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对数概念及运算

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定义
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特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
零没有对数。[1]
在实数范围内，负数无对数。[2] 在复数范围内，负数是有对数的。
事实上，当θ=(2k+1)π时(k∈Z），e(2k+1)πi+1=0，所以ln(-1)的具有周期性的多个值，
ln(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：ln(-5)=(2k+1)
πi+ln 5。[3]
2基本性质
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基本公式

证明过程

3对数函数
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函数定义
函数 y=logax （a>0，且a≠1）叫做对数函数（logarithmic function）.其中x是自变量.对数
函数的定义域是（0，+∞）.
函数基本性质
1、过定点（1,0），即x=1时，y=0.
2、当 01时，在（0，+∞）上是增函数.
4发明缘由
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16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了
当务之急。苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550—1617）正是在研究天文学的过程中，为
了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎
狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为
17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”
对数发明之前，人们对三角运算中将三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉，
而且德国数学家斯蒂弗尔（M.Stifel，约1487—1567）在《综合算术》（1544年）中阐述的
1，r，r2，r3，r4，„（1）
与 0，1，2，3，4„
之间的对应关系（rn→n）及运算性质（即上面一行数字的乘、除、乘方、开方对应于下面
一行数字的加、减、乘、除）也已广为人知。经过对运算体系的多年研究，纳皮尔在1614
年出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。
将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（H.Briggs，1561—1631），他通
过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，
使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了以10为底的常用对数。由于我们的数系是
十进制，因此它在数值上计算具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了
以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，
特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为
一种计算工具，对数计算尺、对数表都不再重要了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命
力。
从对数的发明过程我们可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆
关系，造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多
年后的1637年才由法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）开始使用。直到18世纪，
才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首
先使用y=ax来定义x=logay，他指出：“对数源于指数”。对数的发明先于指数，成为数学史
上的珍闻。
从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。建立对数
与指数之间的联系的过程表明，使用较好的符号体系对于数学的发展是至关重要的。实际上，
好的数学符号能够大大地节省人的思维负担。数学家们对数学符号体系的发展与完善作出了
长期而艰苦的努力。[1]
5对数符号
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对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。20
世纪初，形成了对数的现代表示logaN.为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及
以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。

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对数函数的概念与计算

对数函数的概念与计算

对数函数的概念与计算数学中，对数函数是一种非常重要的函数，它与指数函数密切相关。

本文将介绍对数函数的概念及其计算方法。

一、对数函数的概念对数函数是数学中一种常用的函数，它是指数函数的逆运算。

数学中常用的对数函数有自然对数函数 ln(x) 和常用对数函数 log(x)。

1. 自然对数函数 ln(x)自然对数函数 ln(x) 是以常数 e 为底的对数函数。

其中，常数 e 是一个重要的数学常数，它的近似值约为2.71828。

自然对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。

2. 常用对数函数 log(x)常用对数函数 log(x) 是以常数 10 为底的对数函数。

常用对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。

二、对数函数的计算对数函数的计算方法主要涉及对数的性质和运算规则。

1. 对数的性质（1） ln(1) = 0，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = 1 时取值为 0。

（2） ln(e) = 1，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = e 时取值为 1。

（3） log(1) = 0，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 1 时取值为0。

（4） log(10) = 1，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 10 时取值为 1。

2. 对数的运算规则（1） ln(a * b) = ln(a) + ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。

（2） ln(a / b) = ln(a) - ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。

（3） log(a * b) = log(a) + log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。

（4） log(a / b) = log(a) - log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。

第十讲：对数及对数的运算

第十讲：对数及对数的运算

第十讲：对数及对数的运算一、目标：理解对数的概念；掌握对数式与指数式的相互化； 识记对数的运算公式并能进行简单的运算 重点：对数的运算公式的运用 二、知识要点：1、对数的定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数如： （1）2139-=，则312log 9-= （2）23x =，则2log 3x =， 又如：（3）2log 5x =，则5232x == （4）31log 2x =，则1233x ==注：指数式与对数式的互化中，底不变。

