第七章节刚体力学习题及解答
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第七章 刚体力学习题及解答
7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的
线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.
解：
7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转？
解：
（ 1）
（ 2） 所以 转数 = 7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为
球 t时刻的角速度和角加速度.
解：
7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立 坐标系，原点在轴上.x和y轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足
求（1）t=0时，（2）自t=0开始转 时，（3）转过 时，A点的速度和加速度
在x和y轴上的投影.
解： （ 1） （ 2） 时，
由
（ 3）当 时，由
7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度 逆时针转动，求臂与铅直 时门中心G的速度和加速
度.
解： 因炉门在铅直面内作平动，门中心 G的速度、加速度与B或D点相同。所以：
7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.
已知收割机前进速率为 1.2m/s，拔禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.
解： 取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
取收割机前进的方向为坐标系正方向
7.1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min.（1）桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对于地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹.
解： 取地球为基本参考系，飞机为运动参考系。
（ 1）研究桨头相对于运动参考系的运动：
（ 2）研究桨头相对于基本参考系的运动：
由于桨头同时参与两个运动：匀速直线运动和匀速圆周运动。故桨头轨迹应是一个圆柱螺旋线。
7.1.8 桑塔纳汽车时速为166km/h.车轮滚动半径为0.26m.自发动机至驱动轮的转速比为0.909.问发动机转速为每分多少转.
解： 设发动机转速为 ，驱动轮的转速为 。
由题意： （1）
汽车的速率为
（2）
（ 2）代入（1） 7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置.（1）圆锥体为均质；（2）密度为h的函数:
为正常数 .
解： 建立如图坐标 O-x,由对称轴分析知质心在x轴上。
由
得： （ 1）
质量
（ 2）
质量
7.2.3 长度为 的均质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下.求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）.
解： 建立坐标系，水平方向为 轴，竖直方向为 轴.杆上端坐标为（x,y）,杆受重力、地面对杆竖直向上的支承力，无水平方向力。
由 （质心运动定理）
质心在杆的中点，沿水平方向质心加速度为零。开始静止，杆质心无水平方向移动。
由杆在下落每一瞬时的几何关系可得：
即杆上端运动轨迹方程为：
• （ 1）用积分法证明：质量为m长为 的均质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于 .
解： 建立水平方向 o—x坐标
（ 2）用积分法证明：质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过中心且在盘面内的转动轴的转动惯量为 .
解： 令 或 利用公式
7.3.2 图示实验用的摆， ， ， ， ，近似认为圆形部分为均质圆盘，长杆部分为均
质细杆.
求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量.
解：
将摆分为两部分：均匀细杆（ ），均匀圆柱（ ）
则 = = （用平行轴定理）
I=0.14+2.51=2.65 7.3.3 在质量为M半径为R的均质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.
解： 设未挖两个圆孔时大圆盘转动惯量为 I。如图半径为r的小圆盘转动惯量为 和 。
则有 （ ）
7.3.5 一转动系统的转动惯量为 ，转速为 ，两制动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为 ，轮半径为 ，从开始制动到静止需要用多少时间？
解 : 7.3.6 均质杆可绕支点O转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点O对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心.设杆长为L，求打击中心与支点的距离.
解 :
杆不受 作用时，支点O对杆的作用力 ，方向竖直向上，大小为杆的重量。依题意，当杆受力 时， 不变。建立如图坐标系，
轴垂直纸面向外。
由质心运动定理得：（ 方向投影）
（质心在杆中点） （1）
由转动定理得： （2）
有角量与线量的关系
（3）
（ 1）（2）（3）联立求解 7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量.用轻线且尽可能润滑轮轴.两端悬挂重物质量各为 ，且 .滑轮半径为 .自静止始，释放重物后并测得 内 下降 .滑轮转动惯量是多少？
解 : 分析受力。建立坐标系，竖直向下为 轴正方向，水平向左为 轴正方向。 轴垂直纸面向里。根据牛顿第二定律，转动定理，角量与线量关系可列标量方程组：
已知 求解上列方程组：
7.3.8 斜面倾角为 ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩M，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为 ，求重物上滑的加速度.绳与斜面平行，不计绳质量.
解 : 分析受力及坐标如图。 轴垂直纸面向外。列标量方程组：
（1）
（2）
（3）
（4） 解得： 7.3.9 利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的距离为r.为减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物 ，从距地面高度 处由静止开始下落，落地时间为 ，然后悬挂质量较大的重物 ，同样由高度 下落，所需时间为 ，根据
这些数据确定轮盘的转动惯量.近似认为两种情况下摩擦力矩相同.
解 : 分析受力及坐标如图。 轴垂直纸面向里。列方程：
解得 即 7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线O转动，其转动惯量I为.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴的垂直距离为r.在槽内装有一小球，质量为m，开始时用细线固定，只弹簧处
于压缩状态.现用燃火柴烧断细线，小球以速度 弹出.求转动装置的反冲角
速度.在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？（弹簧质量不计）
解 : 取小球和转动装置为物体系，建立顺时针为转动正方向。在弹射过程中，物体系相对于转动轴未受外力矩，故可知物体受对转轴的角动量守恒。
有 动能不守恒，原因是弹性力对系统作正功，物体系动能增加。总机械能守恒。原因是此过程中无耗散力做功。应有守恒关系式：
7.4.2 质量为2.97kg，长为1.0m的均质等截面细杆可绕水平光滑的轴线O转动，最初杆静止于铅直方向.一弹片质量为10kg，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大
摆角 .
解 : 取子弹和杆为物体系。分两个过程。
过程 1：子弹嵌入前一瞬时开始到完全嵌入时为止。此过程时间极短，可视为在原地完成。此时受力为 ， 为转轴对杆的支承力，对于
轴，外力矩为零。有角动量守恒。规定逆时针为转轴正方向。得:
解得：
过程 2：由过程1末为始到物体系摆至最高点为止。此过程中一切耗散力做功为零。故物体系机械能守恒。取杆的最低点为重力势能零点。
有
解得 7.4.3 一质量为 ，速度为 的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为 ，长度为 的棒的端点，速度 与棒垂直，棒原
来静止于光滑的水平面上.子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度等于多少？
