中考数学专题复习《图形与证明

2021年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用）专题5 图形的计算与证明问题【真题再现】1．（2020年宿迁第22题）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF 是菱形．2．（2020年连云港第22题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC 分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．3．（2020年盐城第21题）如图，点O是正方形ABCD的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接EB、EC、EO，求证：∠BEO＝∠CEO．4．（2020年扬州第24题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．5．（2020年常州第23题）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．6．（2020年镇江第21题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．7．（2020年苏州第24题）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．8．（2020年无锡第24题）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为．【专项突破】【题组一】1．（2020•崇川区校级模拟）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝50°，则∠BDE＝°．2．（2020•南通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB=3√5，求BD的长．3．（2020•海门市校级模拟）在△ABC中，∠B＝45°，AM⊥BC，垂足为M．（1）如图1，若AB＝4√2，BC＝7，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，CE＝CA，连接ED并延长交BC于点F，且∠BDF＝∠CEF，求证①AC＝BD；②BF＝CF．4．（2020•宝应县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【题组二】5．（2020•宝应县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF：（2）当AE＝1，CF＝4，AD＝3时，求BC的长．6．（2020•梁溪区校级二模）已知：如图，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．求证：BF＝CF．7．（2020•宿州模拟）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．8．（2020•海门市校级模拟）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．【题组三】9．（2020•镇江模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．10．（2020•无锡模拟）在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．11．（2020•秦淮区一模）如图，在△ABC中，D是AC的中点．作BE∥AC，且使BE=12AC，连接DE，DE与AB交于点F．（1）求证：DE＝BC；（2）连接AE、BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．12．（2019•海州区校级模拟）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．【题组四】13．（2019秋•淮安区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．14．（2020•秦淮区二模）图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．（1）求证：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．15．（2020•扬中市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．16．（2020•张家港市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．【题组五】17．（2020•邗江区二模）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF．18．（（2020•滨湖区模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：CF＝AD；（2）若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．19．（2020•溧阳市模拟）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BE．（1）求证：BD＝CD；（2）不在原图中添加字母和线段，对△ABC只加一个条件使得四边形AFBD是菱形，写出添加的条件，并说明理由．【题组六】20．（2020•金湖县一模）如图，在平行四边形ABCD中，作∠BAD和∠BCD平分线分别交对角线BD于点E、F，求证：BF＝DE．21．（2019•崇川区校级三模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线于点F．求证：AE＝EF．22．（2020•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形．。

初三上册数学章图形与证明(二)复习教学案图形与证明复习教学案一、知识回顾：[1]等腰三角形的性质和判定等腰三角形的性质定理。

定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，写出上面两个定理的符号语言文学语言图形符号语言等边对等角在∵＿＿＿＿＿＿＿＿；∴＿＿＿＿＿＿＿＿。

