理论力学
教案
课程名称理论力学
所在系（院）物理电子工程学院
任课班级物理学本科
《理论力学》课程基本信息
（一）课程名称：理论力学
（二）学时学分：每周4学时，学分4
（三）予修课程：力学、高等数学
（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。
（五）教学参考书：
1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。
2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。
3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。
（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学
（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合
（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%
（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。
（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。
绪论
一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。
二：《理论力学》与《力学》的区别和联系
1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。
2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。
《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。
三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。
第一章牛顿动力学方程
教学目的和基本要求：要求学生了解牛顿运动定律的历史地位，掌握牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式和使用方法；熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方法；理解质点系、质心、动量、角动量和能量的概念；熟练掌握三个基本定理、三个守恒定律的内容和它们的适用条件，以及应用它们求解问题的方法步骤；了解研究变质量物体运动的指导思想和处理方法。
教学重点：熟练掌握牛顿运动定律，动量、角动量、能量定理以及运用这些定理解决力学问题的方法。
教学难点：如何讲清牛顿第二定律、三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法。
§1.1 牛顿的《原理》奠定了经典力学的理论基础
一：经典力学的理论基础——牛顿于1687年发表的《自然哲学的数学原理》，简称《原理》，是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律，并阐述了关于时间、空间的基本概念和区别相对运动和绝对运动的思想。
在物理学中将以《原理》为依据的力学称为经典力学或牛顿力学。
二：经典力学的物质观、时空观及运动观。
1. 物质观、时空观及运动观在力学中的重要性。
力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律，因此要建立力学的理论体系首先就要对什么是物质、时间、空间和运动有科学的认识和明确的规定。
2. 物质观、时空观及运动观的发展历史：亚里士多德，笛卡尔等。
3. 牛顿力学的物质观、时空观及运动观。
（1）物质观：以古希腊原子论为基础，认为世界是由原子构成，原子间的作用力构成万物的运动。
（2）时空观：“绝对的、真正的、数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地，与其他任何事物无关地流逝着”，即时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质无关。牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的、三维的、均匀的和各向同性的绝对空间。在绝对空间
中可取这样的坐标系：原点静止于绝对空间中，坐标轴的方向一经选定就不再改变，那么这个坐标系就代表了绝对空间。物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动。一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系。
（3）运动观：牛顿第三定律和力学相对性原理，它们可以看成是力学的最高原理。另外还包括万有引力定律。
此外在《原理》一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念，发明了微积分，将力学原理与数学结合起来，使力学成为了严密的科学理论。 三：牛顿运动三定律 1：运动三定律：
第一定律：一个物体，若没有外力影响使其改变状态，则该物体仍保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。
第二定律：运动的变化，与所加的力成正比，其方向为力作用的方向。 第三定律：作用恒与其反作用相等，方向则相反。
其中最重要的是第二定律，其原始的数学表达式为F dt
v m d
=)( （1.1） 如果将物体质量m 看成常量，上式可改写为F dt v d m
= 或F dt
r d m
=22 （1.2） 2：力学相对性原理：在一个系统内部的任何力学实验，都不能决定这一系统是静止的还是在作匀速直线运动。
意义：根据这一原理，相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相同，这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系。因牛顿设想的绝对空间实际上是不存在的，这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据。
3：伽利略变换。设参考系S 和S ’均为惯性系且S ’相对于S 以匀速u 运动，那么这两个参
考系之间的时空坐标的变换关系为： ???'=+'=t t t
u r r （1.3）
将上式代入（1.2）式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变，因此力学相对性原理又可表述为：力学定律对于伽利略变换保持不变。
四：牛顿运动三定律的局限性：适用于低速宏观物体。
五：牛顿的认识论、方法论简介：简单性，因果性，同一性和真理性。
简单性：科学上正确的东西都是简单的，如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同的结论，应该选用简单的方法。
因果性（决定论）：就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果，反之由一定结果必然可确定唯一的原因。这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条。 统一性：指《原理》中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应该认为它对整个自然界都是普遍适用的。 真理性：就是承认的相对性和绝对性。
六：本节重点：了解力学的发展历史，掌握牛顿运动三定律。
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
牛顿运动定律的核心是第二定律，本节将就其数学表达式做深入探讨。
一：牛顿第二定律：F dt
v m d
=)( （2.1） 在经典力学中物体的m 为常数，牛顿定律变为：F dt r d m F dt v d m ==22,或。 一般情况下F 为坐标、速度和时间的函数，即),,(t r r F F
= （2.2），所以牛顿第二定律可
进一步表示为：),,(),,(t r r F dt v d m t r r F r m
==或 （2.3） 此式为二阶微分方程，在具体求解力学问题时，需要将其转化为标量方程。根据坐标系的不同，牛顿第二定律有以下表达式。
二：牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式：
1.直角坐标系：空间任一点P 位置可用x 、y 、z 三个参数来表示，用i 、j 、k 分别表示沿x
轴、y 轴、z 轴的单位矢量，则空间任一点P 的位置矢量可表示为：k z j y i x r
++= （2.4）进一步可得k z j y i x r v ++==及k z
j y i x r a ++== （2.5）
牛顿第二定律的可表示为：???
??===)t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F z
m )t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F y m )t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F x m z y x （2.6） 2.平面极坐标系：平面上任一点P 的位置可用参数r 、θ来表示。e r 和e θ分别表示矢径r 增加方向和极角θ增加方向的单位矢量(如图1.1），它们的方向随着P 点的运动而改变，则
位矢r e r r
= （2.9）。由图1.1可将e r 和e θ
化为
的函数：j i e r
θθsin cos +=，i e θθθcos sin +-=进一步得θθθθe dt
d d
e d e r r
==
（2.7）， r e dt
d d
e d e θθθ
θθ
-== （2.8）
接着可求出θθe r e r r v
r
+== （2.10），θθθθe r r e r r r a r )2()(2++-== （2.11）
， 牛顿第二定律的可表示为：?
??=+=-θθθθF )r r (m F )r r (m r
22 （2.12） 3. 球坐标：空间任一点P 的位置可用参数r 、θ、φ
示， e r 、e θ、 e φ分别表示r 、θ、φ 向的单位矢量 (如图1.2），它们的方向随着P 而改变。将e r 、e θ和e φ化为i 、j 、k k j i e r
θφθφθcos sin sin cos sin ++=，
k j i e
θφφθθsin sin cos cos cos -+=
j i e e e r
cos sin +-=?=φθφ，进一步可求出
θ
φφθφθφθφθφθθφθθe e e e e e e e e r r r cos sin cos sin --=+-=+=，结合 φθθφθe sin r e r e r r v ,e r r r r ++=== 可得 牛顿第二定律的可表示为：??
