第4讲 对数概念及其运算 [讲义]

《对数的概念》讲义一、引入在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的数和运算。

其中，有一种非常重要的数学概念，那就是对数。

想象一下，你正在计算一个数的乘方，比如 2 的 3 次方等于 8。

但如果反过来，已知结果是 8，要找出是 2 的几次方得到 8 呢？这时候，对数就派上用场了。

二、什么是对数对数，简单来说，就是在一个等式中，表示要得到某个数，需要对另一个固定的数（底数）进行多少次乘方运算。

如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作 b ＝logₐN。

例如，因为 2³＝ 8，所以 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝3。

再比如，因为 10²＝ 100，所以 2 就是以 10 为底 100 的对数，记作log₁₀100 ＝ 2。

这里，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

三、对数的性质1、零和负数没有对数。

因为对数是指数运算的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能是零或负数。

2、 1 的对数是 0。

因为 a⁰＝ 1（a＞0，且a≠1），所以logₐ1 ＝ 0。

3、底数的对数是 1。

即logₐa ＝ 1。

四、对数的运算1、对数的加法logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN例如，log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、对数的减法logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN比如，log₃(9 ／ 3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、对数的乘方logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM例如，log₅(25²) ＝ 2 log₅25 ＝ 4五、常用对数和自然对数1、常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lg。

例如，lg100 ＝ 2。

2、自然对数以无理数 e（约等于 271828）为底的对数叫做自然对数，简记为 ln。

例如，ln e ＝ 1，ln e²＝ 2。