锐角三角函数与圆的综合应用(含答案)

1 锐角三角函数与圆的综合题

1.如图，在ABC△中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且12CBFCAB.

⑴ 求证：直线BF是O的切线；

⑵ 若5AB，5sin5CBF，求BC和BF的长.

2．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上，

且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，

△BEF的面积为8，且cos∠BFA＝32，求△ACF的面积．

3．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且AED=45．

(1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2) 若⊙O的半径为3，sinADE=65，求AE的值．

OEBFCDAA B C D

E O 2

EOABCD4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，联结AD.

（1）求证：AD是∠BAC的平分线；

（2）若AC= 3，tan B=34，求⊙O的半径.

5．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．

（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若33sinABE，2CD，求⊙O的半径．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）如果⊙O的直径为9，cosB＝13 ，求DE的长

OFEDCBA3

7：如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

8：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC的中点，DPAC,垂足为点P.

（1）求证：PD是⊙O的切线.

（2）若AC=6, cosA=35，求PD的长.

9.如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连接BC．

（1）求证：BE为⊙O的切线；

（2）如果CD=6，tan∠BCD=21，求⊙O的直径的长．

ABCDODBOCAPEBMDCOA4

10.如图，AB 是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，CDAC.

（1）求证：CD是半⊙O的切线；

（2）若2OA，求AC的长.

11.如图，点P在半O的直径BA的延长线上，2ABPA，PC切半O于点C，连结BC.

（1）求P的正弦值；

（2）若半O的半径为2，求BC的长度.

12.如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连结AD、BE，若1sin2A，∠BED=30°．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）DCE△是否是等边三角形？请说明理由；

（3）若O的半径2R，试求CE的长．

例 1：（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.

∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分 A B C

D E

O F CBAOPEBCO5

∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，

∴ ∠EAB+∠BAD =90°.

∴ AD是⊙O的切线. ……………………2分

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.

∵ AE=2AO=6, AB=4,

∴ 5222ABAEBE. …………………………………………………3分

∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ∴ .coscosEBAD ……………4分

∴ .AEBEADAB.6524AD即∴ 5512AD. ……………………5分

例2：（1）证明：如图：连接 OD，AD.

∵D为弧BC的中点，∴弧CD = 弧BD.∴1122PAB.

∵122BOD，∴PABBOD.

∴PA∥DO . ………………………………1分

∵DP⊥AP，∴∠P=90°.∴∠ODP=∠P=90°.

即 OD⊥PD.

∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线. ………………………………2分

（2）连结CB交OD于点E.

∵AB为⊙O直径 ，∴∠ACB =∠ECP=90°.

∵∠ODP=∠P=90°，∴四边形PCED为矩形.

∴PD = CE，∠CED = 90°.…………………………………………………3分

∴OD⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分

在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∴cosA = ABAC.

∵AC = 6 , cosA = 53，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE=PD=21 BC = 4. ……………5分

例3.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，

∴CD⊥AB. ……………………………………… 1分

∴∠AMC＝90°.

∵BE∥CD，∴∠AMC＝∠ABE.∴∠ABE＝90°，即AB⊥BE.

又∵B是⊙O上的点，

∴BE是⊙O的切线. ………………………………………… 2分

（2）∵M是CD的中点，CD=6，∴CM=12CD=3.

在Rt△BCM中，∵tan∠BCD=BMCM=12,∴3BM=12,∴BM=32. …………… 3分

又∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°.

∵CM⊥AB于M，∴Rt△AMC∽Rt△CMB.∴AMCMCMBM,∴2CMAMBM.

∴2332AM.∴AM=6. …………………………… 4分

∴AB=AM+BM=6+32=152. …………………… 5分，即：⊙O的直径的长为152. 12PACOBDE6 4.（1）连结OC ∵OA=OC，∠A=30°∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60° 又∵AC=CD，∴∠A=∠D=30°.∴∠OCD=180°－60°－30°=90° ∴CD是半⊙O的切线（2）连结BC∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∵cosA=ABAC

AC=ABcosA=4×3223∴AC=32

5：（1）证明：如图，连接OC．∵PC切半O于点C，

90PCO．…………………1分

∵2ABPA，PAOAOBOC．

在RtPCO△中，1sin2OCPOP． ······························································· 2分

（2）过点O作ODBC于点D，则2BCBD． ············································· 3分

1sin2P，30P，60POC．

∵OCOB，30BOCB．

在RtOBD△中，2OB，cos303BDOB．----------------4分，23BC．

6.（1）连接OD．--------------------------------1分

∵30BED，60AOD，

∵1sin2A ∴∠A=30∴∠A+∠AOD=90

∴∠ADO=90 ∴ AD是⊙O的切线．---------------------------2分

（2）DCE△是等边三角形．理由如下：

BC为O的直径且ACDE．CECD．CECD．--------------------3分

BC是O的直径，90BEC，

30BED，60DEC，DCE△是等边三角形．-----------------------4分

（3）O的半径2R． 直径4BC

∵△DCE是等边三角形，∴∠EDC=60∴∠EBC=60

在RtBEC△中，sinCEEBCBC，

sin60CEBC34223---------------------------------------------------5分 DCBAOP