三线合一∵AB＝Ac，∠BAD＝∠cAD＿∴＿＿＿，＿＿＿＿＿。

∵＿＿＿，＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。

∵＿＿＿，＿＿＿＿∴∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿。

等腰三角形的判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

∵_________________________∴_________________________三角形中位线：图形：几何语言：∵__________________________________∴__________________________________三角形中位线性质：__________________________________________[2]直角三角形的全等判定全等三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写角平分线性质：＿＿＿＿＿＿＿＿角平分线判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∵_________________________∵_________________________∴_________________________∴_________________________[3]平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定平行四边形的三条性质：__________________________________________图形：几何语言：∵__________________________________∴__________________________________平行四边形的判定：图形：几何语言：∵__________________∴__________________∵__________________∴__________________∵_____________∵__________________∴________________∴__________________矩形的性质：_________________________________________________ 图形：几何语言：∵__________________________________∴__________________________________矩形的判定：图形：几何语言：∵__________________∴__________________∵_____________∵__________________∴________________∴__________________菱形的性质：_________________________________________________ 图形：几何语言：∵__________________________________∴__________________________________菱形的判定：图形：几何语言：∵__________________∴__________________∵_____________∵__________________∴______________∴__________________菱形的对角线把菱形分成________三角形或是___________三角形菱形的面积____________________________正方形的性质：_________________________________________________ 图形：几何语言：∵__________________________________∴__________________________________正方形的判定：图形：几何语言：∵__________________∴__________________∵_____________∵__________________∴________________∴__________________[4]等腰梯形一组对边________，另一组对边________的四边形叫梯形.两种特殊的梯形直角梯形：有一个角是__________的梯形叫直角梯形等腰梯形：___________相等的梯形叫等腰梯形根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;等腰梯形的性质：________________________________________图形：几何语言：∵__________________∴__________________等腰梯形的判定：________________________________________图形：几何语言：∵__________________∴__________________∵__________________∴__________________梯形中位线：____________________________________________ 图形：几何语言：∵__________________∴__________________梯形中位线性质：__________________________________________【达标测试】在△ABc中，D、E分别是边AB、Ac的中点，若Bc＝5，则DE的长是________________已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为____________________已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是A．8B．7c．4D．3．已知四边形ABcD是菱形，o是两条对角线的交点，Ac=8c，DB=6c，•菱形的边长是________c．．如图，在菱形ABcD中，cE⊥AB，E为垂足，Bc=2，BE=1，求菱形的周长和面积．如图，在△ABc中，AB＝Ac＝8，AD是底边上的高，E为Ac中点，则DE＝．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3c，Bc=5c，则重叠部分△DEF的面积是c2．如图，点D、E、F分别是三边上的中点．若的面积为12，则的面积为．已知：如图，在正方形ABcD中，点E、F分别在Bc和cD上，AE=AF．求证：BE=DF；连接Ac交EF于点o，延长oc至点，使o=oA，连接E、F．判断四边形AEF是什么特殊四边形？并证明你的结论．0.如图，已知：口ABcD中，∠BcD的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．1.如图，AD∥FE，点B、c在AD上，∠1＝∠2，BF＝Bc⑴求证：四边形BcEF是菱形；⑵若AB＝Bc＝cD，求证：△AcF≌△BDE.已知：如图，在△ABc中，∠ABc=90°，AD是角平分线，点E、F分别在Ac、AD上，且AE=AB，EF∥Bc。

初三数学图形的认识、图形与证明知识精讲一. 本周教学内容：图形的认识、图形与证明（三）相似三角形二. 教学目标：通过对相似三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与相似三角形相关的问题四. 课堂教学：中考导航⎪⎩⎪⎨⎧黄金分割比例的性质成比例线段比例线段⎩⎨⎧相似三角形判定相似三角形性质相似三角形中考课程标准要求考点考纲要求 了解 理解 掌握 灵活应用 概念√ 性质 √ 比例线段黄金分割 √ 了解概念√ 相似三角形的判定 √ 射影定理 √ 相似三角形相似三角形的性质√ 位似图形位似√例1. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）答案：B例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE ＋PF 的值为（ ）A.512 B. 2 C.25D.513答案：A例 3. 某装饰公司要在如图所示的五角星形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯。

若)15(BC -=米，则需安装闪光灯（ ）A. 100盏B. 101盏C. 102盏D. 103盏答案：A例4. △ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ：FD=1：5，连接CF ，并延长交AB 于点E ，则AE ：EB 等于（ ）A. 1：8B. 1：6C. 1：9D. 1：10答案：D例5. （1）如图1所示，已知△ABC 中，AB>AC ，试用直尺（不带刻度）和圆规在图1中过点A 作一条直线l ，使点C 关于直线l 的对称点在边AB 上（不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹。

）图1（2）如图2所示，已知格点△ABC，请在图2中分别画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和格点△A2B2C2，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于2，而△A2B2C2与△ABC的相似比等于5。