???=++=-+=--φθθθφθφθφθθφθθθφθF )cos r sin r sin r (m F )cos sin r r r (m F )sin r r r (m r
2222222 （2.21）
4.柱坐标：空间任一点P 的位置可用参数R 、 φ 、z 来表示， e R 、e φ、 k 分别表示相应的单位矢量(如图1.3） 。 e R 、e φ
的运动而改变，而k 坐标可得：k z r R
+=e R （k z e r e r
r v R ++==φφ （牛顿第二定律的表达式为：
?????==+=-z R
F z
m F )R R (m F )R R (m φφφφ22 （2.25） 5. 自然坐标和内禀方程：以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关，或者仅与质点的位置有关，而与质点的速度（方向）均无关。还有一种自然坐标，其单位矢量的方向由任一时刻速度的方向决定，相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程。
（1）平面自然坐标：用e t 、e n 分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量(如图1.4）， 即e t 与任一时刻速度V 同向，显然e t 、e n
为变矢量，有t e v v
= （2.26）
另由ρ
φφv dt ds ds d dt d dt e d t === 及n t e dt e d 可得
n t e v e dt dv a
ρ
2+= （2.27）
进一步可得牛顿第二定律的表达式为：???????==n t F v
m F dt
dv
m ρ
2 （2.28）
（2）空间自然坐标：
①基本概念：密切面：PP 1与PP 2
e t ：在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量，沿质点运动方向。
e n ：在密切面内与e t 的凹侧。
主法线：与e n 同向的法线。 e b ：由e t ×e n
位矢量。次法线：与e b 同向的法线。 法平面：由e n e b 构成的平面。直切平面：由e t 、e n 构成的平面。 ②用e t 、e n 、 e b 分别表示质点运动轨道的切线、线和次法线方向的单位矢量，e t 与任一时刻速度V 向，显然e t 、e n 、 e b 三者均为变矢量。
类似于平面自然坐标，利用n t n t t e v e dt dv a e v dt e d e v v
ρρ2,,+===得牛顿第二定律的表达式
为：?????
????===02b n t F F v m F dt dv
m ρ （2.29）
（3）适用范围：适用于运动轨道已知的质点运动，或用于介质阻力不能忽略的运动。
三：本节重点：掌握直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系、平面曲线自然坐标系中牛顿第二定律的分量表达式。
§1.3 质点系
牛顿运动定律是针对质点提出的，对于不能看成质点的力学体系，则必须重新分析讨论。 一：质点系：（1）定义：由两个或两个以上相互联系的质点所组成的力学体系为质点系，质点间的联系体现在质点间的相互作用对发生作用的每个质点的运动均有影响。 （2）实例：A ：太阳——九大行星
B ：m 、m ’通过轻绳联系在一起，如图1.5。
（3）结论：A 影响。B ：内力和外力的区分。
二：质点系的运动方程
1.一般方法：设有n 个质点构成一质点系，由牛顿第二定律可得：
),,(t r r F r m i
i i i =，i=1，2...n （3.1），共3n 个标量方程。 若质点系受内部或外界的约束共k 个，则F i 中会含由k 个未知的约束力F n i ，则可得k 个
约束方程：0),,(=t r r f i i j ，j=1，2...k （3.2） 联立以上共3n+k 个方程可求出3n+k 个未知数。
2. 一般方法的困难性和解决方法：以上方法需求解的方程个数太多，可借助于动量、角动量、能量定理简化求解过程。
三：本节重点：正确理解质点系的概念和力学问题的处理方法。
§1.4 动量定理
一：动量及动量定理
1.质点：定义动量为P =m v ，由牛顿第二定律可得动量定理为F dt
p d
=，若F =0，则质点的动量P =C ，即动量守恒。
注：虽然这里由牛顿第二定律推出动量定理，但后者的适用范围超过前者，所以有些场合将牛顿第二定律看成动量定理的推论。 2.质点系：
（1）动量：定义质点系的动量为∑∑==i i S v m p P
（2）动量定理：对每一个质点应用动量定理可得：
)
()(i i e i i F F dt
p d
+=， i=1，2…n. （4.3） 其中)
(e i F 表示质点所受的合外力，)(i i F 表示质点所受的内力的合力，且∑≠=n i
j ji i i F F )(，将（4.3）
式共n 个方程相加在一起，可得：
∑∑∑+=)()(i i e i i
F F dt p d （4.4）
考虑到ij ji F F
=，所以上式中0)(==∑∑∑≠n i
n i
j ji i i F F ，这样（4.4）可简化为
∑==)()(e e i s
F F dt
p d （4.6） 上式即为质点系的动量定理，它表示质点系动量的变化率等于体系所受的的合外力，与内力无关。
二：质点系的动量守恒：
在动量定理（4.6）式中如果0)(=e F ，则可得C P s
=，即质点系的总动量守恒。
当0)(=e x F 得C P sx =，即动量在某一方向上（如x 方向）的分量守恒，如发射炮弹的问题。
当0)(≈e F 时，则可得C P s
≈，如碰撞问题。
三：质心运动定理：
1.质心：定义质心的位矢r c
为s
i
i i
i
i c m r m m
r
m r ∑∑∑==
（4.9）
则有C s i i i i s v m dt
)
r m (d v m P
==
=∑∑ （4.10）
即质点系的动量可看成将质量集中在质心上并以质心的速度运动的质点所具有的动量。 2. 质心运动定理：
将C s s v m P
=代入动量定理)(e s F dt p d =可得)()(e c s e c s F a m F dt v d m ==或 （4.11） 上式即为质心运动定理，它说明质心的运动就象一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的总质量，作用在此质点上的力等于质点系所受的合外力。
四：本节重点：掌握质点系的动量定理、动量守恒定律和质心运动定理。
§1.5 角动量定理
一：.质点的角动量和角动量定理 1.角动量
定义质点的角动量（动量矩）L 为位矢r 与动量v m p
=的矢量积，即v m r L ?= （5.1）
2.角动量定理：M F r dt L d
=?=，即质点角动量对时间的变化率等于质点所受的力矩。 推导：由角动量的定义式L =r ×p ，两边对时间求导可得： F r v m r dt
p d r p dt r d dt L d ?+?=?+?=，因0=?v m r ，又定义力矩F r M ?=，最终可得角动量定理M F r dt L d
=?= （5.2） 3.角动量守恒：如果质点所受的力矩M =0，则可得L =C ，即如果质点所受的力矩为零，则其角动量守恒。
注：M 、L 必须是针对坐标原点或惯性系的同一点而言。
4.应用：当质点受有心力的作用时，易得r e F F
=，0=?=F r M ，则有
C k mr e mr e r
m e r L r r ==+?=θθθ2)(
二：.质点系的角动量和角动量定理
1.角动量：定义质点系的角动量L 为各质点角动量L i 的矢量和，即∑∑?==i i i i v m r L L
。 2. 角动量定理：
)()()(e e i e i i M M F r dt L
d
==?=∑∑，即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受的外力矩之和，与内力矩无关。
推导：由动量的定义式∑∑?==i i i i v m r L L
，两边对时间求导可得： ∑∑∑∑∑?+?=?=?+?=)()()
(i i i e i i i i i i i F r F r a m r dt
v m d r v m dt r d dt L d
， 考虑到上式中∑∑∑∑∑=≠≠=?=?=?1)
()()(0i i
j i ji i i
j i ji i i i i F r F r F r ，
最终可得角动量定理∑∑=?=)()(e i e i i M F r dt
L
d
（5.5） 3. 角动量守恒：同质点的角动量守恒一致，当0)
(=∑e i M 时，有C L =，即角动量守恒。
以上讨论的均是相对于惯性系的坐标原点而言，但在处理实际的力学问题时，往往选取相对于某一点P 的L 、M 比选取相对于坐标原点的更方便，下面我们就专门讨论这种情况。 4.相对于惯性系中任一点P 的角动量定理
定义∑?'=i i i P v m r L
，∑?'=)(e i i P F r M ，
参考图1.6利用p
i i r r r +'=，∑∑??+'=?=i i p i i i i v m r r v m r L )(
P S p i i i i i p L P r v m r v m r L +?=?'+?=∑∑
