习题变式的途径和方法

3.思维能力的培养要贯穿数学教学的全过程数学教学过程，不是单纯地传授和学习知识的过程，而是促进学生全面发展（包括思维能力的发展）的过程。

从中学数学教学过程来说，数学知识和技能的掌握与思维能力的发展也是密不可分的。

一方面，学生在理解和掌握数学知识的过程中，特别是探求新知过程中，不断地运用着各种思维方法和形式，如比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理。

另一方面，在学习数学知识时，为运用思维方法和形式提供了具体的内容和材料。

这样说，绝不能认为教学数学知识、技能的同时，会自然而然地培养学生的思维能力。

数学知识和技能的教学只是为培养学生思维能力提供有利的条件，还需要在教学时有意识地充分利用这些条件，并且根据学生年龄特点有计划地加以培养，才能达到预期的目的。

如果不注意这一点，教法违背激发学生思考的原则，则不仅不能促进学生思维能力的发展，相反地还有可能逐步使学生养成死记硬背的不良习惯。

（1）培养学生思维能力要贯穿在中学阶段各个年级的数学教学中要明确各年级都担负着培养学生思维能力的任务。

从低年级一开始就要注意有意识地培养学生的抽象、概括能力，以及分析、综合的能力。

如果不注意引导学生去思考，从一开始就有可能不自觉地把学生引向死记数的组成，机械地背诵加、减法得数的道路上去。

而在低年级养成了死记硬背的习惯，以后就很难纠正。

（2）培养学生思维能力要贯穿在每一节课的各个环节中在教学中我看到，有的老师也注意发展学生思维能力，但不是贯穿在一节课的始终，而是在一节课最后出一两道稍难的题目来作为训练思维的活动，或者专门上一节思维训练课。

这种把培养思维能力只局限在某一节课内或者一节课的某个环节中的做法，是值得研究的。

当然，在教学过程中始终注意培养思维能力的前提下，为了掌握某一特殊内容或特殊方法进行这种特殊的思维训练是可以的，但是不能以此来代替教学全过程发展思维能力的任务。

（3）培养思维能力要贯穿在各部分内容的教学中这就是说，在教学数学概念、计算法则、解答应用题或操作技能（如测量、画图等）时，都要注意培养思维能力。

“变式”数学中习题变式应注意的问题【摘要】数学关注学生的思维与表达，关注学生在足够的思维空间里培养思维能力，关注学生对于逻辑关系的推理和解决问题的思路训练。

故而数学往往都会利用“变式”的手段培养学生，使学生的思维面拓宽，善于从问题中发现，敢于从问题中创新。

“变式”数学，重点挖掘学生潜力，让学生从知识点的泥沼之中脱离出来，通过数学知识与实际问题结合认知，使学生对逻辑性的数学知识有更深的体会。

笔者就“变式”数学提出习题变式应该注意的问题，让学生有效利用习题训练思维、培养能力，供各位教师参考借鉴。

【关键词】“变式”数学；初中数学“变式”数学，在数学基本的知识点上进行创新的教学手段，由点及面，通过习题变式，联系知识点和数学思维，结合数学逻辑和解题思路，融合数学方法进行培养。

通过变式训练，反思总结，从浅显易懂到繁琐复杂的例子，由浅入深，逻辑层次和难度层次逐渐加大，让学生将学习落到实处，举一反三，不仅有效拓展训练，更有效缩短同一知识点讲解的时间，更有利于学生理解和接受，从而达到预期效果来提高教学效果。

提高学生的数学修养水平，培养学生的数学能力，让学生学会解决问题。

一、以知识内容为基础，变式巩固练习基础知识的内容是学习的根基，学习的提升从基本知识点的理解后，进行知识点的框架搭造。

学生在学习的过程中，对较为简单的知识内容，比如基本概念、数学定理的条件、数学结论的推导等，往往由于简单而粗心应对，失去挑战和进一步深入的思考。

利用变式练习可以加深学生对于知识点的理解，从变式中拓展思维，巩固练习。

如：[例题]请求出9的平方根是( )[变式1] : 请分别求出9的正的平方根和负的平方根是（）[变式2] :已知x的平方根是9，则x=( )从这个练习当中，该题的考点主要是平方根的概念知识，在考试题中属于最简单的内容，然而学生对于概念知识模糊，通常容易由于理解不够透彻而在考试中失分，在经过变式练习够，学生可以围绕平方根的基本内容进行深入辨析，一个非负数的平方跟有两个，正的平方根和负的平方根。