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题（含答案解析）类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．2.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD/​/AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC =∠B =90°，∵CD/​/AB ，∴∠A =∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ，∴△CED≌△ABC(ASA)．3.(2022·江苏省南通市)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．4.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE 2=AQ ⋅AB ．求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ ．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AE AQ=AC AF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CF BQ=AF FQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．5.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．6.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．7.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB/​/DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．8.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE/​/AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．9.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．10.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD/​/BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD/​/BE，∴∠A =∠EBC ，∵BD/​/CE ，∴∠C =∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．11.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DFBC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．12.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．13.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA)，∴AE=AD ，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．15.（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB．【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ，可得AE ＝AB ，AC ＝AD ，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．16.（2020•南充）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC ＝DE ．求证：AB ＝CD ．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．17.（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．18.（2020•铜仁市）如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【解答】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．19.（2020•无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）AF ∥DE ．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B ＝∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB ＝∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE ＝∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．20.（2020•台州）如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．21.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC/​/EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．23.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD ，在△ABE 和△ADF 中，∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ，∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x ，∵AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE≌△ADF ，∴BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，AE 2+BE 2=AB 2，即42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．24.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC 上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，∴∠ECA=∠EAC，根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA//CB，∴∠ECA=∠CAD，∴∠EAC=∠CAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=90°，设CE=AE=x，则BE=4−x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2，即：(22)2+(4−x)2= x2，解得：x=3，在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG=x，则GB=3−x，∵FC=4，FE=17，∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，即：16−x2=17−(3−x)2，解得：x=43，∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x．26.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF//AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF//AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．27.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴AF//EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如图所示：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°−∠2，∠4=90°−∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=12BC=5．28.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE 与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA//CD，∴∠BAE=∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF=EB，又∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF=90°．∴四边形ABDF是矩形；(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，∴AF=AD2−DF2=52−32=4，∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6，∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，答：四边形ABCF的面积S为18．29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．30.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，∵AE=CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形．31.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C 作CF//AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF；(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD=CF，∵AD//CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCF是菱形．32.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF．∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∵OA=OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．33.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE=DE，又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODFC为矩形．34.(2022·四川省内江市)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE，∴AE//CF，∵AE=CF，AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．35.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD 的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=22+32=13，∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．37.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．38.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．39.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．40（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．41.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．42.（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．43.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．类型三与相似有关的证明44.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH=⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．45.（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若23AGOG=，4AE=，求BC的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据23AGOG=，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形（2）设2AG a =，∵23AG OG =∴3OG a =，5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠，∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．46.（2021·北京中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．【答案】（1）BAE CAD ∠=∠，BM BE MD =+，理由见详解；（2）DN EN =，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=，AE AD =，然后可证ABE ACD △≌△，进而问题可求解；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，由（1）可得ABE ACD ∠=∠，BE CD =，易证BH BE CD ==，进而可得HM DM =，然后可得DMN DHE ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵BAC EAD α∠=∠=，∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=，∴BAE CAD ∠=∠，由旋转的性质可得AE AD =，∵AB AC =，∴()ABE ACD SAS ≌，∴BE CD =，∵点M 为BC 的中点，∴BM CM =，∵CM MD CD MD BE =+=+，∴BM BE MD =+；（2）证明：DN EN =，理由如下：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，如图所示：∴90EQB HQB ∠=∠=︒，由（1）可得ABE ACD △≌△，∴ABE ACD ∠=∠，BE CD =，∵AB AC =，∴ABC C ABE ∠=∠=∠，∵BQ BQ =，∴()BQE BQH ASA ≌，∴BH BE CD ==，∵MB MC =，∴HM DM =，∵MN AB ⊥，∴//MN EH ，∴DMN DHE ∽，∴12DM DN DH DE ==，∴DN EN =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．47.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF=x2−(a−x)2=2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)=b2−a2a−x，∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=48.（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD ＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，。