同理可得)
()(e P P e F r M M ?+=，将代入角动)(e M dt
L
d
= 可得： ??+==+?+?)()(e P P e p
S p c s p F r M M dt L d P v dt v d m r
P S p p M P v dt
L d
+?-=或
P c s p p M v m v dt
L d
+?-= （5.6）
讨论：A ：当V p=0时，P 为惯性系中的定点，角动量的形式不变，
P p M dt
L d
=。
B ：V p ≠0，但V p 与V c 同向，角动量的形式不变，
P p M dt
L d
=。
C ：c p r r =C
L
d
1.质心系：动的参考系为质心系，
2.实验室系：实验工作者使用。
3.首先定义M L v r ''''
,,,（严格来说应为dt
r d v '=' ~，详见第五章），i i i v m r L '?'=' ，c e i i M F r M =?'='∑)(。
注：L ' 与c L 是不同的两概念，i i i C v m r L ?'=，i v 与'
i v 是不同的速度，前者是质点在惯性系中的速度，而后者是质点在质心系中的速度。但是可以证明L ’、 L C 二者相等。
证明：因dt
r d dt r d dt r d c
i i
+'=，所以有c i i v v v +'= （5.10） C i i c i i i i i i i i C v r m L v m r v m r v m r L
?'+'=?'+'?'=?'=∴∑∑∑∑ （5.11）
0='∑i i r m ，所以L L C '=∴ ，接着将
c c M dt
L d
=中的c L 、c M 用L ' ，M ' 替换掉， 最终可得 M dt L d '='
。
四 本节重点：重点掌握惯性系中的角动量定理。
§1.6 能量定理
一：质点的动能定理 1.质点的动能：221mv T =
或22
1v m T
= （6.1） 2.质点的动能定理：
r d F dW dT ?== （6.2）
，即作用在质点上的力F
所做的元功等于质点动能的增量。 证明：由2
21v m T =等式两边求微分可得 r d a m r d dt
v d m v d dt r d m
v d v m dT
==== r d F dT ?=?
一段过程：???===21
21
r d F W dT T
二：质点系的动能定理 1.质点系的动能：
质点系的动能为所有质点的动能之和，即∑∑∑===22
2
121i i i v m mv T T ， （6.3）
2.质点系的动能定理：∑∑?+?=i i i i e i r d F r d F dT
)()(
将动能表达式∑=221i v m T 两边取微分∑∑∑====i i i i i i i
r d a m r d dt
v d m v d dt r d m dT dT
∑∑?+?=?i i i i e i r d F r d F dT
)()( （6.4）即质点系动能的增量等于外力和内力所做的元功之和，
注：动能的增量与体系的内力有关，这一点与质点系的动量、角动量定理有明显的区别。
以上我们只证明了动能定理对惯性系成立，对于质心系是否成立需证明。 3.寇尼希定理
质点系的动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心的速度运动的动能，再加上各质
点相对于质心系运动的动能，即T v m T c s '+=
221 （6.5），其中∑∑'='='222
121i i i i v m v m T （6.6） 证明：由∑=22
1i v m T 及c i i v v v +'=可得?'+'+=∑∑∑c i i i i c i v v m v m v m T 222121
T v m T c s '+=2
2
1 ，其中用到0='='∑∑i i c c i i v m v v v m 。
4.质心系中的动能定理：质点系相对于质心系的动能的增量等于作用于质点系的外力和内
力在质心系中所做的元功之和，即∑∑'?+'?='i i i i e i r d F r d F T d
)()( （6.7）
由T v m T c s '+=2
2
1 两边取微分可得T d r d a m T d v d v m dT c c s c c s '+='+= ①
另由)()()()()()(∑∑∑∑'+?+'+?=?+?=i c i i i c e i i i i i e i r d r d F r d r d F r d F r d F dT
∑∑'?++?=?i e i i i c e i r d F F r d F dT
)()()()( ② 联立①②且由质心运动定理∑=)e (i c s F a m
，可得∑∑'?+'?='i i i i e i r d F r d F T d )()(
三：保守力和势能 在动能定理中有?
?=21
r d F W ，因),,(t r
r F F
=，因此W 一般很难直接求出，但可以证明当F
为某一类特殊的力时，W 可方便的求出。
1.保守力：当F 为某一位置函数)(r V 的梯度即)()(r V r F
-?=时，该)(r F 被称为保守力，
此时)(r F
做功与质点运动的路径无关。
证明：由)()()(k z
V j y V i x V r V r F
??+??+??-=-?=，将上式代入r d F dW ?= 可得 )()()()(r dV dz z
V
dy y V dx x V k dz j dy i dx k z V j y V i x V dW -=??+??+??-=++???+??+??-=，
即)(r dV dW -=，两边积分可得 )()(00
r V r V r d F W r r
-=?=? （6.11）
说明：①可见保守力做功只与始末位置0r 、r
有关，与运动的具体路径无关。
②可证明保守力F 满足0)(=??r F
。
③常见的保守力：重力、弹力、万有引力、库仑力等。
2.势能：当某位置函数)(r V 满足)()(r V r F
-?=（6.9），该函数)(r V 被称为势能。它由发生相互作用的物体共有，且势能为相对量，当给出它的具体数值时必须指出势能的参考零点。
由)(r dV r d F dW -==，可得)r (V r d F )r (V 021
+?-=?，
3.机械能守恒：定义动能T 与势能V 之和为机械能E ，当体系仅受保守力作用时，可证明此时机械能守恒。
证明：由C E V T V T d dV r d F dT ==+?=+?-=?=0)(
（6.13），即机械能守恒。
4.质点系势能：因势能为标量，所以质点系的势能为所有质点的势能之和，即)(i i r V V ∑=，当质点系所受内、外力均为保守力时，021
)()()(V r d F F V e i i i +?+-=?∑
（6.14）
5.例：计算受中心力的两质点的势能（从略）
四：本节重点：重点掌握惯性系中质点系动能定理和寇尼希定理以及保守力、势能的概念。
§1.7 变质量运动方程
一：变质量力学问题分类
1.质量随t 增加而增加：
0>dt dm
，例：雨滴 2.质量随t 增加而减小：0 dm ，例：火箭 以上两类问题均可用动量定理推导出的变质量运动方程求解。 二：变质量运动方程 1.运动方程：F )u v (dt dm dt v d m =-+ 2.推导：t 时刻： m ， v ， v m p =1 t+Δt ： m-Δm 、v v ?+；Δm 、u ； u m )m)(-m (2 ?+?+?=v v p )u -v m(-v m v m -)u -v m(-v m v m -u m )m)(-m (12 ??≈????=?+?+?=-=?v v p p p )u v (dt dm dt v d m )u v (t m lim dt v d m t p lim dt p d 0t 0t -+=-??-+=??=→?→?,由牛顿第二定律F dt p d =， 最终可得F )u v (dt dm dt v d m =-+ （7.1） 即变质量运动方程。 注：u ,v 均是相对于惯性系的速度，即绝对速度。 3.密斯尔斯基方程：R F F dt v d m += （7.3） 在上述方程的基础上，令v u v r -=为废气相对于火箭的速度，它与v 反向。设r e 为火箭 前进方向上的单位矢量，即r e 与v 同向，则有：r r e v v u v -=-=，将上式代入变质量运动 方程可得：F v dt dm dt v d m r =+或R F F dt v d m +=，其中r r R e dt dm v F -=，为推进力。 结论：要提高火箭的v ，需设法提高R F ，即提高r v 和dt dm 。 三：实例：设0F = ，火箭做直线运动且r v =C ，则有m dm v dv v dt dm dt dv m r r - =?-=， 设1)0(f )t (f m m 0==且，则有 C f ln v v f df v dv r r +-=?-=，令t=0时，0v v =，可得： 00 r 0r v m m ln v v v f ln v v +=?+-=。 如令0v 0=，o m '为空火箭的质量，m '为燃料的质量，则有)m m 1ln(v 3.2m m m ln v v 0 r 00r '' +=''+'=。 