中职排列组合一题多变变式题教案一、课题排列组合一题多变二、教学目标1. 知识与技能目标学生能够理解排列组合的基本概念和原理。

掌握排列组合的计算方法，并能熟练运用解决问题。

2. 过程与方法目标通过一题多变的练习，培养学生的思维灵活性和创新能力。

提高学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力。

3. 情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，增强学习数学的自信心。

培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

三、教学重点1. 教学重点排列组合的基本概念和计算方法。

一题多变的解题思路和方法。

2. 教学难点灵活运用排列组合知识解决复杂问题。

如何引导学生从不同角度对题目进行变式和拓展。

四、教学方法讲授法、讨论法、练习法五、教学过程（一）导入（5 分钟）教师：同学们，在前面的课程中我们学习了排列组合的知识，今天我们将通过一题多变的方式来加深对这部分内容的理解和应用。

来看这样一道题目：课本原文：从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的排列数是多少？教师讲解：根据排列数的公式：$A_{n}^m = n! / (n m)!$，那么从 5 个不同元素中取出 3 个元素的排列数为$A_{5}^3 = 5! / (5 3)! = 5×4×3 = 60$。

（二）原题讲解（5 分钟）学生讨论并回答。

教师总结：组合数的公式为$C_{n}^m = n! / [m!(n m)!]$，所以从 5 个不同元素中取出 3 个元素的组合数为$C_{5}^3 = 5! /[3!(5 3)!] = 10$。

（三）一变：元素个数变化（10 分钟）教师：我们再对题目进行变化，如果变为“从 6 个不同的元素中取出 3 个元素的排列数是多少？”大家动手算一算。

学生计算，教师巡视指导。

教师：哪位同学来说说你的答案和计算过程？学生回答。

教师：非常好，根据排列数公式可得$A_{6}^3 = 6! / (6 3)! = 120$。

（四）二变：取出元素个数变化（10 分钟）教师：那如果题目变为“从 5 个不同的元素中取出 2 个元素的排列数是多少？”同学们自己思考并计算。

数学课堂教学中的变式教学变式教学是对教学中的概念，定理，习题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。

一、变式教学的意义1.运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续的热情。

课堂教学效果很大程度上处决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识。

加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，是现代数学教学的趋势。

通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。

２.运用变式教学，培养学生思维的广阔性。

思维的广阔性是发散思维的又一特征。

思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。

反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。

可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。

教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。

要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。

要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。

现在课本中，有一部分例题的“想一想”是把例题进行变式训练的，我们可以利用它们切实培养学生思维的广阔性。

3.运用变式教学，培养学生思维的深刻性。

变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。

使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性。

4.运用变式教学，培养思维的创造性。

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。

变式题,基本题,综合题,发展题,思考题的区别
一、变式题
变式题是指所用的思想方法类似，但形式不同的一类问题。

变式题有这样几种：
1、变条件，得出一种新题。

2、条件不变，变结论，得出新题型。

3、常量变成变量，使问题复杂，通过讨论才能解决问题。

4、条件，结论都变化，解法不变，得出新题型。

变式练习是指在其他教学条件不变的情况下，变化概念和规则的例证。

变式练习是学习以产生式表征的程序性知识的必要条件。

变式练习是知识转化为技能的关键途径。

在概念学习中，指向学生呈现概念的正反例证让学生进行辨别判断；在规则学习中，指给学生呈现多种有变化的问题情景，要求学生运用规则解决。

二、基本题
数学基本题就是那些课本上刚讲的知识点,在这些知识点后面做的相关的那些题目,这些基本上是基础题。

三、综合题
很多知识参在一起的叫综合题。

四、发展题
表示有一定难度的题。

目的是让学生在掌握数学基础知识和基本技能的基础上,解决在生产,生活中具有一定难度的数学问题,提高与发展学生的数学应用能力以及数学思维能力。

五、思考题
一些更具有思维价值的一种特殊的习题。

思考题不只是能够巩固知识技能,还可以培养学生的综合能力,特别是对创新能力的培养更是起着积极的作用,思考题不局限于某一形式,某一题型,可以是实验探究,资料搜集,还可以是某一知识(现象或反应)的拓展。

梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1]如图1，梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

图1析解:过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。

在△BCM 中，BM=AD=4,CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是： 5－4〈BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF,求EF 的长。

图2析解:过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得 ∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点 所以)CH BG BC (21GH 21EF --==1)13(21)AD BC (21)]DE AE (BC [21)DE AE BC (21=-=-=+-=--=3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3]如图3,在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25,求证:AC ⊥BD.图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10.在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+,从而AC ⊥CE ，于是AC ⊥BD.【变式1】（平移对角线)已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________[例4]如图4,在梯形ABCD 中，AD//BC,AC=15cm,BD=20cm ，高DH=12cm,求梯形ABCD 的面积。

小学数学教育中学生核心素养的培养核心素养作为教育领域中一个重要的概念，受到越来越多的关注。

而数学素养，尤其是小学数学素养和中学数学素养作为核心素养中的重要部分，也一直备受教育者、家长和学生们的关注。

小学和中学是数学素养发展的重要阶段，因此培养小学和中学生数学核心素养不仅对于学生个人的成长有着重要意义，同时也对整个社会的发展具有不可忽视的作用。

本篇论文将从小学生和中学生数学核心素养的概念、关键特征和培养策略三个方面进行分析，并提出相应的培养建议。

一、小学生数学核心素养的概念、关键特征和培养策略1. 概念小学生数学核心素养是指在小学阶段，学生具备了一定数学知识和技能，能够运用这些知识和技能解决在学习、生活和社会实践中遇到的数学问题，并形成良好的数学思维和数学态度，为进一步的数学学习打下坚实的基础。

2. 关键特征（1）数学基础知识扎实。

小学阶段是数学基础知识的奠基期，学生需要通过系统化、渐进式的学习方式掌握基础知识。

（2）数学思维能力强。

小学阶段学生的数学思维能力培养尤为重要，这包括逻辑思维、创造性思维、空间想象力等方面。

（3）数学应用能力强。

小学阶段培养学生运用数学解决生活中实际问题的能力和习惯非常重要。

（4）数学交流能力强。

小学阶段可以通过丰富多彩的课堂教学和课外活动，培养学生的数学交流能力，包括数学表达能力和数学沟通能力。

3. 培养策略（1）建立数学学习兴趣。

如何激发学生对数学的学习兴趣，提高数学学习的积极性是数学教育的首要任务。

可以通过丰富的课外课活动或者数学竞赛等方式培养学生兴趣。

（2）建立数学学习的基础知识。

在小学数学实践中，最基本的是数学知识储备。

学生首先需要掌握基本算法和基础概念，如数的四则运算和小数、分数等概念。

（3）培养数学思维能力。

数学思维能力的培养是小学数学教育的一个重点。

可以通过扩大数学应用领域、采用启发式教学法等方式培养学生的数学思维能力。

（4）加强数学实践应用需求。

数学实践中需要学生具备可持续运用数学知识解决实际问题的能力，教师可以通过生活实例等方式引导学生运用数学知识。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例谈变式教学设计在习题课教学中的作用 作者：王大胄 来源：《中学教学参考·理科版》2010年第09期

教学设计是灵活多样的,而习题的变式教学设计对学生思维品质的培养是很有效,尤其是对学生的创新和创造性思维的培养.下面就一个例题的简单变式设计,来说明习题的变式设计在数学习题课教学中的重要意义.

题目:求曲线y2=-2x-4上与原点距离最近的点的坐标. 解:设所求的点为P(x,y),则 |OP|=x2+y2=x2-2x-4=(x-1)2-5(x≤-2) ,当x=-2时这时y=0,所以点(-2,0)为所求的坐标. 说明:此点即为抛物线的顶点. 1.改变条件,挖掘内在联系,培养学生思维的概括性和严谨性 [变式1] 求曲线y2=-2x+4上与原点距离最近的点的坐标. 说明:此点不是抛物线的顶点,抛物线对称轴上的点到抛物线最近距离不一定在抛物线顶点处,学生可能会用图像法而错误地观察到在顶点处.此题的设计目的是揭示问题的实质,培养思维的严谨性与概括性.