题型三 几何图形的证明与计算1. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，分别交BO 、BC 于点H 、F .连接OG 、CG .(1)求证：AH ＝BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由； (3)若OG ⊥CG ，BG ＝32，求△OGC 的面积．第1题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOE ＝90°， ∵AF ⊥BE ，∴∠GAE ＋∠AEG ＝∠OBE ＋∠AEG ＝90°. ∴∠GAE ＝∠OBE ， ∴△AOH ≌△BOE (ASA)， ∴AH ＝BE ；(2)解：是，理由如下：∵∠AOH ＝∠BGH ＝90°，∠AHO ＝∠BHG ， ∴△AOH ∽△BGH ， ∴OH GH ＝AH BH ， ∴OH AH ＝GH BH， ∵∠OHG ＝∠AHB ， ∴△OHG ∽△AHB ，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，即∠AGO 的度数为定值； (3)解：∵∠ABC ＝90°，AF ⊥BE ，∴∠BAG ＋∠AFB ＝90°，∠FBG ＋∠AFB ＝90°， ∴∠BAG ＝∠FBG ，∠AGB ＝∠BGF ＝90°，∴△ABG ∽△BFG ， ∴AG BG ＝BG GF，∴AG ·GF ＝BG 2＝18， ∵△AHB ∽△OHG ， ∴∠BAH ＝∠GOH ＝∠GBF . ∵∠AOB ＝∠BGF ＝90°， ∴∠AOG ＝∠GFC ， ∵∠AGO ＝45°，CG ⊥GO ， ∴∠AGO ＝∠FGC ＝45°. ∴△AGO ∽△CGF ，∴GO GF ＝AG CG，∴GO ·CG ＝AG ·GF ＝18. ∴S △OGC ＝12CG ·GO ＝9.2. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF . (1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形； (2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第2题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形， ∴HG ＝EH ， ∵AH ＝2，DG ＝2， ∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝AH HG ＝EH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH (HL)，∴∠DHG ＝∠AHE ， ∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°， ∴∠GHE ＝90°， ∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于点Q ，连接GE ， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ， ∵四边形EFGH 为菱形， ∴HE ＝GF ，HE ∥GF ， ∴∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠QGF ， 在△AEH 和△QGF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG ，第2题解图∴△AEH ≌△QGF ， ∴AH ＝QF ＝2， ∵DG ＝6，CD ＝8， ∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.3. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC于点E .(1)求证：CQ ＝AP ； (2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP的面积，若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠ACB ＝45°， ∵BQ ⊥BP, CQ ⊥AC ， ∴∠QCB ＝∠A ＝45°，∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠QBC ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QBC . 又∵BA ＝BC ， ∴△BAP ≌△BCQ (ASA). ∴CQ ＝AP ；(2)证明：由(1)得，∠QCB ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠PCQ ＋∠PBQ ＝180°，∴P 、C 、Q 、B 在以PQ 为直径的圆上，如解图所示， ∴∠CQP ＝∠PBC ，∴△CPB ∽△CEQ ； (3)解：存在．理由如下：由CE ＝38BC ，可得CE ＝38BC ＝38AB ＝324，由勾股定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2＝4； 设AP ＝CQ ＝x ，则PC ＝4－x ， 由(2)得△CPB ∽△CEQ ，∴CP CE ＝BC CQ ，即4－x 324＝22x ，第3题解图可得x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝3或1， 如解图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ， 易得△APD ∽△ACB ， ∴PD BC ＝AP AC， 即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ， 当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1. ∴△ABP 的面积为3或1.4. 