第二章 基本初等函数 第6讲 函数的概念及其表示方法A. 课时精练 1. C 2. A 3. D4. A 【解析】 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，令4a －1＝6，解得a ＝74.5. CD 【解析】 在A 中，当x ＝±1时，y ＝log 21＝0∉N ，故A 错误；在B 中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故B 错误；在C 中，任取x ∈M ，总有y ＝2|x |∈N ，故C 正确；在D 中，任取x ∈M ，总有y ＝x 2∈N ，故D 正确．6. AC 【解析】 对于A ：y ＝f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －11x ＝－x ＋1x＝－f (x )，所以函数y ＝x －1x 符合题意．对于B ：y ＝f (x )＝x ＋1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋11x ＝x ＋1x ＝f (x )，所以函数y ＝x ＋1x 不符合题意．对于C ：当0<x <1时，1x >1，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x ＝－x＝－f (x )；当x ＝1时，f (1)＝0；当x >1时，0<1x <1，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1符合题意．对于D ：y ＝f (x )＝ln1－x1＋x(x ≠0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln 1－1x1＋1x＝ln x －11＋x ≠－ln x －11＋x ，所以函数y ＝ln 1－x 1＋x(x ≠0)不符合题意． 7. [0,1]8. －2 1 【解析】 因为f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎨⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，－a 2b ＝－a 3－3a 2，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.9. 9 [3，＋∞) 【解析】 若a ＝1，则f (f (2))＝f (3)＝23＋1＝9.当x ＞2时，f (x )＝2x ＋a ＞4＋a ；当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f (x )≤2a ＋1，结合分段函数的性质可知，2a ＋1≥a ＋4，即a ≥3.10. 【解答】 (1) 因为f (x )的定义域为[－1,5]， 所以f (x －5)需满足－1≤x －5≤5，解得4≤x ≤10， 所以f (x －5)的定义域为[4,10]． (2) 因为f (x －1)的定义域为[0,3]， 所以0≤x ≤3，－1≤x －1≤2， 所以f (x )的定义域为[－1,2]． (3) 因为f (x )的定义域为[0,1]，所以g (x )需满足⎩⎨⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎨⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤m ＋1.当1－m ＜m ，即m >12时，g (x )的定义域为∅；当1－m ＝m ，即m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当1－m ＞m ，即0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]． 11. 【解答】 由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73.由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.如图，作出函数f (x )的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≥23，x ＋2，13<x <23，4x ＋1，x ≤13，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.(第11题)B. 滚动小练12. B 【解答】 选项A 中，由x ＞y ＞0，得1x －1y ＝y －x xy ＜0，所以1x ＜1y ，故A 不正确．选项B 中，将不等式两边平方得x ＋y －2xy ＜x －y ，整理得y ＜xy ，所以y ＜x ，由于x ＞y ＞0，所以上式成立，故B 正确．选项C 中，由x ＞y ＞0得，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，故C 不正确．选项D 中，由x ＞y ＞0得，x 2－xy ＝x (x －y )＞0，所以x 2＞xy ，故D 不正确．13. A 【解答】 若a |b |＞1，则a ＞0，所以a ＋|b |≥2a |b |>2；反之不成立，例如取a ＝－1，b ＝－5，满足a ＋|b |＞2，而a |b |＞1不成立．所以“a |b |＞1”是“a ＋|b |＞2”的充分不必要条件．14. 【解答】 (1) 因为g (x )的图象开口向上，且对称轴方程为x ＝1， 所以g (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧g (x )min ＝g (2)＝4a －4a ＋1＋b ＝1，g (x )max ＝g (3)＝9a －6a ＋1＋b ＝4，解得a ＝1，b ＝0.(2) 因为f (x )－k >0在x ∈(2,5]上恒成立， 所以只需k <f (x )min ，x ∈(2,5]．由(1)知f (x )＝x 2－2x ＋1x －2＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以k <4. 第7讲 函数的单调性与最值 第1课时 函数的单调性A. 课时精练 1. B 2. C3. D 【解析】 作出函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )为增函数，由f (a 2－4)>f (3a )，得a 2－4>3a ，即a 2－3a －4>0，解得a <－1或a >4.故选D.(第3题)4. D 【解析】 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝134，因此a >134，故选D.5. ABD 【解析】 根据题意，函数f (x )＝bx ＋3ax ＋2＝b a(ax ＋2)＋3－2b a ax ＋2＝3－2b aax ＋2＋ba ，其定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－2a .若函数f (x )＝bx ＋3ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有a >0，－2a ≤－2且3－2b a ＜0，即0＜a ≤1且b >32a ，据此分析选项：A ，B ，D 符合．故选ABD.6. AD 【解析】 对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f (a )－f (b )a －b >0，则函数f (x )在定义域内为增函数；对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥f (x 1)＋f (x 2)2成立，则函数f (x )为“凸函数”．