2.条件一般化,提高综合分析能力,培养学生思维的深刻性 [变式2] 在曲线y2=-4-2x上求一点M,使此点到点P(k,0)的距离最短,并求最短距离. 说明:本题实际上是前两题的归纳和总结,其目的是提高学生的综合分析能力,培养思维的深刻性.这种将问题条件一般化,是设计变式习题的一种常用方法.

3.添加背景材料,提高应变能力,培养学生思维的灵活性 [变式3] 抛物线2=-4-2x与动圆-a)2+y2=1没有公共点,求a的取值范围. 说明:在教学中善于引导学生变换习题的形式,可激发学生的求知欲望,提高学生的应变能力,培养学生思维的灵活性.

4.联系实际,增强应用意识,培养学生思维的广阔性 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 上例中,圆与抛物线的位置关系有两种:一种是圆在抛物线的外部,另一种是圆在抛物线的内部.如果条件变为只有一个公共点,则可引出下面的变式4.

中学数学中的变式教学设计变式教学是数学教学中的一种常见方式.是夯实数学基础、形成数学能力的有效方式.通过变式教学可以帮助学生深入理解概念;灵活运用公式、定理;提高分析问题解决问题的能力，从而培养数学思维.本文就变式教学的意义、变式在概念、命题、问题解决教学中的设计以及变式教学过程中应把握的问题等几方面进行研究.1 问题的提出变式教学是一种传统和典型的数学教学方式，不仅有着广泛的理论基础而且经过了实践的检验.1.1 变式教学研究的理论意义1.1.1 从认知过程看：奥苏伯尔的学习理论认为，学习过程是在原有认知结构基础上形成新的认知结构的过程.新的概念、命题等总是通过与学生原有的有关知识相互联系，相互作用下转化为主体的知识结构.[1]变式教学，展示了知识发生、发展的过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，形成一种思维训练的有效模式.利用“变式”将知识由“旧”到“新”，学生可多层次、全方位地认识数学问题.由此可知，数学变式教学是遵循学生认知发展规律的.1.1.2 从培养学生的学习兴趣方面看：教育心理学的研究表明，重复、单调的刺激难以引起学生的注意，容易引起思维疲劳，但是绝对新的刺激由于变异的成分较多也难以引起学生的注意.只有相对新鲜的刺激，既有一定的相同或相似，又有一定的变异成分，容易激起学生的兴趣.[2]1.1.3 从有意义的学习方面看：如何判断学生是否理解新知识？或者说是否真正建立了前后知识的本质联系？一种较为有效的手段就是给学生提供一组围绕相关知识的变式问题让学生去解决，如果能解决说明他们真正理解了所学的知识，而且这个新知识已经纳入他们已有的知识结构中去.因此变式教学作为一种流程性检测的工具，也为教师提供了学习结果的反馈.1.2 变式教学研究有一定的实践意义随着近年来新数学课程标准的出台，经历了数学新旧教材的过渡，针对数学新旧教材的差异，教学方法的改革也势在必行.当前数学教学的状况是：老师讲解多，学生思考少;一问一答多，研讨交流少;操练记忆多，鼓励创新少;强求一致多，发展个性少;照本宣科多，智力活动少;显性内容多，隐性内容少;应付任务多，精神乐趣少等等.所以如何有效地减轻学生的学习负担，提高学习的兴趣，就成为即将走上教师工作岗位的毕业生应该思考的问题.数学是一门抽象理论与心智技艺高度结合的学科，由于其内容的抽象性，逻辑的严密性，一向被称作“思维的体操”.因而数学教学应注重揭示数学思维的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力.为了达到这个目的，许多身在教育战线上的教育工作者经过多年的研究和实践，提出了“变式教学”的方式，它让数学教学不再局限于一个狭窄的课本知识领域内，达到了“举一反三”的效果.1.3 综述就变式教学而言，目前的研究或是单纯的变式理论，或是针对习题的变式案例，可以说研究的内容比较单一，未能把理论和实际很好的结合.所以本文将从变式教学的意义、变式教学的分类和设计、变式教学中应注意的问题几个方面进行研究，从而促使理论和实际的结合.2 变式及数学变式教学2.1 所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质特征的一种转换.这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件.2.2 数学变式教学就是指在数学教学过程中采用变式的方式来达到一定的教學目的的教学.具体来说：在教学中，保持数学概念、定理、法则和公式的本质属性不变的前提下，通过增加其非本质属性的各种形式上的变化，促进学生不断研究，探讨进而掌握知识的本质属性，引导学生从不同的角度去分析所要研究的问题，摆脱固有思维定势的束缚，以变异的思维巧妙的运用知识去解决问题.3 变式教学的分类及设计3.1 数学概念中的变式教学数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位.数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程.因此，数学概念的学习应该是一个探究的过程.对一个数学概念的学习，并不是仅仅能记住它的定义、认识代表它的符号，而是真正能把握它的本质属性.尽管在数学对象的定义里已经反映了概念的本质属性，但要真正把握它的本质属性并不是那么容易的.几年来的初中数学教学经验表明：当前在数学学习中，学生在把握数学对象的本质属性方面存在较多的问题，主要表现为对数学概念的本质属性理解不深刻，对同一数学对象的不同表达形式缺乏系统概括的理解.3.1.1 数学概念的变式教学设计及案例1. 在概念的引入过程中运用变式（通过变式自然而然的引入概念，使学生减少对新事物的陌生感，有利于提高学生的学习兴趣.）