如图，正方形ABCD 的边长为10 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)判断直线EG 是否一定经过正方形ABCD 内部一个定点，并说明理由； (3)猜想当E 点位于AB 上何处时，正方形EFGH 面积最小(不要求证明)．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ， 在△AEH 和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ∠BAD ＝∠B AH ＝BE， ∴△AEH ≌△BFE (SAS)，同理可得△BFE ≌△CGF ，△CGF ≌△DHG ， ∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ， ∴四边形EFGH 是菱形， ∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°， ∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°， ∴∠HEF ＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形；(2)解：直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC 、BD 的交点)；理由如下： 如解图，连接AC 、EG ，使其交点为O ； ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD ， ∴∠OAE ＝∠OCG ； 在△AOE 和△COG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCG ∠AOE ＝∠COG AE ＝CG， ∴△AOE ≌△COG (AAS)， ∴OA ＝OC ，OE ＝OG ， 即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC 、BD 的交点，即点O 为正方形的中心；第4题解图(3)解：设正方形EFGH 的面积为S ，BE ＝x cm ，则BF ＝(10－x ) cm ， 根据勾股定理得EF 2＝BE 2＋BF 2＝x 2＋(10－x )2， ∴S ＝x 2＋(10－x )2＝2(x －5)2＋50， ∵2>0，∴当x ＝5时，S 有最小值，S 的最小值为50，即E 点是AB 的中点时，四边形EFGH 的面积最小，最小值为50 cm 2.5. 如图所示，四边形ADEF 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，点D 在BC 边上，连接CF . (1)求证：BC ⊥CF ；(2)若△ABC 的面积为16，BD ∶DC ＝1∶3，求正方形ADEF 的面积； (3)在(2)的条件下，连接AE 交DC 于点G ，求DG GC的值．第5题图解：(1)∵四边形ADEF 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，∴AD ＝AF ＝EF ＝DE ，AB ＝AC ，∠DAF ＝∠BAC ＝∠DEF ＝∠ADE ＝90°，∠B ＝∠ACB ＝45°，AD ∥EF ，∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ， ∴∠FAC ＝∠DAB . 在△ABD 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠DAB ＝∠FAC AD ＝AF， ∴△ABD ≌△ACF (SAS)， ∴∠B ＝∠ACF ，BD ＝CF ， ∴∠ACF ＝45°， ∴∠ACF ＋∠ACB ＝90°， 即∠BCF ＝90°， ∴BC ⊥CF ；(2)设AB ＝AC ＝x ，由题意，得x 22＝16，∴x ＝42， ∴BC ＝8， ∵BD ∶DC ＝1∶3，∴BD ＝8×14＝2，CD ＝8－2＝6，如解图，作DH ⊥AB 于点H ， ∴∠DHB ＝∠DHA ＝90°， ∴∠BDH ＝45°， ∴∠B ＝∠BDH ， ∴BH ＝DH ，设BH ＝DH ＝a ，由勾股定理得，a ＝2， ∴AH ＝42－2＝32，在Rt △ADH 中，由勾股定理得AD 2＝20， ∴AD ＝25， ∵S 正方形ADEF ＝AD 2＝20， ∴正方形ADEF 的面积为20；(3)如解图，设EF 交BC 于点M ，设CM ＝x ，则DM ＝6－x ， ∵BD ＝CF ， ∴CF ＝2，在Rt △CMF 中，由勾股定理得FM ＝4＋x 2，∵∠DME ＝∠FMC ， ∴△FCM ∽△DEM ， ∴FM DM ＝FC DE，则FM 2DM 2＝FC 2DE2， ∴4＋x 2（6－x ）2＝420， 解得x 1＝1，x 2＝－4(舍去)， ∴CM ＝1，FM ＝5， ∴ME ＝5，DM ＝5， ∵AD ∥EF ， ∴△AGD ∽△EGM ， ∴DG GM ＝AD EM，∴DG GM ＝255＝2， ∴DG ＝2GM ， 设GM ＝b ，DG ＝2b ， ∴b ＋2b ＝5， ∴b ＝53，第5题解图∴GC ＝53＋1＝83，∴DG ＝6－83＝103，DG GC ＝10383＝54.6. 在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC、BD，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AD＝BD＝BC，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E：①∠DAC＝________°；②猜想AE、DE、CE的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图②，若AC＝BD，求∠CAD的度数．