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2013年高考数学40个考点总动员+考点20+数列的通项公式和数列求和(教师版)+新课标

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用心 爱心 专心 1 2013年新课标数学40个考点总动员 数列的通项公式和数列求和

【高考再现】

热点一、求数列的通项公式

1．（2012年高考（大纲文））已知数列na中,11a,前n项和23nnnSa.

(Ⅰ)求23,aa;

(Ⅱ)求na的通项公式.

2．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.

已知数列{}{}{}nnnabc、　、　满足*11()()().nnnnnaabbcnN

(1)设36,{}nncna是公差为3的等差数列.当11b时,求23bb、的值;

(2)设32,8.nncnann求正整数,k使得一切*,nN均有;nkbb

(3)设1(1)2,.2nnnncna当11b时,求数列{}nb的通项公式.

用心 爱心 专心 2 3．（2012年高考（广东理））设数列na的前n项和为nS,满足11221nnnSa,n*N,且1a、25a、3a成等差数列.

(Ⅰ)求1a的值;

用心 爱心 专心 3 (Ⅱ)求数列na的通项公式;

(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211132naaa.

【方法总结】

求数列的通项公式，常见的有六种类型：

（1） 已知数列的前几项，求其通项公式.

常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等.

根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力.

（2） 已知数列前n项和nS，或前n项和nS与na的关系求通项.

利用11,1,2nnnSnaSSn虽然已知na求nS时，方法千差万别，但已知nS求na时，方法却相对固定.

（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.

用心 爱心 专心 4 （4）对于11nnaaaqab(1,0)qb型，求na，其关键是确定待定系数，使1()nnaqa1bq

（5）对于11()nnaaaafn型，求na，可用111221()()()nnnnnaaaaaaaa的方法.

（6）对于11()nnaaafna型，求na，可用321121nnnaaaaaaaa的方法.

热点二、错位相减法求和、裂项相消法求和、并项法求和、分组求和法

1．（2012年高考（浙江文））已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=22nn,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.

(1)求an,bn;

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

2．（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知na是等差数列,其前n项和为错误！

用心 爱心 专心 5 未找到引用源。,nb是等比数列,且114444,27,=10ababSb.

(I)求数列na与nb的通项公式;

(II)记1122=+++nnnTababab(*nN)证明:*118(,2)nnnTabnNn错误！未找到引用源。.

3．（2012年高考（江西文））已知数列|an|的前n项和nnSkck(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3

(1)求an;

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

用心 爱心 专心 6

4．（2012年高考（天津理））已知{na}是等差数列,其前n项和为nS,{nb}是等比数列,且1a=

1=2b,44+=27ab,44=10Sb.

(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式;

(Ⅱ)记1121=+++nnnnTababab,+nN,证明+12=2+10nnnTab+()nN.

5．（2012年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和21()2nSnknkN,且Sn

用心 爱心 专心 7 的最大值为8.

(1)确定常数k,求an;

(2)求数列92{}2nna的前n项和Tn.

6．（2012年高考（福建文））数列na的通项公式cos2nnan,其前n项和为nS,则2012S等于（ ）

A．1006 B．2012 C．503 D．0

【答案】A

【解析】由cos2nnan,可得20121021304120121S

2462010201225031006

7．（2012年高考（福建理））数列na的通项公式cos12nnan,前n项和为nS,则2012S___________.

8．（2012年高考（山东理））在等差数列na中,345984,73aaaa.

(Ⅰ)求数列na的通项公式;

(Ⅱ)对任意*mN,将数列na中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为mb,求数列mb 的前m项和mS.

用心 爱心 专心 8

【方法总结】

（1） 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列

（2） 裂（拆）项相消：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。

（3） 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

【考点剖析】

一．明确要求

1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．

2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．

二．命题方向

1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高．

2.题型上以解答题为主.

三．规律总结

基础梳理

数列求和的常用方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

(1)等差数列的前n项和公式：

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d；

(2)等比数列的前n项和公式：

Sn＝ na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1－qn1－q，q≠1.

2．倒序相加法

用心 爱心 专心 9 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋„＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋„＋(2＋1)＝5 050.

一种思路

一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

两个提醒

在利用裂项相消法求和时应注意：

(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．

三个公式

(1)1nn＋＝1n－1n＋1；

(2)1n－n＋＝1212n－1－12n＋1；

(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.

【基础练习】

1．(人教A版教材习题改编)等比数列{an}的公比q＝12，a8＝1，则S8＝( )．

A．254 B．255 C．256 D．257

用心 爱心 专心 10

2．（经典习题）若Sn＝1－2＋3－4＋„＋(－1)n－1·n，S50＝________.

3．(教材习题改编)数列{an}的前n项和为Sn，若1(1)nann，则5S等于 ( )

A．1 B.56 C.16 D.130

【解析】：因an＝1n－1n＋1，

∴S5＝1－12＋12－13＋„－16＝56.

4．(教材习题改编)数列a1＋2，„，ak＋2k，„，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋„＋ak＋„＋a10的值为( )

A．31 B．120 C．130 D．185

【名校模拟】

一．基础扎实

1．(2012·包头模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．

用心 爱心 专心 11

2．(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)对于正项数列na，定义nnnaaaanH32132,若,22nHn则数列na的通项公式为 .

【答案】nn212

【解析】本题主要考查数列通项公式的求法的问题。

由123223......2nnaaanan则123223......2nnnaaana

12311123......12nnnaaana

由-得212nnna，所以na=nn212。

3．(襄阳五中高三年级第一次适应性考试文) 已知函数2()cos()fnnn，且()(1)nafnfn，则123100aaaa

A．0 B．100 C．100 D．10200

4．（海淀区高三年级第二学期期末练习文）（本小题满分13分）

已知等差数列{}na的前n项和为nS，公差0d¹，5346Sa=+，且139,,aaa成等比数列.