对于A ，f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2，故满足条件①②；对于B ，f (x )＝－2x －1在R上为减函数，不满足条件①；对于C ，f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，不满足条件①；对于D ，f (x )＝－x 2＋4x －3图象的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.7. (－1,0)∪(0,1)8. (3,4] 【解析】 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以x ＞3.又f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )，2＝f (2)＋f (2)＝f (4)，所以f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )≤f (4)，所以⎩⎨⎧x 2－3x ≤4，x >3，解得3＜x ≤4，所以x 的取值范围是(3,4]．9. 1 (－∞，1] 【解析】 因为f (x )＋f (－x )＝12x ＋1－x ＋12－x ＋1＋x ＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1.由f (x )＋f (1－2x )≤1，即f (x )＋f (1－2x )≤f (x )＋f (－x )，即f (1－2x )≤f (－x )，而y ＝f (x )为减函数，所以1－2x ≥－x ，解得x ≤1.10. 【解答】 (1) 当a ＝－2时，任取x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2) 任取1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．11. 【解答】(1) f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝2×2＝4. (2) 令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (1)·f (0)，所以f (0)＝1.当x <0时，－x >0，f (x )·f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝1，其中f (－x )>1，所以f (x )>0，故对任意x 有f (x )>0恒成立．设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1.由f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)·f (x 2－x 1)>f (x 1)，所以f (x )在R 上是增函数．(3) 因为f (2)＝4，所以f (2－x )>4即f (2－x )>f (2)．由(2)知2－x >2⇒x <0，所以原不等式的解集为(－∞，0)．B. 滚动小练 12. A13. CD 【解析】 对于A ，当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故A 错误．对于B ，当a ＝－1，b ＝－2时，1a 2<1b 2不成立，故B 错误．对于C ，因为a >b ，两边同时减去c 有a －c >b －c 成立，故C 正确．对于D ，因为a >b ⇒－a <－b ，又y ＝e x 为增函数，故e －a <e －b 成立，故D 正确．14. 【解答】(1) 因为f (x )的图象经过点(0,1)，所以c ＝1， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (x )＝ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－13＋12，1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12，解得a ＝－6，b ＝1.(2) 由(1)知f (x )＝－6x 2＋x ＋1，则方程f (x )＝kx ＋7等价于方程6x 2＋(k －1)x ＋6＝0，令g (x )＝6x 2＋(k －1)x ＋6，即g (x )的两个零点满足x 1，x 2∈(0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (2)>0，0<1－k12<2，Δ>0，即⎩⎨⎧k >－14，－23<k <1，k >13或k <－11，解得－14<k <－11，所以实数k 的取值范围是(－14，－11)．第2课时 函数的最值A. 课时精练 1. D 2. C3. D 【解析】 由f (2)＝4，得m ＝－2，即f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥3，－2x ＋8，x ＜3.由函数f (x )存在最小值，得⎩⎨⎧a ＞1，log a 3≤－2×3＋8，解得a ≥ 3.故选D.4. C 【解析】 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因此f (x )在定义域内为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5. BCD 【解析】 f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2,6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝f (4)＝2ln 2，f (x )在(2,6)上无最小值．故选BCD.6. ACD 【解析】 因为|sin x |≤1，所以y ＝sin x 为有界函数；⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，无上界，所以B 不是有界函数；y ＝e x －e －x e x ＋e －x ＝e 2x －1e 2x ＋1＝1－2e 2x ＋1，因为0<2e 2x ＋1<2，所以－1<1－2e 2x ＋1<1，即|y |<1，所以y ＝e x －e －x e x ＋e －x 是有界函数；函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋1为实数上的连续函数，所以在区间[－4,4]上一定有最大值和最小值，所以是有界函数．故选ACD.7. 14 【解析】 当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a <1，则y ＝a x 为减函数，有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14.8. 22 【解析】 由⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，由题意知y ＞0，则y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以m M ＝22.9. 3e 2－1 【解析】 当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞)．当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞)，所以－e 2＋m ≥e－1，解得m ≥3e 2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.10. 