第6题图解：(1)15；【解法提示】①∵AD＝BD＝BC，BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BDC是等边三角形，∴∠CDB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°＋60°＝150°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA ＝15°；②CE＝DE＋AE.证明：如解图①中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH＝EB.∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF＝FB，∴EA＝EB，∴∠DAF＝∠DBF，∠EAB＝∠EBA，第6题解图①∴∠DAE＝∠DBE，∵∠DAE＝∠DCO，∴∠DCO＝∠OBE，∵∠DOC＝∠EOB，∴∠BEO＝∠ODC＝60°，∵EH ＝EB ，∴△EBH 是等边三角形，∴∠EBH ＝∠DBC ＝60°，BE ＝BH ， ∴∠EBD ＝∠HBC ，∵BD ＝BC ， ∴△EBD ≌△HBC (SAS)， ∴DE ＝CH ，∴CE ＝EH ＋CH ＝EB ＋ED ＝AE ＋DE ；第6题解图②(2)如解图②，过点C 作CK ⊥BD 于点K ，CH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， ∵∠H ＝∠CKD ＝∠HDK ＝90°， ∴四边形DHCK 是矩形， ∴DK ＝CH ， ∵CD ＝CB ，CK ⊥BD ， ∴DK ＝12BD ，∵AC ＝BD ， ∴CH ＝DK ＝12AC ，∴在Rt △ACH 中，sin ∠CAD ＝CH AC ＝12，∴∠CAD ＝30°.7. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M . (1)求证：BN ＝BF ； (2)求证：CN ＝2CM ；(3)若正方形ABCD 的边长为2，求OM 的长．第7题图(1)证明：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝∠ABF ＝90°，BC ＝AB ， ∵CF ＝CA ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ， ∴CE ⊥AF ，∴∠BAF ＋∠ANE ＝90°， ∵∠ANE ＝∠BNC ， ∴∠BAF ＋∠BNC ＝90°， ∵∠BCN ＋∠BNC ＝90°， ∴∠BAF ＝∠BCN ， 在△BCN 和△BAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BCN ＝∠BAF BC ＝AB∠CBN ＝∠FBA， ∴△BCN ≌△BAF (ASA)， ∴BN ＝BF ；(2)证明：设正方形的边长为m ，则BD ＝AC ＝2m ， ∵AC ＝CF ＝BC ＋BF ＝m ＋BF ＝2m ， ∴BN ＝BF ＝(2－1)m ， ∵BN ∥CD ， ∴MN CM ＝BN CD ＝（2－1）mm ＝2－1，∴MN ＋CM CM ＝2－1＋11＝2， ∴CN ＝2CM ； (3)解：∵BN ∥CD ， ∴BM DM ＝BN CD＝2－1，∴BM ＝(2－1)DM ，∵BM ＋DM ＝BD ＝2，∴DM ＝2， ∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴OD ＝12BD ＝1，∴OM ＝DM －OD ＝2－1.8. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接ME . (1)如图①，若AB ＝3，过点M 作MG ⊥ME 交线段BC 于点G ，连接EG ，判断△GEM 的形状，并说明理由；(2)如图②，若AB ＝33，延长EM 交线段CD 的延长线于点F ，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，连接FG .①直接写出线段AE 长度的取值范围； ②判断△GEF 的形状，并说明理由．第8题图解：(1)△GEM 是等腰直角三角形．第8题解图①理由如下：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于点H ， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形． ∴GH ＝AB ＝3.∵AD ＝6，M 是AD 的中点， ∴AM ＝3，∵MG ⊥ME ， ∴∠GME ＝90°. ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH . 在△AEM 与△HMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM ＝∠GMH ∠EAM ＝∠MHG AM ＝GH， ∴△AEM ≌△HMG (AAS)， ∴ME ＝MG ，∴△GEM 是等腰直角三角形； (2)①3<AE ≤33；【解法提示】如解图②，当C ，G 重合时，第8题解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，∴∠AME ＋∠AEM ＝90°，∵MG ⊥EF ，∴∠EMG ＝90°，∴∠AME ＋∠DMC ＝90°，∴∠AEM ＝∠DMC ，∴△AEM ∽△DMC ，∴AE MD ＝AM CD ，∴AE3＝333，∴AE ＝3，∴3<AE ≤33；②△GEF 是等边三角形．