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

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高考数学公式大全：数列

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数列

数列的差不多概念 等差数列

(1)数列的通项公式an=f(n)

(2)数列的递推公式

(3)数列的通项公式与前n项和的关系

an+1-an=d

an=a1+(n-1)d

a，A，b成等差 2A=a+b

m+n=k+l am+an=ak+al

等比数列 常用求和公式

an=a1qn_1

a，G，b成等比 G2=ab

m+n=k+l aman=akal

不等式

不等式的差不多性质 重要不等式

ab b

ab，bc

ab a+cb+c

a+bc-b

ab，cd a+cb+d

ab，cbc

ab，c0 ac

a0，c0 ac

a0 dnbn(nZ，n1)

a0 (nZ，n1)

(a-b)20

a，bR a2+b22ab

|a|-|b||ab||a|+|b| 证明不等式的差不多方法

比较法

(1)要证明不等式ab(或a

a-b0(或a-b0=即可

(2)若b0，要证ab，只需证明 ，

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。要证a

综合法 综合法确实是从已知或已证明过的不等式动身，依照不等式的性质推导出欲证的不等式(由因导果)的方法。

分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出持果索因

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

数列总结、等差数列、等比数列、求通项方法总结、求和方法总结

数列总结、等差数列、等比数列、求通项方法总结、求和方法总结

1 数列教案

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，„„，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作na；

数列的一般形式：1a，2a，3a，„„，na，„„，简记作 na。

例：判断下列各组元素能否构成数列

（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，„

②：514131211，，，，„

数列①的通项公式是na= n（n7，nN），

数列②的通项公式是na= 1n（nN）。

说明：

①na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na= (1)n=1,21()1,2nkkZnk；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，„„

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6

项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff„„，()fn，„„．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。

例：画出数列12nan的图像.

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法,练习及问题详解

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高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：1nnaad〔d为常数〕,11naand

等差中项：xAy，，成等差数列2Axy

前n项和：11122nnaannnSnad

性质：〔1〕假如mnpq,如此mnpqaaaa；〔2〕na为等差数列2nSanbn〔ab，为常数,是关于n的常数项为0的二次函数〕

2. 等比数列的定义与性质

定义：1nnaqa〔q为常数,0q〕,11nnaaq.

等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy,或Gxy.

前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq〔要注意公比q〕

性质：na是等比数列〔1〕假如mnpq,如此mnpqaaaa··

3．求数列通项公式的常用方法

一、公式法

例1 数列{}na满足1232nnnaa,12a,求数列{}na的通项公式.

解：1232nnnaa两边除以12n,得113222nnnnaa,如此113222nnnnaa,故数列{}2nna是以1222a11为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22nnan,所以数列{}na的通项公式为31()222nnan.

二、累加法 )(1nfaann

例2 数列{}na满足11211nnaana，,求数列{}na的通项公式. 解：由121nnaan得121nnaan如此

所以数列{}na的通项公式为2nan.

例3数列{}na满足1132313nnnaaa，,求数列{}na的通项公式.

解：13231nnnaa两边除以13n,得111213333nnnnnaa,

如此111213333nnnnnaa

高中数学高考数列公式总结

高中数学高考数列公式总结

第四份：数学必修五第二章《初等数列》公式总结

一、基本知识点总结

比较项目

等差数列 等比数列 补充

定义 自第一项起， 之后的每一项都

与前一项相减为定值的数列 自第一项起， 之后的每一项都

与前一项相比为定值的数列 等比数列公差可以为0， 等比数列每一项与公比均不可为0

通项公式 ）（项和，则为前为公差则为首项，2≥-=)1-(+=1-11nSSanSdnaadannnnn

）（项和，则为前为公比则为首项，2≥-=•=1-1-11nSSanSqaaqannnnnn

增减性质 ，递增数列；＞常数数列；，递减数列；＜0,0=0ddd ，递增数列；＜＜，＜，摆动数列；＜，递增数列；＞，＞，递减数列＞，＜常数数列，，递减数列，＜＜，＞100010.10,1=1001111qaqqaqaqqa

中项公式 mnmnnaaaBAGBGA+-+=2,2+=推广那么为等差数列，、、设数

mnmnnaaaABABGBGA+-2•=0±=），推广＞（那么为等比数列，、、设数

求和公式 ndanddnnnaaanSnn)2-(+2=2)1-(+=2)+(=1211 )1≠(-1-=-1)-1(=),1=(=111qqqaaqqaSqnaSnnnn

性质

二、常用结论归纳

1.{}{}1-21-2=nnnnnnnnTSbanbaTS项和，那么有的前、分别为等差数列、设

2.常见的数列前n项和公式

3.裂项相消法的运用公式：

)tantan-1)(-tan(=tan-tan)8(!-)!1+(=!•7......................lg-)+lg(=+lg)6()-+(1=++1)5()2+)(1+(1-)1+(121=)2+)(1+(1)4()+1-1(=)+()3.(....................).........1-1(21=•1)2(,+1-+1-=)+)(+(=1)+)(+(=1+1-1=1+1-1+1-1-1+...+41-31+31-21+21-1=)1+(1+)1-(1+...+4•31+3•21+2•11,1+1-1)1+(1,1+1-1=)1+(1=2+1+βαβαβαnnnnnknnknnknkknnnnnnnnnknnkAknnAaadaaCAnBAnBCkCAnBAnkaCAnBAnkannnnnnnnnnnnnnSnnnannnnnnnn三角函数形式：）阶乘数列：（对数形式：根式数列：）（三重分式：分式数列：等差数列：继而求和）（）（的数列裂项公式：到形如受此启发：我们可以得则裂项为方法是项和的前举例：求数列