小专题(一) 求锐角的三角函数值求锐角三角函数值的方法许多,且方法敏捷,是中考中常见的题型,可以依据已知条件结合图形选用敏捷的求解方法.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下:①干脆依据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可;②若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能干脆求出对应边的长,则可采纳设元的方法求解;③利用互余两角的三角函数关系式,改求其余角的三角函数值;④当干脆用三角函数定义求某锐角的三角函数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解.类型1 运用定义求三角函数值1.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是23,则AAAA的值是 (D )A.25B.35C.√52D.232.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比等于sin A 的是 (A )A.AAAA B.AAAA C.AA AAD.AAAA3.一个等腰三角形的腰是10,底边是12,求这个三角形顶角的正弦值、余弦值和正切值. 解:设三角形顶角为∠A ,底角为∠B ,∠C.则有AB=AC=10,BC=12,作AD ⊥BC 于点D ,作CE ⊥AB 于点E.∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=6.在Rt △ABD 中,AD=√AA 2-AA 2=√102-62=8,又∵S △ABC =12AB ·CE=12BC ·AD ,∴CE=9.6.在Rt△ACE中,AE=√AA2-AA2=√102-9.62=2.8,∴sin ∠BAC=AAAA =9.610=0.96,cos ∠BAC=AAAA=2.810=0.28,tan ∠BAC=AAAA=9.62.8=247.类型2巧设参数求三角函数值4.若a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c=1∶√2∶√3,则cos B的值为(B)A.√63B.√33C.√22D.√245.如图,在△ABC中,∠B=90°,C是BD上一点,DC=10,∠ADB=45°,∠ACB=60°,求AB的长.解:设AB=x,在△ABD中,∵∠ADB=45°,∠B=90°,∴AB=BD=x.∵∠B=90°,∠ACB=60°,∴BC=Atan60°=√33x.又∵BD=BC+DC,∴x=√33x+10,∴x=15+5√3,∴AB的长为15+5√3.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).(1)求证:AC=AF;(2)求tan ∠CAE的值.解:(1)∵∠C=90°,∴EC⊥AC.∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∴EC=EF.在Rt△ACE和Rt△AFE中,EC=EF,AE=AE,∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF.(2)∵F是AB的一个三等分点(AF>BF),∴设BF=x,AF=2x,则AC=2x,AB=3x.在Rt△ACB中,由勾股定理得BC=√(3A)2-(2A)2=√5x.∵tan B=AAAA =√5A=√5,∴在Rt△EFB中,EF=BF·tan B=√5,∴CE=EF=√5,∴tan ∠CAE=AAAA=√55.类型3利用互余的两角的三角函数关系求锐角三角函数值7.在△ABC中,∠C=90°,则下列式子成立的是(A)A.sin A=cos BB.sin A·tan A=cos AC.sin A·cos B=1D.sin A=sin (90°-A)8.在△ABC中,∠A,∠B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是(B)A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形类型4等角代换求三角函数值9.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,那么c等于(B)A.a·cos A+b·sin BB.a·sin A+b·sin BC.Asin A +Asin AD.Acos A+Asin A10.(咸宁中考)如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,假如正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin α=√55.11.请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC,使底边上的高AD=BC.(1)求tan ∠ABC和sin ∠ABC的值;(2)在你所画的等腰△ABC中,假设底边BC=5,求腰上的高BE.解:图略.(1)tan ∠ABC=2,sin ∠ABC=2√55.(2)BE=2√5.类型5构造法求三角函数值12.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin α的值是(C)A.35B.34C.45D.4313.如图,在△ABC中,∠B=135°,tan A=25,BC=6√2.(1)求AC的长;(2)求△ABC 的面积.解:(1)过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D.∵在△ABC 中,∠ABC=135°, ∴∠CBD=45°,∴BD=CD. ∵BC=6√2,∴BD=CD=6. ∵tan A=25,∴AD=AAtan A =15,∴AB=AD-BD=9.∴AC=√152+62=3√29.(2)S △ABC =12·AB ·CD=12×9×6=27.14.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC 中,AB=AC ,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A=底边腰=AAAA.简单知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.依据上述对角的正对的定义,解下列问题: (1)sad 60°的值为 (B )A.12B.1C.√32D.2(2)对于0°<∠A<180°,∠A 的正对值sad A 的取值范围是 0<sad A<2 . (3)已知sin α=35,其中α为锐角,试求sad α的值. 解:(3)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,sin A=35.在AB 上取点D ,使AD=AC ,作DH ⊥AC ,H 为垂足,令BC=3k ,AB=5k ,则AD=AC=√(5A )2-(3A )2=4k ,又∵在△ADH 中,∠AHD=90°,sin A=35.∴DH=AD ·sin A=125k ,AH=√AA 2-AA 2=165k.则在△CDH 中,CH=AC-AH=45k ,CD=√AA 2+AA 2=4√105k.于是在△ACD 中,AD=AC=4k ,CD=4√105k.由正对的定义可得,sad A=AA AA=√105,即sad α=√105.。