结论：（1）v 与r v 成正比（2）v 与 0m m ''成正变关系，且增大r v 比增大0 m m '' 的效果好。 四：本节重点：了解变质量运动方程，掌握r v 、0 m m '' 对提高火箭v 的影响。 §1.8 综合例题（从略） 掌握例1、例2、例4，了解例3。 本章习题：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。 第三章 两体问题 第二章 拉格朗日方程 教学目的和基本要求：正确理解各种约束的物理意义，掌握判断力学体系自由度的方法和选择广义坐标的基本原则；能应用虚功原理求解处于静平衡的力学体系的各类问题；掌握运用广义坐标、广义速度和时间来表示拉格朗日函数的方法；能熟练地用理想、完整体系拉格朗日方程建立力学体系的运动微分方程。 教学重点：在理解各种约束、自由度的物理意义的基础上，熟练掌握应用拉格朗日方程求解力学问题的方法。 教学难点：约束、自由度的物理意义及拉格朗日方程在力学问题中的应用。 §2.1 理想约束、达朗贝尔方程 一：牛顿动力学方程的一般解法 1. 一般解法：设有n 个质点，受到k 个约束的质点系，则有3n 个未知的坐标（i i i z ,y ,x ）和k 个未知约束力，为求解这3n 个未知的坐标，解方程的一般步骤如下： 牛顿第二定律?→?3n 个运动微分方程+k 个约束方程????→ ?n F k 个未知消去3n 个微分方 程 ??????????→?个不独立的坐标 个约束方程消去利用k k （3n-k ）个微分方程?→?解出个未知 的（3n-k ）独立坐标 ?????→?个约束方程 利用k 解出全部3n 个未知坐标和k 个未知约束力。 2. 实例：以图1.7的力学问题为例（从略） 3.局限性：当n 、k 的个数较大时，求解方程将十分困难甚至无法完成。因此当n 较大时如果我们能直接写出（3n+k ）个不含未知约束力和非独立坐标的方程，求解方程的过程将大大简化，。这种方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意义还超出了力学的范畴而扩展到物理学别的领域。 二：虚位移、约束和虚功 1.实位移和虚位移 实位移：质点按)t (r r =力学规律运动时，在dt 时间内实际所发生的位移，用r d 表示。 以前我们所讨论的位移均为实位移。 虚位移：想象在某一时刻t ，质点所发生的约束所允许的无限小的位移为虚位移，用r δ表示。它不是质点实际运动所产生的位移，因而不需要时间，只要满足约束条件即可。 δ的运算法则：δ被称为变分符号，它作用在坐标和函数上时与微分符号d 完全相同，如：y x )xy (δδδ+=，x x 2)x (2δδ=。但作用于时间时为零即0t =δ，这一点与d 不同。 2.约束：力学体系在运动时所满足的某些规律，约束在物理上均可用约束方程的形式确切地表达出来。 例：z=0，限制质点在xy 平面上运动；z=0且x 2 +y 2 =0，限制质点在xy 平面上做圆周运动。 3.实位移和虚位移地关系 体系受稳定约束（约束条件不随时间而变化，约束方程中不含时间t ）时，实位移是众多虚位移中的一个。 体系受不稳定约束（约束方程中含时间t ）时，实位移与虚位移无直接关系。 三：虚功：（想象的）力F 在质点的虚位移r δ上所做的功为虚功，r F W δδ?= （1.1） 四：理想约束： 1.定义：所有约束力（内，外约束力）在体系的任意虚位移上所做的虚功之和为零，则 这种约束为理想约束。可用下式表达该约束的特点：0r F i Ni =?∑ δ （1.2）Ni F 表示第i 个质点所受的内、外约束力之和。 2.常见的理想约束： （1）质点沿光滑曲面（曲线）运动时所受的约束。 因N F 沿曲面法线方向而r δ沿曲面切线方向即有r F N δ⊥，所以0=?=r F W N δδ。 （2）质量可忽略的刚性杆所连接的两质点。 如图2.3所示，21,N N F F 为作用在P 1、P 2在P 1P 2的连线方向上，由牛顿第三定律可得21N N F F -= r F r F r F W N N N δδδδ?=?+?=12211，2121P r r r =-= δδδ。对于刚性杆因r 为常数，所以 1N F r r r ⊥?⊥δδ，最终可得01=?=r F W N δδ （3）两个刚体以光滑表面相接触。 用21,N N F F 表示两个刚体相互之间的作用力和反作用力，则021=+N N F F 。由于两个刚体之间有相对滑动，因此021≠-r r δδ但可以证明21r r δδ-在接触点的公切面 内，而21,N N F F 垂直于公切面，因此0)(211=-?=r r F W N δδδ。 （4）两刚体以完全粗糙的表面相接触。 因刚体在这种约束下只能做纯滚动，即021=-v v ，约束条件为021=-r r δδ，因此有 0)(2112211=-?=?+?=r r F r F r F W N N N δδδδδ （5）两个质点以柔软不可伸长的绳子相连接。 可用类似于（2）的方法证明。 实际的力学体系可看成由刚体和质点构成，只要相互之间的联结是刚性的，接触面是光滑或绝对粗糙的，那么该体系所受的约束都可看成理想约束。如果存在摩擦力F f ，可将其看成主动力，则力学体系所受的约束仍为理想约束。 五：达朗贝尔方程：0r )r m F (i i i i =?-∑ δ （1.4） 证明：设体系由n 个质点构成，i F 为主动力，Ni F 为约束力。 由牛顿第二定律：Ni i i i F F r m += i=1，2，…，n 将n 个方程分别乘以i r δ后相加、移项可得0r )r m F F (i i i Ni i =?-+∑ δ 0r F r )r m F (i Ni i i i i =?+?-?∑∑ δδ0r )r m F (i i i i =?-?∑ δ。最后一步用到了理想约束的特点0r F i Ni =?∑ δ，在该方程中约束力Ni F 不再出现。 六：例：用达朗贝尔方程写出图1.7所示力学体系的运动方程（从略） 理论力学试题及答案 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩M 10kN F '=，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4 第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则 杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 3. 在图示机构中，已知m r B O A O 4.021===，AB O O =21，A O 1杆的角速度4rad ω=，角加速度22rad α=，求三角板C 点的加速度，并画出其方向。 F O R ' O M 理论力学期末考试试题 1-1、自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力。 解：取T型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布： q=60kN/m，2q=40kN/m，机翼重1p=45kN，发动机重2p=20kN，发动机螺旋桨的反作用力1 偶矩M=。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, F F F, 求：A，D处约束力. 12 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A端采用铰链约束，B端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m。在节点E和G上分别作用载荷 F=10kN，G F=7 kN。试计算杆1、2和3的内力。 E 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，。若F=10kN，求各杆的内力。 又EC=CK=FD=DM 2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。在节点D沿对角线LD方向作用力D F。在节点C沿CH边铅直向下作用力F。如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的内力。 2.7 Couples 1. Definition: Two parallel, noncollinear forces that are equal in magnitude and opposite in direction are known as a couple. 2. Moment of a couple about a point： (a). Scalar calculation M O = F(a+d) –F(a) = Fd Characteristics: · A couple has no resultant force (ΣF = 0). · The moment of a couple is the same about any point in the plane of the couple. (b). Vector calculation The moment of the couple about point O is given by: M O= r OA ×F + r OB × (–F) = (r OA – r OB) × F = r BA × F Conclusion: · The moment of a couple is the same about every point. · So, the moment of a couple is a free vector. · But the moment of a force about a point is a fixed vector！ 