.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}24120A x x x =--≤，{}132B x a x a =-<<+.（1）当1a =时，求A B ⋂R ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[2,0][5,6]- ；（2）34(,[1,]23-∞-- .【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A ，再把1a =代入，利用补集、交集的定义求解作答.（2）由已知可得B A ⊆，再利用集合的包含关系分类求解作答.【小问1详解】解不等式24120x x --≤，得26x -≤≤，即[2,6]A =-，当1a =时，(0,5)B =，R (,0][5,)B =-∞+∞ ð，所以[2,0][5,6]A B =-R ð.【小问2详解】由（1）知，[2,6]A =-，由A B B = ，得B A ⊆，当132a a -≥+，即32a ≤-时，B =∅，满足B A ⊆，因此32a ≤-；当132a a -<+，即32a >-时，B ≠∅，即有(1,32)[2,6]a a -+⊆-，则12326a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得413a -≤≤，因此413a -≤≤，所以实数a 的取值范围34(,[1,]23-∞-- .18.已知关于x 的不等式221x x a -->，R a ∈.（1）当2a =时，求不等式221x x a -->的解集；（2）若“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(3,)-∞-⋃+∞（2）2a ≥-【解析】【分析】（1）把2a =代入，解一元二次不等式作答.（2）求出命题“不等式221x x a -->的解集为R ”为真命题的a 的范围，再求其补集作答.【小问1详解】当2a =时，不等式221x x a -->化为：2230x x -->，解得1x <-或3x >，所以所求不等式的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞.【小问2详解】当不等式221x x a -->的解集为R 时，即2210x x a --->恒成立，因此44(1)0a ∆=---<，解得2a <-，所以“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题时，a 的取值范围是2a ≥-.19.已知函数()()20,R 1x bf x a b ax +=>∈+.（1）当1a =，0b =时，求函数()f x 的值域；（2）若2b =-，且[]2,3∀∈x ，()21xf ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）11[,]22-（2）1(0,]16【解析】【分析】（1）当1,0a b ==时，求得()()22211x f x x-'=+，得出函数的单调性，结合函数的极值（最值），即可求解；（2）根据题意，设2x t =，转化为2211t at -≥+在[4,8]t ∈上恒成立，设2u t =-，转化为21(2)1u a u ≥++在[2,6]u ∈上恒成立，得到2(41)410au a u a +-++≤在[2,6]u ∈上恒成立，令()2(41)41g u au a u a =+-++，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当1,0a b ==时，函数()21xf x x =+，可得()()22211x f x x -'=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11x -<<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数的极小值为()112f -=-，极大值为()112f =，因为212x x +≥，当且进度1x =±时，等号成立，可得当x →-∞时，201x x -→+；当x →+∞时，201x x +→+，所以函数的最大值为()112f =，最小值为()112f -=-，所以函数()f x 的值域为11[,]22-.【小问2详解】解：当2b =-时，可得()221x f x ax -=+且0a >，对[]2,3∀∈x ，可得[]24,8x∈，设2[4,8]x t =∈，则不等式()21xf ≥，即为()1f t ≥，即2211t at -≥+在[4,8]t ∈上恒成立，设2[2,6]u t =-∈，可得2t u =+，即21(2)1ua u ≥++在[2,6]u ∈上恒成立，因为0a >，可得2(2)10a u ++>，即2(2)1u a u ≥++在[2,6]u ∈上恒成立，所以2(41)410au a u a +-++≤在[2,6]u ∈上恒成立，令()2(41)41g u au a u a =+-++，且0a >，则满足()()()()24241410636641410g a a a g a a a ⎧=+⨯-++≤⎪⎨=+⨯-++≤⎪⎩，即解得1016a <≤，即实数a 的取值范围是1(0,]16.20.已知函数()323f x ax x =-.（1）若1a =，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()e xg x f x =⋅在(]0,2内单调递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）310x y +-=（2）6(,5-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据函数的导数与单调性的关系，结合常变量分离法，通过构造函数，利用二次函数的性质分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为1a =，所以()()322336f x x x f x x x '=⇒=--，因为()()12,13f f '=-=-，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()()231y x --=--，化为一般式为：310x y +-=；【小问2详解】()()()()()()()322e e e e 336x x x x g x f x g x f x f x ax ax x x '''=⋅⇒=⋅+⋅=+--，()()2e 336x g x x ax ax x '=+--因为函数()()e xg x f x =⋅在(]0,2内单调递减，所以当(]0,2x ∈时，()0g x '≤恒成立，即23360ax ax x +--≤恒成立，设()()22336336h x ax ax x ax a x =+--=+--，(]0,2x ∈，即当(]0,2x ∈时，()0h x ≤恒成立，当0a =时，()36h x x =--，当(]0,2x ∈时，显然()0h x <；当0a >时，要想(]0,2x ∈时，()0h x ≤恒成立，因为()060h =-<，所以只需()6620055h a a ≤⇒≤⇒<≤，当a<0时，要想(]0,2x ∈时，()0h x ≤恒成立，因为()060h =-<，所以只需()62005h a a ≤⇒≤⇒<，综上所述：实数a 的取值范围为6(,5-∞.【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用常变量分离法，利用二次函数的性质分类讨论.21.今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。

2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合{}2,1=M ，{}5,4,3=N ，{}N b M a b a x x P ∈∈+==,,,则集合P 的元素个 数为A.3B.4C.5D.62. 若i 是虚数单位，则=+-ii12 A.i 2321+ B.i 2321- C.i 2323- D.i 2323+3. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最小值为A.4-B.0C.34D.44. 若312cos =θ，则θθ44cos sin +的值为 A.1813 B.1811 C.95 D.15. 若向量b a ,的夹角为3π，且1,2==b a ，则a 与b a 2+的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π 6. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的N的值为A.5B.6C.7D.8 7. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3π C.32π D.65π 8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是A.π949 B.π37C.π328D.π928 9. 函数())6cos()32sin(ππππ+++=x x x f 的一个单调递减区间是A.]31,32[-B. ]611,65[C. ]34,31[D.65,61[-10. 过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.3 D.211. 若不等式0log 32<-x x a 对任意)31,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围为A.)1,271[B.)1,271(C.)271,0(D. ]271,0( 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y . 则NMy y 的范围是 A ．),3[]1,(+∞--∞Y B. ),1[]3,(+∞--∞Y C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试侧视图数学试卷（文史类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知角(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥，22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥， 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论：tan 1()tan nmn n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 甲、乙两位同学约定晚饭6点到7点之间在食堂见面，先到之人等后到之人十五分 钟，则甲、乙两人能见面的概率为_____________15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅=u u u r u u u r u u u r ,则||AP BP +u u u r u u u r 的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知角A 为锐角,且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，则实数m 范围为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==，等比数列{}n b 满足.8411,a b a b ==. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三 组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分， 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组 的人数为60.（I ）请在图中补全频率分布直方图； （II ）若B 大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学在同一个小组的概率.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD的中点.（I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上， 且MC PM 2=,求三棱锥QBM P -的体积.20. （本小题满分12分）若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点，经过点()2,5-B 的直线l 与抛物 线C 交于Q P ,两点. （I ）求证：⋅为定值；（II ）若APQ ∆的面积为216，求直线l 的斜率.BACD PQ21. （本小题满分12分）设a R ∈，函数2()(21)ln f x ax a x x =-++． （I ）当1a =时，求()f x 的极值；（II ）设()1xg x e x =--，若对于任意的R x x ∈+∞∈21),,0(，不等式12()()f xg x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （I ） 求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（II ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .C（I ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（II ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >.2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案数学（文史类）一、选择题1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.C8.C9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题13.nn 14. 71615. 6 16. (22-U 三、解答题17.解：（I ）112,2n n a a a +-==，所以数列{}n a 为等差数列，则2(1)22n a n n =+-=；-----------------------------------------------3分11482,16b a b a ====，所以3418,2b q q b ===， 则2nn b =；-------------------------------------------------------------------6分 （II ）12n n n n c a b n +==，则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++L345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++L两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++-L ----------9分 整理得2(1)24n n T n +=-+.-----------------------------------------------12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人……………………….6分 （Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，所以95分以上的共2人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：12,B B 在同一小组有4种可能结果，情况二：12,B B 不在同一小组有6种可能结果，总共10种可能结果，所以两人在一组的概率为42105= ……………………….12分19.（I ）ΘPD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又Θ底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ =I ∴⊥AD 平面PQB ，又 Θ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;----------------------------6分 （II ）Θ平面⊥PAD 平面ABCD ,平面I PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ,⊥∴PQ BC ,又BQ BC ⊥,Q QP QB =I ,∴⊥BC 平面PQB ,又MC PM 2=， ∴32232332131=⋅⋅⋅⋅⋅==--PQB M QBM P V V ---------------------------12分20. 解：（I ）因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上，所以p 24=，有2=p ，那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分 若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -BACDP Q()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅---------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在，设直线l :()()0,25≠--=k x k y ，点()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y xy ， 有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ，---------------------5分 ()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y x x x x y x y x QA PA那么，⋅为定值.--------------------------------------------------------------------------7分 （II ）若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -2165845421≠=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时，()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411kk k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=-------------------9分 点()2,1A 到直线l :()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821kk k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆，--------------------------------------11分 满足：()()21611258422=+++k k k k有12321--=k 或12321---=k ---------------------------------------------12分21.（Ⅰ）当1a =时，函数2()3ln f x x x x =-+，则2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'==. ()0f x '=得：121,12x x == 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =时，()f x 有极大值，并且()ln 24f x =--极大值； 当1x =时，()f x 有极小值，并且()2f x =-极小值.--------------------------4分 （Ⅱ）由()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，解()0g x '>得0x >；解()0g x '<得0x <所有()g x 在(,0)-∞是减函数，在(0,)+∞是增函数， 即()=(0)0g x g =最小值对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则有1()(0)f x g ≤即可.即不等式()0f x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立.-------------------------------6分22(21)1()ax a x f x x-++'=（1）当0a =时，1()xf x x-'=，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x > 所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f ==-<最大值， 所以0a =符合题意. （2）当0a <时，(21)(1)()ax x f x x--'=，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f a ==--≤最大值，得10a -≤<，所以10a -≤<符合题意. （3）当0a >时，(21)(1)()ax x f x x --'=，()0f x '=得121,12x x a==12a >时，101x <<， 解()0f x '>得102x a <<或1x >；解()0f x '<得112x a<<所以()f x 在(1,)+∞是增函数，而当x →+∞时，()f x →+∞，这与对于任意的(0,)x ∈+∞时()0f x ≤矛盾 同理102a <≤时也不成立. 综上所述，a 的取值范围为[1,0]-.---------------------------------------------12分22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆. ………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞Y -------------------------------5分（II ）要证)()(a b f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.-------------------------------------------10分。