例1：同位角内错角同旁内角的概念（1）观察以下三个图形中的和，说说他们在位置上有什么共同特点？（2）得出概念：分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同旁，这样的两个角叫做同位角.设计意图：通过图形变式，让学生自己去发现同位角的本质特征，再通过变式导入相似的概念，使学生掌握同位角、内错角、同旁内角的本质特征及三个概念的联系与区别.2.在数学概念的形成过程中运用变式（通过变式引导学生参与形成概念的全过程，让学生自己去发现去创造.）例2：绝对值的定义（1）定义：数轴上表示数的点与原点之间的距离，记为（在引入数轴的概念后，学生只是形式上的认识.头脑中并没有形成这个概念，那么怎样使学生形成正确的概念，在以后做题中能够正确地把握概念就至关重要了.下面用模型和变式模型来呈现概念的形成过程.）练习：_____解：由绝对值的概念知表示与原点0之间的距离，即为4;（2）定义变式：数轴上表示两点之间的距离为变式练习：数轴上点表示的数分别为，它们之间的距离可以表示为（）设计意图：在绝对值概念的形成过程中，通过对原概念和变式概念的比较，使学生理解绝对值的几何意义，把握住绝对值概念的实质：绝对值表示距离.3.在数学概念的巩固过程中运用变式.通过对巩固概念的例题或习题进行变式，掌握概念的本质特征.通过变式让学生准确把握概念的内涵和外延，掌握概念的实质，解除学生对概念的形式定式从而克服思维定式，实现对概念的多角度理解.这一部分可以和问题解决中的变式教学结合起来，在此就不再列举.3.2 数学命题教学中的变式教学设计数学中的公理、定理、公式、法则、性质等统称为数学命题.数学命题是数学基础知识教学的主要内容，它与数学概念的教学、数学基本技能的训练结合在一起进行.通过命题的教学有利于学生从概念的性质和关系方面进一步加深对数学概念的理解，有利于学生形成基本能力，有利于学生将数学判断应用于实际问题.[8]3.2.1 数学命题的变式教学设计及案例1.通过变式剖析命题的结构，掌握各个组成部分，使学生多方面多角度去认识命题4 变式教学设计过程中要把握的三个“度”变式教学，有助于促进学生形成看待固有问题的全新视角，有助于培养学生（甚至是自觉的）探索精神与创新意识.但是，若对特定数学内容的认识不够，对变式的“度”把握不准，不能因材施教，不能把握“生情”与“学情”，一味求变，单纯的为变而变，就会给学生造成过重的学习和心理负担，使学生产生逆反心理，造成事倍功半.4.1 变式的数量要“适度”问题变式的数量确定是一个首要的问题，原因是：第一课堂时间有限，太多了，效果必然不好;第二即使将数学学习的时间拓展到课外，并不能提供关于某一问题的所有变式，无法也没有必要穷尽所有的变化.变式的关键在于学生的成功体验，培养处理未知变化的本领.比如问题：“已知二次函数求其值域，”可以变定义区间，可引入参数来变定义区间，变对称轴，变开口方向，还可以变求值域为求最值，当问题中含有参数时，还可以求最值关于参数的函数的最值（也就是最值互嵌问题），还可以抓住“数形结合”的思想，比较函数值的大小，确定单调区间，研究对称轴方程，等等.如果要在课堂内完成如此多变式的教学，根本不现实：一是完不成，或囫囵吞枣;二是学生不敢学了，失去兴趣.因此，必须抓准教学重点和难点，应该就其展开变式教学.4.2 变式的内容与难度要有“梯度”变式要循序渐进，应限制在学生水平的“最近发展区”.要符合学生的认知规律，步步深入，让学生跳一跳能摘到果子，否则会使学生产生畏难情绪，反而影响问题的解决，降低了学习的效率.若没有“梯度”的变式教学，不如不变.4.3 变式教学要提高学生的“参与度”变式不是教师的“专利”.应该提倡让学生参与变式，教师起引导及时点拨的作用.教师要充分放权，只要学生能够进行变式，老师不能包办;同时，对于学生在变式中获得的成功，教师也要加以肯定表扬.只有這样，才能调动学生的积极性，点燃学生思维的火花，提高学生参与度及创新意识，从而让他们感受到“变式”的乐趣，能力也在不知不觉中得到提升.变式教学是一种有效的教学方式，认真钻研教材，合理选择变式教学的内容，变式教学中注意到这三个“度”，可以事半功倍.“教学有法，教无定法”.凡能引导学生积极思维，并能在不加重学生课业负担情况下取得较好成绩的方法都是好的教学方式，“变式”就是这样一种教学方式.但对于变式还有许多有待研究的问题如：数学思想方法的变式教学，数学变式教学的实际运用情况等等，由于时间、经历有限在此不做深入研究.最后以波利亚的名言作为这篇论文的总结，“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”参考文献[1]戚绍斌.略谈变式教学的若干原则[J].数学通报，1996，1.[2]于世章.加强变式教学提高课堂教学效率[J].中学数学杂志（高中），2006，1.[3]鲍建生等.变式教学研究[J].数学教学，2003，1.[4]郭春艳等.变式教学对数学思维能力的培养功能探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2003，8.[5]鲍建生等.变式教学研究续[J].数学教学，2003，1.[6]张树文等.数学教学中的变式训练初探[J].滩坊教育学院学报，1996，4.[7]钟敏捷.新课程下初中数学教学的有效途径-—变式教学[J].中学数学研究，2009，2.[8]涂荣豹等.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006：96—120[9]王孝国.数学概念定理教学中“变式”的运用[J].中学数学研究，1995年增刊.[10]莫云斌.试谈“变式”在数学教学中的运用[J].网络科技时代，2007，18.。