3. Equivalent couples： The following four operations can be performed on a couple to produce its equivalent couples. (a) Changing the magnitude F of each force and the perpendicular distance d while keeping the product Fd constant; (b) Rotating the couple in its plane; (c) Moving the couple to a parallel position in its plane; (d) Moving the couple to a parallel plane. 4. The addition and resolution of couples (1) The addition of couples (a) By the usual rule of vector addition. (b) Bing free vectors, concurrency is not required. (c) To minimize the possibility of confusion, we use M to denote moment of forces and reserve C for couples. (2) The resolution of couples The resolution of couples is the same as the resolution of moments of forces. For example, the moment of a couple about an axis AB can be written as M AB= C·λ Sample Problem 2.7 For the couple shown in the figure, determine (1) the corresponding couple-vector and (2) the moment of the couple about the axis GH. Solution: (1) The magnitude of the couple is: C = Fd = 100 × 0.6 = 60 kN·m The sense of the couple is counterclockwise. Let λ be the unit vector along the direction of the couple. Then it can be written as λ = (3j + 4k)/5 Therefore the couple-vector is C = Cλ = 60λ = 36j + 48k kN·m 《理论力学》教案 使用教材：《理论力学》 (哈工大主编) 第一篇静力学 第一章静力学 一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。 2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。 3．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。 4．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。 5．掌握力多边形法则及平面汇交力系合成与平衡的几何条件。 二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。 2）刚体：在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。 3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。 4）力：物体之间的相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。 5）力的分类： 集中力、分布力 主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。 7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。 8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。 9）力的合成与分解：若力系与一个力F R等效，则力F R称为力系的合力，而力系中的各力称为合力F R的分力。力系用其合力F R代替，称为力的合成；反之，一个力F R用其分力代替，称为力的分解。 2．静力学公理及其推论 公理1：二力平衡条件 指出了作用于刚体上最简单力系的平衡条件。对刚体而言，这个条件既必要又充分，但对非刚体而言，这个条件并不充分。 公理2：加减平衡力系公理 此公理是研究力系等效变换的依据，同样也只适用于刚体而不适用于变形体。 推论1：力的可传性 表明作用于刚体上的力是滑动矢量。 D 《理论力学》期末考试试题A 卷 一、选择题（本题共12分，每小题3分，请将答案的序号填入括号内） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为（ C ）。 A 滑动状态 B 临界平衡状态 C 静止(非临界平衡)状态 D 不能确定 2. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系组成的空间力系的独立平衡方程数目为（ B ）。 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 3. 图示偏心轮顶杆机构中，轮心为C ，ω=常量。选杆端A 为动点，在C 点固连平移系（动系）， 则牵连速度和牵连加速度的方向分别为（ B ）。 A 垂直于AO ，沿AO 方向 B 垂直于CO ，沿CO 方向 C 沿AO 方向，垂直于AO D A 点切线方向，沿AC 方向 4、正方形薄板由铰链支座A 支承，并由挡板B 限制，使AB 边呈铅垂位置，如图所示。若将挡板B 突然撤去，则在该瞬时支座A 的反力的铅垂分量的大小将（ C ）。 A 不变 B 变大 C 变小 D 无法确定 二、填空题（本题共26分，请将答案填入括号内） 1（本小题4分）. 如图所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F 的力。问棱长a ，b ，c 满足（ 0c b a --= ）关系时，该力系能简化为一个力。 2（本小题4分）. 正方形板ABCD 以匀角速度ω绕固定轴z 转动，点1M 和点2M 分别沿对角线BD 和边线CD 运动，在图示位置时相对板的速度分别为1v 和1v ，则点1M 和点2M 科氏加速度大小分别为（ 1v ）和（ 0 ）。 3（本小题5分）. 图示均质圆盘A 、B 均重G ，半径均为R ；物块C 重P ，A 、B 与绳之间无 相对滑动，某瞬时速度为v ，该瞬时系统的动能等于（ 2 8716P G v g + ） 。 4（本小题5分）.图示T 字形杆由两根长度均为l 的相同的匀质细杆OA ，BC 刚接而成，质量均为m 。质量为m 的质点沿杆BC 以)π2 1 sin(21t l r = 的规律运动。 当T 字形杆绕轴O 以匀角速度ω转动时，在1=t s 时系统对轴O 的动量矩为（ 2 83 ml ω ） 。 大 连 理 工 大 学 课程名称： 理论力学 试卷： A 考试形式：闭卷 授课院系： 力学系 考试日期：2013年1月17日 试卷共６页 一、简答题，写出求解过程 (共25分，每题5分). 1.（5分）图示定滑轮A 质量为 2m ，半径为2r ，动滑轮B 质量为m ，半径为r ，物块C 质量为m 。细绳不可伸长，当物块C 的速度为v 时，试求系统对A 轴的动量矩。 2.（5分）图示两杆完全相同，长度均为l ，B 处铰接，在A 端施加水平力F ，杆OB 可绕O 轴转动，在杆OB 上施加矩为M 的力偶使系统在图示位置处于平衡。不计杆重和摩擦，设力F 为已知，试利用虚位移原理求力偶矩M 的大小。 题一.2图 题一.1图 3.（5分）求图示平面对称桁架CE 杆的内力。 4.（5分）图示均质杆AB ，BC 质量均为m ，长度均为l ，由铰链B 连接，AB 杆绕轴A 转动，初始瞬时两杆处于水平位置，速度为零，角加速度分别为1α和 2α，试将此瞬时惯性力向各杆质心简化。（求出大小，并画在图上） 5.（5分）图示机构由连杆BC 、滑块A 和曲柄OA 组成。已知OB =OA =0.1m ，杆BC 绕轴B 按t 1.0=?的规律转动。求滑块A 的速度及加速度。 