《信号与系统》第三次作业
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1. 试由s 域求系统的系统函数，零状态响应，零输入响应及完全响应。
（1）()5()4()2()5(),0y t y t y t f t f t t ''''++=+>
2()()t f t e u t -=，(0)2y -=，(0)5y -'=
将式中②两边求导后代入式①，随即求得系统的数学模型为
将式③进行拉氏变换，得
由于在零状态下，
故有
?则得?????Y(s)=H(s)X(s)????????????⑥ 可见，在系统初始不储能的零状态下，系统输出的拉氏变换等于输入的拉氏变换乘以H(s)，即
从式⑤、⑥可见，H(s)取决于系统的构成和有关参数（系数），而与输入信号无关，它反映了输入信号通过系统以后所产生的变化，如系统的输入?x(t)=u(t)?，是有
（2）()3()2()4()3(),0y t y t y t f t f t t ''''++=+>
2()()t f t e u t -=，(0)3y -=，(0)2y -'=
当系统的输入是单位冲激信号，即
，则从式⑥求得?
Y(s)=H(s),
y(t)=h(t) ?上式表明系统在单位冲激激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应h(t)?，如图所示，它恰好等于系统函数的拉氏反变换。所以系统函数又可定义为单位冲激响应的拉氏变换，即
一旦测得系统的冲激响应，随即求得系统函数。同理，己知系统函数，随即求得相应的冲激响应。 系统函数H(S)在S 域表征连续系统的传输特性，而单位冲激响应h(t)是在时域描述连续系统的时间特性，因此它是时域分析最基本和最重要的特性参数。
2. 求离散时间LTI 系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。
（1）1[][1][]3y k y k f k --=，1[][]3k f k u k ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，[1]1y -=
通过以上分析，若己知一个连续系统在
作用下的零状态响应h(t)，则利用系统的叠加性和非时变性，不难求得在任一信号作用下系统的零状态响应，从第三章式（3.1）得知，?一个非周期信号可以
分解为一系列冲激信号的线性组合。
?按非时变性质，系统在作用下零状态响应为，故对的响应
应为。利用线性系统叠加性质，求得系统对激励信号x(t)的零状态响应为
?上式说明，LTI 系统的零状态响应?等于激励信号x(t)?与系统单位冲激响应h(t)?的卷积积分，简称卷积如图所示。该式反映了系统输入与输出之间的关系，所以也是LTI 系统的一种数学模型。在积分式中?是积分变量，t 是参变量，所以卷积结构是t 的函数。当信号有不连续点或为有限长时限信号时，定义式①的积分上下限要发生变化。如果信号?x(t)?在t=0?时接入，在t<0时等于零，则式①中的积分下限
取零。此外，对于物理可实现的因果系统，由于t ＜0时h （t ）=0，所以在即时，式①
中的，于是该式中的积分上限应改写为t ，即 （a ）s 域表示 （b ）时域表示
LTI 系统的方块图
利用卷积法求系统的零状态响应，无论对系统的分析还是综合都要重要意义。因为在实际中对系统设计，初始状态均为零，不存在零输入响应，即使对系统分析，通过4.3节讨论将会知道，零输入响应也可以转化为零状态响应来求解。
（2）1[][1][][1]3y k y k f k f k --=+-，1[][]2k f k u k ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，[1]1y -= 交换律 x(t)*h(t)=h(t)*x(t)表明卷积积分的次序可以任意交换。
分配率
表明LTI 系统对n 个输入相加信号的零状态响应与每人输入信号零状态响应的叠加。
结合律
表明冲激响应分别为与的两个LT1系统相级联，等效于冲激响应)
(*)()(21t h t h t h =的一个
LTI 系统。
利用这些性质可以简化卷积运算。如图所示系统，由于
所欲把两个卷积运算简化为一个卷积运算。同时表明，并联系统的冲激响应等于各并联子系统冲激响应之和。同理可以证明，一个级联的因果系统，其冲激响应等于各级联子系统冲激响应的卷积，即)
(*)(*)()(21t h t h t h t h n ⋅⋅⋅=