一题多变 多题归一宁安市石岩学校 金同双知识是静态的，思维是活动的；例题、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。

我们可以通过很多途径对课本的例题、习题进行变式，如：改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。

通过一题多变、多题归一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到举一反三的效应，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。

纵观近几年全国各省市的中考数学试题可以发现，有很多题目都源于课本，特别是一些由基础知识推广与拓展、培养学生理解问题和分析问题、解决问题的题目，大多是由课本中的例题（或习题）改编而成，都能在课本上找到原型。

比如：（新人教版八年级上册第16页综合运用第9题）已知：如图点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF 。

求证：∠A=∠D 。

评析：本习题主要训练学生运用“边边边”条件判定三角形全等，进而运用全等三角形的性质得出所求证的角相等。

由条件BE=CF 不难得出BC=EF ，又有已知条件AB=DE ，AC=DF 。

利用“边边边”条件可得△ABC ≌△DEF,从而∠A=∠D 得证。

就是这样的一道习题却成了各个省市中考命题的源泉，正所谓中考题是“源于课本又高于课本”的变式题。

就此题为例通过“改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等方面”命制几道变试题：一、填空题：1、如图，已知AC=EF ，BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是 。

【答案：∠C=∠E 或AB=FD 或AD=FB ；】2、如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且BC = FD ，AB = EF 。