第3讲 等比数列及其前n项和

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第3讲 等比数列及其前n项和

【复习指导】

本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．

请你一定看完以下内容，并想办法记住！

基础梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.

3．等比中项

若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．

(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.

一个推导

利用错位相减法推导等比数列的前n项和：

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn－1，

同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋„＋a1qn，

两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．

两个防范

(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．

三种方法

等比数列的判断方法有：

(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．

(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．

试做这些题，这是基本要求！

1．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是( )．

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．无法确定数列的增减性

解析 当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列，

当q＜0，数列{an}为摆动数列． 答案 D

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于( )．

A．－12 B．－2 C．2 D.12

解析 由题意知：q3＝a5a2＝18，∴q＝12.

答案 D

3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )．

A．4 B．8 C．16 D．32

解析 由等比数列的性质得：a2a6＝a24＝16.

答案 C

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝( )．

A．－11 B．－8 C．5 D．11

解析 设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.

∴q3＋8＝0，∴q＝－2，

∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2

＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.

答案 A

5．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.

解析 设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋9×82d＝4×1＋4×32d，所以d＝－16.又ak＋a4＝0，所以1＋k－1×－16＋ 1＋4－1×－16]＝0，即k＝10.

答案 10

看这些例题，你一定能看懂，如果能研究一下解题思路和方法就更好了！

考向一 等比数列基本量的计算

【例1】►(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.

[审题视点] 列方程组求首项a1和公差d.

解 设{an}的公比为q，由题设得 a1q＝6，6a1＋a1q2＝30，

解得 a1＝3，q＝2或 a1＝2，q＝3.

当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；

当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

【训练1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

解 (1)∵a3·a4＝a1·a6＝329，

又a1＋a6＝11，

故a1，a6看作方程x2－11x＋329＝0的两根，

又q∈(0,1)∴a1＝323，a6＝13，

∴q5＝a6a1＝132，∴q＝12，

∴an＝323·12n－1＝13·12n－6.

(2)由(1)知Sn＝6431－12n＝21，解得n＝6.

考向二 等比数列的判定或证明 【例2】►(2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；

(2)求{an}的通项公式．

[审题视点] 第(1)问把bn＝an＋1－an中an＋1换为an－1＋an2整理可证；第(2)问可用叠加法求an.

(1)证明 b1＝a2－a1＝1.

当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，

∴{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．

(2)解 由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋„＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1

＝53－23－12n－1.

当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1，

∴an＝53－23－12n－1(n∈N*)．

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

【训练2】 (2011·四川)设d为非零实数，an＝1n[C1nd＋2C2nd2＋„＋(n－1)Cn－1ndn－1＋nCnndn](n∈N*)．

(1)写出a1，a2，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设bn＝ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.

解 (1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2.

当n≥2，k≥1时，knCkn＝Ck－1n－1，因此

an＝∑nk＝1knCkndk＝∑nk＝1Ck－1n－1dk＝d∑n－1k＝0Ckn－1dk＝d(d＋1)n－1.

由此可见，当d≠－1时，{an}是以d为首项，d＋1为公比的等比数列；

当d＝－1时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}不是等比数列．

(2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，从而bn＝nd2(d＋1)n－1

Sn＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋„＋(n－1)(d＋1)n－2＋n(d＋1)n－1]．①

当d＝－1时，Sn＝d2＝1.

当d≠－1时，①式两边同乘d＋1得

(d＋1)Sn＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋„＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]．②

①，②式相减可得

－dSn＝d2[1＋(d＋1)＋(d＋1)2＋„＋(d＋1)n－1－n(d＋1)n]

＝d2d＋1n－1d－nd＋1n.

化简即得Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.

综上，Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.

考向三 等比数列的性质及应用

【例3】►已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．

[审题视点] 利用等比数列的性质：依次n项的和成等比数列．

解 ∵Sn＝2，其后2n项为S3n－Sn＝S3n－2＝12，

∴S3n＝14.

由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，

即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)解得S2n＝－4，或S2n＝6.

当S2n＝－4时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，„是首项为2，公比为－3的等比数列，

则S6n＝Sn＋(S2n－Sn)＋„＋(S6n－S5n)＝－364，

∴再后3n项的和为S6n－S3n＝－364－14＝－378.

当S2n＝6时，同理可得再后3n项的和为S6n－S3n＝126－14＝112. 故所求的和为－378或112.

本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，若把数列{an}平均分成若干组，其积也为等比数列．

【训练3】 (2011·北京)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋„＋|an|＝________.

解析 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝12×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|＝12(1＋2＋22＋„＋2n－1)＝12(2n－1)＝2n－1－12.

答案 －2 2n－1－12

如果你水平不错，就试做下面的问题，能否走的更高、更远！

规范解答11——怎样求解等差与等比数列的综合性问题

【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.

【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.

【示例】►(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.