【解答】 (1) 因为f (x )的值域是[0，＋∞)，即f (x )min ＝0， 所以4(2a ＋6)－(4a )24＝0，所以a ＝－1或32.(2) 若函数f (x )≥0恒成立，则Δ＝(4a )2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32，所以g (a )＝2－a |a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a ≤1时，g (a )＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，所以g (a )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a ≤32时，g (a )＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，所以g (a )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.所以函数g (a )＝2－a |a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4.11. 【解答】 (1) 由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0.当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2) 设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3) 对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 所以a >3x －x 2，x ∈[2，＋∞)． 设h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2，即实数a 的取值范围是(2，＋∞)． B. 滚动小练 12. []－2，213. (－2,8) 【解析】 因为4x ＋1y ＝1，所以x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋xy＋4≥8＋216y x ·xy＝16，当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．因为x ＋4y >m 2－6m 恒成立，所以16>m 2－6m ，解得－2<m <8，即m ∈(－2,8)．14. 【解答】 (1) 因为函数f (x )＝x ＋bx 2＋4为奇函数， 所以对∀x ∈R ，都有 f (－x )＝－f (x )， 即－x ＋b (－x )2＋4＝－x ＋b x 2＋4， 解得b ＝0，所以 f (x )＝xx 2＋4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 222＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0.(2) f (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 证明如下：∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋4－x 2x 22＋4＝x 1(x 22＋4)－x 2(x 21＋4)(x 21＋4)(x 22＋4)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4). 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，(x 21＋4)(x 22＋4)>0，当x >2时，x 1x 2－4>0，(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )单调递减．当0<x <2时，x 1x 2－4<0，(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4)<0，即f(x1)<f(x2)，此时f(x)单调递增．所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．第8讲函数奇偶性与周期性、对称性第1课时函数奇偶性的判定与周期性A. 课时精练1. D2. D【解析】由题意得当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，所以f(x)＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x，所以f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.3. B【解答】根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x＋a，则有f(0)＝log24＋a＝0，解得a＝－2.则当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x－2，则f(2)＝log2(4＋4)＋3×2－2＝7.又由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－7，故选B.4. D【解答】根据题意，对于函数f(x)，其定义域为{－2，－1,0}，有f(－2)＝－1，f(－1)＝0，f(0)＝1，对于y＝f(x＋1)，其定义域为{－3，－2，－1}，不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；对于y＝f(x－1)，其定义域为{－1,0,1}，且f(－1－1)＝f(－2)＝－1，f(0－1)＝f(－1)＝0，f(1－1)＝f(0)＝1，为奇函数，故D正确，C错误．故选D.5. ABD6. ABD【解答】因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x ＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以函数f(x)关于点(1,0)及点(－1,0)对称，则f(x)可为奇函数，例如f(x)＝sin(πx)；也可以为偶函数，例如y＝cos πx2，故选项A，B正确；又因为函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数，故选项C错；因为f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x ＋3)，所以f(x＋3)是奇函数，故选项D正确．7. 18. (5，＋∞)【解析】因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.9. 0 f (x )＝⎩⎨⎧ x |x －2|，x >0，x |x ＋2|，x ≤0【解析】 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.当x >0时，f (x )＝x |x －2|，所以设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )|－x －2|＝x |x ＋2|，所以f (x )＝⎩⎨⎧x |x －2|，x >0，x |x ＋2|，x ≤0. 10. 