第8题解图③理由如下：如解图③，过点G 作GH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， ∵由①得∠AEM ＝∠GMH ， 又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AM GH ＝333＝33，在Rt △GME 中， tan ∠MEG ＝MGEM＝3， ∴∠MEG ＝60°，∵∠A ＝∠MDF ＝90°，AM ＝MD ，∠AME ＝∠DMF ， ∴△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ， ∴GE ＝GF ，∴△GEF 是等边三角形．9. 已知：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在BC 、CD 上，连接AE 、EF 、AF ，且∠DAE ＝∠AEF . (1)求证：EF ＝BE ＋DF ；(2)线段AF 的垂直平分线交AD 于点G ，连接FG ，求证：∠EFG ＝90°； (3)在(2)的条件下，若tan ∠DFG ＝34，EF ＝203，求S △AEF .第9题图(1)证明：如解图，过点A 作AH ⊥EF 于点H ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠BEA ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠AEF ， ∴∠BEA ＝∠AEF ， 在△ABE 和△AHE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠AHE ∠BEA ＝∠AEH AE ＝AE， ∴△ABE ≌△AHE (AAS)， ∴AB ＝AH ，BE ＝HE ， ∴AH ＝AD ，∴Rt △AHF ≌Rt △ADF (HL)， ∴DF ＝HF ， ∵EF ＝HE ＋HF ， ∴EF ＝BE ＋DF ；第9题解图(2)证明：如解图，由题意知GA ＝GF ， ∴∠GAF ＝∠GFA ， 由(1)知∠AFE ＝∠AFD ， ∵∠FAD ＋∠AFD ＝90°， ∴∠GFA ＋∠AFE ＝90°， ∴∠EFG ＝90°；(3)解：由tan ∠DFG ＝DG DF ＝34，可设DG ＝3x ，DF ＝4x ，则AG ＝GF ＝DG 2＋DF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，FH ＝DF ＝4x ， ∴BC ＝CD ＝AD ＝8x ， ∴CF ＝CD －DF ＝4x ， ∵EF ＝203，∴BE ＝EH ＝EF －FH ＝203－4x ，则EC ＝BC －BE ＝8x －(203－4x )＝12x －203，在Rt △ECF 中，由勾股定理得EF 2＝EC 2＋CF 2，即(203)2＝(12x －203)2＋(4x )2，解得x 1＝0(舍)，x 2＝1， 即AH ＝AD ＝8x ＝8，∴S △AEF ＝12EF ·AH ＝12×203×8＝803.10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH . (1)求证：GF ＝GC ；(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明；(3)若正方形ABCD 的边长为4，取DH 的中点M ，请直接写出线段BM 长的最小值．第10题图(1)证明：如解图①，连接DF ，第10题解图①∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA ＝DC ，∠A ＝∠C ＝90°，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴△ADE ≌△FDE ，∴DA ＝DF ＝DC ，∠DFE ＝∠A ＝90°， ∴∠DFG ＝90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DC DG ＝DG ， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG (HL)， ∴GF ＝GC ； (2)解：BH ＝2AE ，第10题解图②证明：如解图②，在线段AD 上截取AP ，使AP ＝AE ， ∵AD ＝AB ， ∴DP ＝BE ，由(1)知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC ＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°， ∴2∠2＋2∠3＝90°， ∴∠2＋∠3＝45°， 即∠EDG ＝45°， ∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴DE ＝EH ，∠AED ＋∠BEH ＝∠AED ＋∠1＝90°， ∴∠1＝∠BEH ， 在△DPE 和△EBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝BE ∠1＝∠BEH DE ＝EH， ∴△DPE ≌△EBH (SAS)，∴EP ＝BH ，在Rt △AEP 中，∠A ＝90°，AP ＝AE ， ∴EP ＝2AE ， ∴BH ＝2AE ； (3)22；【解法提示】如解图③中，取DE 的中点O ，连接OM ，OA ，AM ，EM .∵△DEH 是等腰直角三角形，DM ＝HM ，∴EM ＝DM ＝HM ，EM ⊥DM ，∵∠DAE ＝∠DME ＝90°，OD ＝OE ，∴DO ＝OA ＝OE ＝OM ，∴A ，D ，M ，E 四点共圆，∴∠MAB ＝∠MDE ＝45°，∴∠DAM ＝∠MAB ，∴点M 在正方形的对角线AC 上，当BM ⊥AM 时，BM 的值最小，最小值为2 2.第10题解图③。