题一.4图 α 题一.3图 题一.5图 二、（15分）组合结构如图所示，由AB ，CB ，BD 三根杆组成，B 处用销钉连接，其上受有线性分布载荷、集中力、集中力偶作用，kN 10=F ，kN/m 6=q ， m kN 20?=M ，若不计各杆件的自重，求固定端A 处的约束反力。 三、（15分）图示曲轴各段相互垂直，处于水平面内，在曲柄E 处作用一铅垂方向力F =30kN ，在B 端作用一力偶M 与之平衡。已知AC = CG =GB =400mm ，CD =GH=DE =EH =200mm ，不计自重，试求力偶矩M 和轴承A ，B 处的约束力。 题二图 理论力学 期末考试试题 A 卷 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 大学 《理论力学》课程 教案 2005版 机械、土木等多学时各专业用 2005年8月 使用教材：《理论力学》，祥东主编，大学2002年 《理论力学》，工业大学，高等教育2004年 《Engineering Mechanics理论力学》，昌棋等缩编， 大学2005年 参考文献 ［1］同济大学理论力学教研室，理论力学，同济大学，2001年 ［2］乔宏洲，理论力学，中国建筑工业，1997年 ［3］华东水利学院工程力学教研室，理论力学，高等教育，1984年 ［4］理论力学（第六版）工业大学理力教研室编． 普通高等教育“十五”国家级规划教材高等教育．2002年8月 ［5］理论力学（第3版）郝桐生编．教育科学“十五”国家规划课题研究成果高等教育．2003年9月 ［6］理论力学（第1版）武清玺奇主编． 教育科学“十五”国家规划课题研究成果高等教育．2003年8月 第1篇静力学 第1章静力学基本知识与物体的受力分析 一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等基本概念。 2．深入地理解静力学公理（或力的基本性质）。 3．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。 4．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。 二、基本容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。 2）刚体：在力作用下或运动过程中不变形的物体。刚体是理论力学中的理想化力学模型。 3）约束：对非自由体的运动预加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。 4）力：物体之间的一种相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或效应，理论力学只研究力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。 5）力的分类： 集中力、分布力（体分布力、面分布力、线分布力） 主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系；按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。 7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。 8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 第六章 点的运动学 第一、二节 矢量法 直角坐标法 重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 难点：点的曲线运动的直角坐标法 一、运动学引言 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。 二、点的运动学 本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。 三﹑矢量法 1、点的运动方程 如图，动点M 沿其轨迹运动，在瞬时t ，M 点在图示位置。 由参考点O 向动点M 作一矢量 r =OM ，则称 r 为矢径。 于是动点矢径形式的运动方程为 显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。 用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。 2、点的速度 ) (t r r ) ()(t r t t r r M M 如图，动点M 在时间间隔 △t 内的位移为 则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向，称 为点的平均速度。 当 △t →0时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的速度。即 即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。 3、点的加速度 如图，动点M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 v v v 则t v a 表示动点的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度。 当△t →0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。即 r v dt v d t v a a t t 00lim lim 即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 四、直角坐标法 1、点的运动方程 A t r v r dt r d t r v v t t 00lim lim D 《理论力学》期末考试试题A 卷 一、选择题（本题共12分，每小题3分，请将答案的序号填入括号） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为（ C ）。 A 滑动状态 B 临界平衡状态 C 静止(非临界平衡)状态 D 不能确定 2. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系组成的空间力系的独立平衡方程数目为（ B ）。 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 3. 图示偏心轮顶杆机构中，轮心为C ，ω=常量。选杆端A 为动点，在C 点固连平移系（动系）， 则牵连速度和牵连加速度的方向分别为（ B ）。 A 垂直于AO ，沿AO 方向 B 垂直于CO ，沿CO 方向 C 沿AO 方向，垂直于AO D A 点切线方向，沿AC 方向 4、正方形薄板由铰链支座A 支承，并由挡板B 限制，使AB 边呈铅垂位置，如图所示。若将挡板B 突然撤去，则在该瞬时支座A 的反力的铅垂分量的大小将（ C ）。 A 不变 B 变大 C 变小 D 无法确定 二、填空题（本题共26分，请将答案填入括号） 1（本小题4分）. 如图所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F 的力。问棱长a ，b ，c 满足（ 0c b a --= ）关系时，该力系能简化为一个力。 2（本小题4分）. 正方形板ABCD 以匀角速度ω绕固定轴z 转动，点1M 和点2M 分别沿对角线BD 和边线CD 运动，在图示位置时相对板的速度分别为1v 和1v ，则点1M 和点2M 科氏加速度大小分别为（ 12v ω ）和（ 0 ）。 y x z O c b a 3 F 2 F 1 F A 处的约束反力为: 在形式 二、选择题（共20分，共5题，每题4分） A. L O = mr 2w B. L O = 2mr C. 1 2 L O = mr w 2 D. L O = 0 2. 质点系动量守恒的条件是: A. 作用于质点系上外力冲量和恒为零 B. 作用于质点系的内力矢量和为零 C. 作用于质点系上外力的矢量和为零 D. 作用于质点系内力冲量和为零 1. 如图所示的悬臂梁结构，在图中受力情况下，固定端 M A = ___________________ ； F AX = __________________ ； F Ay = _________________ 2. 已知正方形板 ABCD 作定轴转动，转轴垂直于板面， A 点的速度V A = 10cm/s ，加速度 a A =1^2 cm/s 2,方向如图所示。则正方形板的角加速度的大小为 ________________________ 。 题1图 题2图 3. 图示滚压机构中，曲柄 OA = r ，以匀角速度绕垂直于图面的 O 轴转动，半径为 R 的轮子沿水平面 作纯滚动，轮子中心 B 与 O 轴位于同一水平线上。 则有 3AB = __________________ , w B = _________________ 。 4. 如图所示，已知圆环的半径为 R,弹簧的刚度系数为 k,弹簧的原长为 R 。弹簧的一端与圆环上的 O 点铰接，当弹簧从 A 端移动到B 端时弹簧所做的功为 _______________________ ;当弹簧从A 端移动到C 端 时弹簧所做的功为 ___________________ 。 