【解答】(1) 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数．(2) 因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]，所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.因为f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11. 【解答】 (1) 根据题意，f (x )＋g (x )＝x x －1， 则f (－x )＋g (－x )＝－x －x －1＝x x ＋1. 又f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，则f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝x x ＋1， 联立两式解得f (x )＝x 2x 2－1，g (x )＝x x 2－1. (2) 由(1)的结论，f (x )＝x 2x 2－1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 21x 2－1＝－1x 2－1， 则有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2x 2－1＋－1x 2－1＝1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (4)＝3.B. 滚动小练12. AB13. ABD 【解析】 对于A ，x 2＞1⇒x ＞1或x ＜－1，所以“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，因为f (x )为偶函数，所以a ＝－5，因为定义区间为[a ，b ]，所以b ＝5，因此f (x )＝x 2＋5，其最小值为5，故B 正确；对于C ，命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0＞0，使得x 0＋1x 0＜2”，故C 错误；对于D ，由条件得⎩⎨⎧ 2x ∈[0，2]，8－2x ≥0，所以⎩⎨⎧ x ∈[0，1]，x ∈(－∞，3]，所以x ∈[0,1]，故D 正确．14. 【解答】 (1) 由题设可知，a <0且－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以－b －8a ＝－1，－1－b ＝－6，解得a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2) 因为a <0，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，所以b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512， 故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ≤－2512. 第2课时 函数性质的综合应用A. 课时精练1. B2. A3. D4. B 【解析】 由已知可知，f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 020－ln 2)＝f (－ln 2)＝－f (ln 2)＝e a ln 2＝2a ＝8，解得a ＝3.5. BCD 【解析】 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数．对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D 正确．6. ABD【解析】根据题意，函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0.对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x＝2时，有f(0)＝2f(2)＝0，则f(2)＝0，则f(2－x)＝f(x)，即x＝1是f(x)图象的一条对称轴．又f(x)为奇函数，则f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数．当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，则函数f(x)在区间[0,1]上为增函数．又f(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[－1,1]上为增函数．对于A，f(x＋2)＝－f(x)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，A正确；对于B，x＝1是f(x)图象的一条对称轴，且f(x)是周期为4的周期函数，则x＝5是f(x)图象的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点，分别为－6，－4，－2，0,2,4,6，C错误；对于D，f(x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，则函数f(x)在[－5，－3]上为增函数，又由x＝－5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数f(x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．7. 18. (－3,2)【解析】因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2.9. b<a<c【解析】由条件①知，当x∈[4,8]时，f(x)为增函数；由条件②知，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(x)是周期为8的周期函数；由条件③知，y＝f(x)关于直线x＝4对称，所以f(11)＝f(3)＝f(5)，f(2 025)＝f(1)＝f(7)，故f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c.10. 【解答】(1) 根据题意，函数f(x)＝ax4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝a4－12＝13，解得a＝1，故f(x)＝x4－x2，x∈(－2,2)．f (x )在(－2,2)上单调递增，证明如下：任取－2<x 1＜x 2<2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 24－x 22－x 14－x 21＝(x 2－x 1)(4＋x 1x 2)(4－x 22)(4－x 21). 因为x 2－x 1＞0,4＋x 1x 2＞0,4－x 21＞0,4－x 22＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，所以f (x )在(－2,2)上单调递增．(2) 因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )，不等式f (t －1)＋f (t )＜0可化为f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．又f (x )在(－2,2)上是增函数，所以⎩⎨⎧ t －1＜－t ，－2＜t －1＜2，－2＜－t ＜2，解得－1＜t ＜12，所以关于t 的不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 11. 