常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N2、对数的运算性质与运算法则：1log a =0， a a log =1， N a a log =N ， )(log MN a =log log a a M M +， NMa log =log log a a M M -， n a M log =n log a M ∙ 换底公式：N a log =log log c c N a， l o g l o g .m na a n bbm =∙ 三、例题：例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2）61264-=（3）1() 5.733m= （4）12log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =例2：求下列各式中x 的值（1）642log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=例3：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz （2）23log za x y例4：设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示下列各式： lg ６、 lg12、 lg 3、 lg 5、 5log 12例5、求值：（1）75log (42)z ⨯ （2）5lg 100 （3）125log 625例6、求值：（1）3log 12.05- （2）421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：（1） 原式 =15315555531log 3log 52.0=== （2）原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=四、课堂练习：1、 判断下列式子是否正确，（a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ）， （1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=- （3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n=2．计算：（1）27log 9； （2）3log 243； （3）3log 81； .（4）7lg142lg lg7lg183-+-；（5）91log 81log 251log 532∙∙ （6）)223(log 29log 2log 3777+-五、课后巩固：1、计算：（1）lg 243lg9 （2）lg 27lg83lg 10lg1.2+- （3）421432log 3log ⋅（4）0.21log 35- （5）)5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++（6）)243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ （7）331log log 5533+ （8）2lg 2lg2lg5lg5+⋅+2、解下列方程：（1）43log 3-=x （2）35log 2-=x （3）()()1123log 2122=-+-x x x（4）()[]0log log log 432=x （5）872log =x （6）)23lg(lg )23lg(2++=-x x x3、)2lg(2lg lg y x y x -=+已求yx2log 的值*六、拓展：1、已知 log 18 9 = a , 18 b= 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818∴log 18 2 = 1 - a ∵ 18b= 5 ∴ log 18 5 = b∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 2、 设 1643>===t zyx 求证：yx z 2111=- 证：∵1643>===t zy x ∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，， ∴yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 3、设 a , b , c 为不等于 1 的正数，若zyxc b a == 且 0111=++zy x 求证：ab c = 14、已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 。

对数的基本概念及运算

对数的基本概念及运算

第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺?(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得(2)可设取x 次,则有二:新知引入1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数。

注意：①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数②底数的限制:a>0且a ≠1。

思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？对数的书写格式2、对数式与指数式的互化N x N a a x log =⇔=幂底数 ← a → 对数底数指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数3、对数的形式①常用对数：以10为底的对数,简记为: lgN②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数）注意：对数的书写 课堂练习1 将下列指数式写成对数式： （1）（2）（3）（4）2 将下列对数式写成指数式： （1） （2）（3）3 求下列各式的值： （1）（2）2. 对数运算 （1） 基本性质①0和负数没有对数，即N>0②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a Na =log（2） 运算法则如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=；2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）。

（例题p111，例4，计算:7log 35log )13(3log )971(551lg 4321-+--+-）对数计算练习题一、选择题1、以下四式中正确的是（ ）A 、log 22=4B 、log 21=1C 、log 216=4D 、log 2=2、下列各式值为0的是（ ） A 、1 B 、log 33 C 、（2－）° D 、log 2∣－1∣3、251log 2的值是（ ）A 、－5B 、5C 、D 、－二、填空题1、用对数形式表示下列各式中的x10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x=：＿＿＿＿2、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________3、2log 510＋log 50.25＝_____________三、解答题1、求下列各式的值⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶252log 1 ⑷373log 1⑴lg10－5 ⑵lg0.01 ⑶log 2(8)51lg12.5lglg 82-+； (2)2lg 2lg 3111lg 0.36lg 823+++；三、对数换底公式：aNN m m a log log log =（0,1,0,1,0>≠>≠>N m m a a ）四、两个常用推论（1）1log *log *log log 1log 1log *log ==⇔=a c b a b a b c b a b a b a（2）b mnb a na m log log =上节两道 （a ，b 大于0且均不为1） 【同步练习】 计算题 (1)52log 1015-= ；1)log (3+= ； 765log 6log 5log 47= .(2)已知log 2,log 3a a m n ==，求2m na +.（3）已知632236ab c ==，求证：123a b c+=.(4)1681log 27log 32； (5)3928(log 2log 2)(log 3log 3)++.(6)已知3484log 4log 8log log 16m =，求m .（7）已知lg 2,lg 3a b ==，则lg12lg15= . (8)lg 2,lg7a b ==,则8log 9.8= .。

对数及其运算基础知识及例题

对数及其运算基础知识及例题

对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。

2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。

自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。

典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。