题3图 题4图 5. 质点的达朗贝尔原理是指：作用在质点上的 上组成平衡力系。 1. 图示机构中，已知均质杆 AB 的质量为 m,且O 1A=O 2B=r, O 1O 2=AB=l , 010=002=1/2， 若曲柄转 动的角速度为 w,则杆对0轴的动量矩L O 的大小为（ 、填空题（共15分，共5题，每题3 分） Engineering Mechanics (工程力学) 1.Introduction (绪论) Objective (教学目标)： 1. Definition (理论力学的定义) 2. Study objects (研究对象) 3. Study contents (研究内容) 4. Study methods (研究方法) 5. Study aims (研究目的) 1. Definition (定义)理论力学(Theoretical Mechanics): 研究物体机械运动一般规律的科学。 2.Study objects (研究对象)：理论力学所研究的机械运动是速度远小于光速的宏观物体的机械运动；以牛顿总结的基本定律为基础，属于古典力学。 这种机械运动在日常生活和实际过程中经常遇到。 研究塔吊不致倾倒，确定所需配重 汽车通过轮胎作用在桥面上的力 桥面板作用在钢梁的力 齿轮啮合力 理论力学研究这种运动的最一般、最普遍的规律，是各门力学分支的基础。 3.Study contents (研究内容)： Statics (静力学)：研究物体受力后平衡时的平衡条件，建立平衡方程。包括物体的受力分析和力系的简化等； Kinematics (运动学)：从几何的角度研究物体的运动（轨迹、速度、加速度）不考虑引起运动的物理原因(只看现象，不管本质。) Dynamics (动力学)：研究物体运动和作用力之间关系。 4. Study methods (学习方法) Engineering approach: a. Given: Carefully read the problem statement and list all the data provided. If a figure is required, sketch it neatly. b. Find: State precisely the information that is to be determined. c. Solution: Solve the problem, showing all the steps that you used in the analysis. Work neatly. d. Validate: Many times, an invalid solution can be uncovered by simply asking yourself, “Does the answer make sense”. 5. Study aims (研究目的) 学习理论力学是解决工程问题的基础；理论力学是后续课的基础(材料力学、机械原理、机械零件、其它力学课程)。 ·Statics and dynamics form the foundation of many engineering disciplines and are, therefore, essential to the training of an engineer. 理论力学教案 课程名称理论力学 任课教师曾奇军 所在系（院）物理电子工程学院 任课班级物理学本科 信阳师范学院 《理论力学》课程基本信息 （一）课程名称：理论力学 （二）学时学分：每周4学时，学分4 （三）予修课程：力学、高等数学 （四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。 （五）教学参考书： 1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。 2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。 3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。 （六）教学方法：课堂讲授，启发式教学 （七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合 （八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30% （九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。 （十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成 绩将占期末总成绩的30%。 绪论 一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。 二：《理论力学》与《力学》的区别和联系 1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。 2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。 《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。 一、填空题（共15分，共 5 题，每题3 分） A 处的约束反力为： M A = ；F Ax = ；F Ay = 。 2. 已知正方形板ABCD 作定轴转动，转轴垂直于板面，A 点的速度v A ＝10cm/s ，加速度a A =cm/s 2，方向如图所示。则正方形板的角加速度的大小为 。 题1图 题2图 3. 图示滚压机构中，曲柄OA = r ，以匀角速度绕垂直于图面的O 轴转动，半径为R 的轮子沿水平面作纯滚动，轮子中心B 与O 轴位于同一水平线上。则有ωAB = ，ωB = 。 4. 如图所示，已知圆环的半径为R ，弹簧的刚度系数为k ，弹簧的原长为R 。弹簧的一端与圆环上的O 点铰接，当弹簧从A 端移动到B 端时弹簧所做的功为 ；当弹簧从A 端移动到C 端时弹簧所做的功为 。 题3图 题4图 5. 质点的达朗贝尔原理是指：作用在质点上的 、 和 在形式上组成平衡力系。 二、选择题（共20分，共 5 题，每题4 分） AB 的质量为m ，且O 1A =O 2B =r ，O 1O 2=AB =l ，O 1O =OO 2=l /2，若曲柄转动的角速度为ω，则杆对O 轴的动量矩L O 的大小为( )。 A. L O = mr 2ω B. L O = 2mr 2ω C. L O = 12mr 2ω D. L O = 0 2. 质点系动量守恒的条件是：( ) A. 作用于质点系上外力冲量和恒为零 B. 作用于质点系的内力矢量和为零 C. 作用于质点系上外力的矢量和为零 D. 作用于质点系内力冲量和为零 3. 将质量为m 的质点，以速度 v 铅直上抛，试计算质点从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改变量：( ) A. 质点动量没有改变 B. 质点动量的改变量大小为 2m v ，方向铅垂向上 B 材料力学是固体力学的一个基础分支，是工科重要的技术基础课，只有学好材料力学才能学好与本专业有关的后续课程（例如：机械零件等）。 材料力学与工程的关系：材料力学广泛应用于各个工程领域中，如众所周知的飞机、飞船、火箭、火车、汽车、轮船、水轮机、气轮机、压缩机、挖掘机、拖拉机、车床、铇机、铣机、磨床、杆塔、井架、锅炉、贮罐、房屋、桥梁、水闸、船闸等数以万计的机器和设备、结构物和建筑物，在工程设计中都必须用到材料力学的基本知识。对于某些工程如化学工程，由于客观条件的苛刻，如：高温、高压、低温、低压、易燃、易爆、腐蚀、毒性对于机器和设备的力学设计将提出更高的要求。因此对于各类高等工业大学的学生和实际工程中的工程师们都必须具备扎实的材料力学知识。 第一章绪论 §1.1 材料力学的任务 §1.2 变形固体的基本假设 §1.3 外力及其分类 §1.4 内力、截面法和应力的概念 §1.5 变形与应变 §1.6 杆件变形的基本形式 §1.1 材料力学的任务 材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状 态和破坏准则，以解决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提供依据。 材料的力学性能：如材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸率、断面收缩率、弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极限等各种设计指标。它们都需要用实验测定。 构件的承载能力：强度、刚度、稳定性。 构件：机械或设备，建筑物或结构物的每一组成部分。 强度：构件抵抗破坏（断裂或塑性变形）的能力。 所有的机械或结构物在运行或使用中，其构件都将受到一定的力作用，通常称为构件承受一定的载荷，但是对于构件所承受的载荷都有一定的限制，不允许过大，如果过大，构件就会发生断裂或产生塑性变形而使构件不能正常工作，称为失效或破坏，严重者将发生工程事故。如飞机坠毁、轮船沉没、锅炉爆炸、曲轴断裂、桥梁折断、房屋坍塌、水闸被冲垮，轻者毁坏机械设备、停工停产、重者造成工程事故，人身伤亡，甚至带来严重灾难。