初三上册数学第一章图形与证明(二)复习教学案以下是查字典数学网为您举荐的初三上册数学第一章图形与证明(二)复习教学案，期望本篇文章对您学习有所关心。

初三上册数学第一章图形与证明(二)复习教学案一、知识回忆：[1]等腰三角形的性质和判定(1)1、等腰三角形的性质定理。

定理：__________________，(简称：______)定理：___________________，(简称：______)2、写出上面两个定理的符号语言(请完成下表)文学语言图形符号语言等边对等角在∵________;________。

三线合一( (1)∵AB=AC，BAD=CAD_ ___，_____。

(2)∵___，_________，_____。

( (3)∵___，_________，____。

3、等腰三角形的判定定理：_____________。

∵__________________________________________________4、三角形中位线：图形：几何语言：∵____________________________________________________________________三角形中位线性质：__________________________________________[2] 直角三角形的全等判定1、全等三角形判定定理：(1)_______________________。

简写( )(2)_______________________。

简写( )(3)_______________________。

简写( )(4)_______________________。

简写( )2、角平分线性质：________ 角平分线判定：_ _ _ _ _ ________________ ____________∵_________________________ ∵__________________________________________________ _________________________[3] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定1、平行四边形的三条性质：____________________________________ ______图形：几何语言：∵____________________________________________________________________2、平行四边形的判定：图形：几何语言：(1)∵____________________________________ ( )(2) ∵____________________________________ ( )(3)∵_____________ (4)∵__________________________________ ( ) __________________ ( )3、矩形的性质：______________________________________________ ___图形：几何语言：∵____________________________________________________________________4、矩形的判定：图形：几何语言：(1)∵____________________________________ ( )(2)∵_____________ (3)∵__________________________________ ( ) __________________ ( )3、菱形的性质：______________________________________________ ___图形：几何语言：∵____________________________________________________________________4、菱形的判定：图形：几何语言：(1)∵____________________________________ ( )(2)∵_____________ (3)∵________________________________ ( ) __________________ ( )菱形的对角线把菱形分成________三角形或是___________三角形菱形的面积____________________________5、正方形的性质：____________________________________________ _____图形：几何语言：∵____________________________________________________________________6、正方形的判定：图形：几何语言：(1)∵____________________________________ ( )(2)∵_____________ (3)∵__________________________________ ( ) __________________ ( )[4] 等腰梯形1.一组对边________，另一组对边________的四边形叫梯形.2.两种专门的梯形直角梯形：有一个角是__________的梯形叫直角梯形等腰梯形：___________相等的梯形叫等腰梯形3、依照等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,第一它必须是_____,还要具备_____相等;4、等腰梯形的性质：________________________________________图形：几何语言：∵____________________________________5、等腰梯形的判定：________________________________________图形：几何语言：(1)∵____________________________________(2)∵____________________________________6、梯形中位线：____________________________________________图形：几何语言：∵____________________________________梯形中位线性质：__________________________________________【达标测试】1.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=5，则DE的长是________________2.已知等腰三角形的一个内角为，则那个等腰三角形的顶角为______ ______________3.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A.8B.7C. 4D.34.已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB= 6cm，•菱形的边长是________cm.5.如图，在菱形ABCD中，CEAB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积.6.如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE= .7.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2.8、如图，点D、E、F 分别是三边上的中点.若的面积为12，则的面积为.9.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF.(1)求证：BE = DF;(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM.判定四边形AEMF是什么专门四边形?并证明你的结论.10.如图，已知：口ABCD中，BCD的平分线交边于，的平分线交于，交于.求证：.11.如图，AD∥FE，点B、C在AD上，2，BF=BC宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

初三数学图形与证明试题答案及解析1.顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（）A．邻边不等的平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形【答案】D【解析】如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，所以△AEH≌△DGH，因此根据全等三角形的性质可得EH=HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，因此可得EH=HG=GF=EF，所以四边形EFGH为菱形．故选A【考点】菱形的判定2.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。

（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。

（，结果精确到0.1m）【答案】(1) 8m．(2) 4.5m．【解析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．试题解析：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m.（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝D．AF＝EF【答案】D．【解析】∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．【考点】翻折变换（折叠问题）．4.（7分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）证明见解析；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【解析】（1）利用“ASA”即可得证；①当四边形CEDF是矩形时，则有EG=DG=1．5cm，又由已知可得∠ADC＝60°，从而得△EGD为等边三角形，从而得DE=1．5cm，从而得AE=3．5cm；②．当四边形CEDF是菱形时，则有EF⊥CD，由已知可知∠ADC=60°，从而可得∠DEG＝30°，从而得DE＝2DG＝3，从而得AE＝2．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定；4．菱形的判定．5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．【答案】60°．【解析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．试题解析：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B="∠AOC，"∵∠AOC="2∠ADC，"∴∠B="2∠ADC，"∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC="180°，"∴3∠ADC="180°，"∴∠ADC="60°，"∴∠B="∠AOC=120°，"∵∠1="∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，"∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）-（∠ADO+∠CDO）=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°．【考点】1．圆周角定理；2．平行四边形的性质．6.下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形【答案】C【解析】因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A错误；因为对角线垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是等腰梯形，所以B错误；因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C正确；因为四边都相等的四边形是菱形，所以D错误；故选：C．【考点】特殊的平行四边形的判定．7.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。