【解答】 若选①，函数f (x )＝b ＋3x －a ， 且满足f (2－x )＋f (x ＋2)＝0，则f (x )关于点(2,0)成中心对称，即a ＝2，b ＝0.若选②，函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的值域为[2,4]．若a ＞1，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，a 2＋b ＝4，两式作差得a 2－a －2＝0，得a ＝2或a ＝－1(舍去)，此时b ＝0；若0＜a ＜1，则⎩⎨⎧a ＋b ＝4，a 2＋b ＝2，两式作差得a 2－a ＋2＝0，此时无解． 若选③，函数f (x )＝x 2－ax ＋4，且f (x ＋1)在区间[b －1，b ＋1]上为偶函数， 则b －1＋b ＋1＝0，得b ＝0，f (x ＋1)是偶函数，图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，即－－a 2＝1，得a ＝2.综上，①②③的答案相同，都为a ＝2，b ＝0，则g (x )＝x ＋b ax 2＋2＝x 2x 2＋2，x ∈(－1,1)，且g (x )是奇函数． (1) 设－1＜x 1＜x 2＜1，则g (x 1)－g (x 2)＝x 12x 21＋2－x 22x 22＋2＝x 1(2x 22＋2)－x 2(2x 21＋2)(2x 21＋2)(2x 22＋2)＝2x 1x 22＋2x 1－2x 2x 21－2x 24(x 21＋1)(x 22＋1)＝2x 1x 2(x 2－x 1)＋2(x 1－x 2)4(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)2(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以－1＜x 1x 2＜1，x 2－x 1＞0，则g (x 1)－g (x 2)＜0，即g (x 1)＜g (x 2)，所以g (x )在(－1,1)上单调递增．(2) 因为g (x )是奇函数，且在(－1,1)上单调递增，所以不等式g (t －1)＋g (2t )＜0等价于g (t －1)＜－g (2t )＝g (－2t )，所以⎩⎨⎧ －1＜t －1＜1，－1＜2t ＜1，t －1＜－2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜t ＜2，－12＜t ＜12，t <13，所以0<t <13，即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. B. 滚动小练12. D 13. A14. 【解答】 (1) 由∀x ∈[－1,1]，都有不等式x 2－x －m <0成立，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1上恒成立，所以m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}＝(2，＋∞)．(2) 不等式x 2－(4a ＋2)x ＋3a 2＋6a ＝(x －3a )(x －a －2)<0，当3a >2＋a ，即a >1时，A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以2＋a ≥2，此时a >1.当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，A ＝∅，满足题设条件．当3a <a ＋2，即a <1时，A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以3a ≥2，此时23≤a <1.综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 第9讲 二次函数与幂函数A. 课时精练1. A2. B3. D 【解析】 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象如图所示，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.(第3题)4. C 【解析】 设g (x )＝x 2＋ax ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则g (x )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．又h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，故当x ＝12时，h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2，即a ≥－52. 5. AD 【解析】 因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，A 正确；图象的对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1，2a －b ＝0，B 错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，C 错误；由图象的对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，D 正确．6. ABC 【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点，故判别式Δ＝(－2)2－4a >0⇒a <1，故A 正确．由x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，故1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a ，故B 正确．因为f (－1)＝3＋a ，f (3)＝3＋a ，所以f (－1)＝f (3)，故C 正确．当a ＝0时，y ＝f (|x |)＝|x |2－2|x |＝0⇒|x |(|x |－2)＝0，有三个根，x ＝0，±2，故D 错误．7. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞8. [－2,0] 【解析】 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，若此时φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，则m 2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，若此时φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．9. [1，2] 【解析】 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，所以1≤t ≤ 2.10. 【解答】 (1) 依题意得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2) 由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．若p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎨⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1， 故实数k 的取值范围是[0,1]．11. 