工程中的事故屡见不鲜，有些触目惊心，惨不忍睹……因此必须研究受载构件抵抗破坏的能力——强度，进行强度计算，以保证构件有足够的强度。 刚度——构件抵抗变形的能力。 当构件受载时，其形状和尺寸都要发生变化，称为变形。工程中要求构件的变形不允许过大，如果过大构件就不能正常工作。如机床的齿轮轴，变形过大就会造成齿轮啮合不良，轴与轴承产生不均匀磨损，降低加工精度，产生噪音；再如吊车大梁变形过大，会使跑车出现爬坡， 二、填空题（30分，每空2分） 1.如下图所示，边长为a =1m 的正方体，受三个集中力的作用。则将该力系向O 点简化可得到： 主矢为=R F （ ， ， ）N ； 主矩为=O M （ ， ， ）N.m 。 2.如下图所示的平面机构，由摇杆A O 1、B O 2， “T 字形”刚架ABCD ，连杆DE 和竖直滑块E 组成，21O O 水平，刚架的CD 段垂 直AB 段，且AB =21O O ，已知l BO AO ==21，DE=l 4 ，A O 1杆以匀角速度ω绕1O 轴逆时针定轴转动，连杆DE 的质量均匀分布且大小为M 。 根据刚体五种运动形式的定义，则“T 字形”刚架ABCD 的运动形式为 ，连杆DE 的运动形式为 。 在图示位置瞬时，若A O 1杆竖直，连杆DE 与刚架CD 段的夹角为o CDE 60=∠，则在该瞬时：A 点的速度大小为 ，A 点的加速度大小为 ，D 点的速度大小为 ，连杆DE 的速度瞬心到连杆DE 的质心即其中点的距离为 ，连杆DE 的角速度大小为 ，连杆DE 的动量大小为 ，连杆DE 的动能大小为 。 2 三、计算题（20分） 如左下图所示，刚架结构由直杆AC 和折杆BC 组成，A 处为固定端，B 处为辊轴支座，C 处为中间铰。所受荷载如图所示。已知F=40 kN ，M= 20kN ·m ，q=10kN/m ，a=4m 。试求A 处和B 处约束力。 四、计算题（20分） 机构如右上图所示，1O 和2O 在一条竖直线上，长度mm A O 2001=的曲柄A O 1的一端A 与套筒A 用铰链连接，当曲柄A O 1以匀角速度s rad /21=ω绕固定轴1O 转动时，套筒A 在摇杆B O 2上滑动并带动摇杆B O 2绕固定轴2O 摆动。在图示瞬时，曲柄A O 1为水平位置，02130=∠B O O 。 试求此瞬时： （1）摇杆B O 2的角速度2ω；（2）摇杆B O 2的角加速度2α 五、计算题（20分） 如下图所示，滚子A 沿倾角为θ=030的固定斜面作纯滚动。滚子A 通过一根跨过定 《理论力学》期末考试 模拟试卷04 一．判断题（认为正确的请在每题括号内打√，否则打×；每小题3分，共30分） 1. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平移。 （错） 2. 不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理a =e +r 皆成立。 （对） 3. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量 和。 （错） 4. 某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢 一定等于零，主矩也一定等于零。 （对） 5. 某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必 为力螺旋。 （对） 6. 某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。 （错） 7. 已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f 1（t ），y=f 2（t ），z=f 3（t ），则任一瞬时点的 速度、加速度即可确定。 （对） 8. 一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。 （对） 9. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （错） 10. 某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理[][]A AB B AB v v =永远成立。 （对） 二．填空题（把正确答案括号内，每空1分，共15分） 1. 已知点沿半径为R 的圆周运动，其规律为①S=20t ；②S=20t2（S 以米计，t 以秒计），若t=1秒，R=40米，则上述两种情况下点的速度为① 20m/s ，② 40m/s ；点的加 速度为① 10m/s2 ，② 2. 已知A 重100kN ，B 重25kN ，A 物与地面间摩擦系数为0.2。端铰处摩擦不计。则物体 A 与地面间的摩擦力的大小为 15 kN 。 3. 定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v =ω× 4. 若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴 的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和 5. 如右图所示的平面机构，由摇杆 A O 1、 B O 2，“T 字形”刚架ABCD ，连杆 DE 和竖直滑块E 组成，21O O 水平，刚架的CD 段垂直AB 段，且AB=21O O ，已知 l BO AO ==21，DE=l 4 ，A O 11DE 的质量均匀分布且大小为M 。在图示位置瞬时，若A O 1杆竖直，连杆DE 与刚架CD 段的夹 角为o CDE 60=∠，则在该瞬时：A 点的速度大小为 l ω ，A 点的加速度大小为 l 2ω ，D 点的速度大小为 l ω ，连杆DE 的速度瞬心到连杆DE 的质心即其中点的距离为 l 2 ，连 杆DE 的角速度大小为 2ω ，连杆DE 的动量大小为 l M ω ，连杆DE 的动能大小为 2 232l M ω。 三、机构如图所示，已知： 3t π?= （?以rad 计，t 以 s 计），杆cm r AB OA 15===， cm OO 201=，杆 cm C O 501=，试求当s t 7=时，机构中滑块B 的速度， 理论力学试题 一`作图题（10分） 如下图所示，不计折杆AB 和直杆CD 的质量，A 、B 、C 处均为铰链连接。试分别画出图中折杆AB 和直杆CD 的受力图。 二、填空题（30分，每空2分） 1.如下图所示，边长为a =1m 的正方体，受三个集中力的作用。则将该力系向O 点简化可得到： 主矢为=R F ρ （ ， ， ）N ； 主矩为=O M ρ （ ， ， ）N.m 。 2.如下图所示的平面机构，由摇杆A O 1、B O 2，“T 字形”刚架ABCD ，连杆DE 和竖直滑块E 组成，21O O 水平，刚架的CD 段垂直AB 段，且AB =21O O ，已知 l BO AO ==21，DE=l 4 ，A O 1杆以匀角速度ω绕 1O 轴逆时针定轴转动，连杆 DE 的质量均匀分布且大小为 M 。 根据刚体五种运动形式的定义，则“T 字形”刚架ABCD 的运动形式为 ，连杆DE 的运动形式为 。 在图示位置瞬时，若A O 1杆竖直，连杆DE 与刚架CD 段的夹角为o CDE 60=∠，则在该瞬时：A 点的速度大小为 ，A 点的加速度大小 为 ，D 点的速度大小为 ，连杆DE 的速度瞬心到连杆DE 的质心即其中点的距离为 ，连杆DE 的角速度大小为 ，连杆DE 的动量大小为 ，连杆DE 的动能大小为 。 三、计算题（20分） C 处为中间A A r v C P F ρ D C 2O 1O ω E B A D 铰。所受荷载如图所示。已知F=40 kN ，M= 20kN ·m ，q=10kN/m ，a=4m 。试求A 处和B 处约束力。 四、计算题（20分） 机构如右上图所示，1O 和2O 在一条竖直线上，长度mm A O 2001=的曲柄A O 1的一端A 与套筒 A 用铰链连接，当曲柄A O 1以匀角速度s rad /21 =ω绕固定轴1O 转动时，套筒A 在摇杆B O 2上滑动 并带动摇杆B O 2绕固定轴2O 摆动。在图示瞬时，曲柄A O 1为水平位置，02130=∠B O O 。 试求此 瞬时：（1）摇杆B O 2的角速度2ω；（2）摇杆B O 2的角加速度2α 五、计算题（20分） 如下图所示，滚子A 沿倾角为θ=0 30的固定斜面作纯滚动。滚子A 通过一根跨过定滑轮B 的绳子与物块C 相连。滚子A 与定滑轮B 都为均质圆盘，半径相等均为r ，滚子A 、定滑轮B 和物块C 的质量相等均为m ，绳子的质量忽略不计。系统由静止开始运动，试求： （1）物块C 的加速度； （2）绳子对滚子A 的张力和固定斜面对滚子A 的摩擦力。 答案 一、作图题（10分） （5分） （5分） 二、填空题（30分，每空2分） 1． －1，2，－3 ； －4，2，2 2． 平移或平动， 平面运动 。 l ω， l 2ω，l ω ，l 2， 2 ω ， l M ω， 2232l M ω 。 三、计算题（20分） 解：（1）取折杆BC 为研究对象，画出受力图（4分） 列平衡方程组中的一个方程得： RB精选-理论力学试题及答案
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