【解答】 (1) 由题意可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝k 2，要使函数f (x )在[－2,2]上存在单调减区间，则k 2>－2，则k >－4.(2) 若选择①g (x )＝mx ＋5－m .因为x 1∈[1,2]，所以2≤2x 1≤4.令t ＝2x 1，则2≤t ≤4，则f (2x 1)＝f (t )＝t 2＋3，所以7≤f (t )≤19.因为对任意的x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[－1,2]，使得f (2x 1)＝g (x 2)成立， 所以g (x 2)的值域应该包含区间[7,19]．当m ＝0时，g (x 2)＝5不合题意，所以m ≠0.当m >0时，⎩⎨⎧ g (－1)≤7，g (2)≥19，即⎩⎨⎧ m >0，5－2m ≤7，5＋m ≥19，解得m ≥14. 当m <0时，⎩⎨⎧ g (－1)≥19，g (2)≤7，即⎩⎨⎧ m <0，5－2m ≥19，5＋m ≤7，解得m ≤－7. 综上，存在m ∈(－∞，－7]∪[14，＋∞)满足题意． 若选择②g (x )＝2x－m ，则g (x )＝2x －m 在[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－m ，4－m ， 所以应该有⎩⎪⎨⎪⎧4－m ≥19，12－m ≤7，无解，所以不存在满足题意的m . 若选择③g (x )＝log 2(3－x )－m ，则g (x )在[－1,2]上的值域为[－m,2－m ]，所以应该有⎩⎨⎧ 2－m ≥19，－m ≤7，无解，所以不存在满足题意的m . B. 滚动小练12. B13. AB 【解析】 对于A ，函数f (x )对任意的x ∈R 恒有f (x ＋2)＝f (x －1)，变形可得f (x ＋3)＝f (x )，则3是函数f (x )的周期，A 正确．对于B ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为增函数．又f (x )为偶函数，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上为减函数，又由f (x )的周期为3，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92上单调递增，B 正确．对于C ，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32上的最小值为f (0)＝12，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2，又由f (x )的周期为3，则函数f (x )的最大值为2，最小值为12，C 错误．对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92时，x －3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，有f (x －3)＝2x －3－1＝2x －4，D 错误．14. 【解答】 (1) p (5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.(2) 因为y ＝6p (t )＋24t－10， 所以当5≤t <10时，y ＝360－6(t －10)2＋24t －10＝110－⎝ ⎛⎭⎪⎫6t ＋216t ， 由函数图象(图略)得函数y ＝110－⎝ ⎛⎭⎪⎫6t ＋216t 在区间[5,6]上单调递增，在区间[6,10)上单调递减，所以当t ＝6时，y 取得最大值38.当10≤t ≤20时，y ＝6×60＋24t －10＝384t －10，该函数在区间[10,20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4.综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．第10讲 指数式与指数函数A. 课时精练1. D2. D3. C4. C 【解析】 因为当x >0时，1<b x ，所以b >1.因为当x >0时，b x <a x ，所以当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1，所以a b >1，所以a >b ，所以1<b <a ，故选C. 5. ACD 【解析】 函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以方程f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14对称，所以D 正确． 6. ACD 【解析】 由图可知，函数y ＝a t 的图象经过点(1,2)，即a 1＝2，则a ＝2，所以y ＝2t .因为2t ＋1－2t ＝2t 不是常数，所以蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A 正确，B 错误；当t ＝6时，y ＝26＝64>60，C 正确；若蓝藻面积蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1, t 2, t 3，则2t 1＝2,2t 2＝3,2t 3＝6，则2t 1·2t 2＝2×3，即2t 1＋t 2＝6，则t 1＋t 2＝t 3，D 正确．7. 89 【解析】 0.001－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫780＋1634＋(2·33)6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000－13－1＋(24)34＋(212·313)6＝10－1＋23＋(23·32)＝9＋8＋8×9＝89.8. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 [1,2] 【解析】 因为x ∈[－3,2]，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.又t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，y ＝t 2－t ＋1的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，由14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，得1≤x ≤2，所以f (x )的单调增区间为[1,2]．9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|的图象与y ＝2a 有两个交点．当0＜a ＜1时，如图(1)，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1，不符合要求．所以0＜a ＜12.图(1)图(2) (第9题) 10. 【解答】 (1) 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.(2) 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．(3) 因为t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立， 所以f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )．因为f (x )是奇函数，所以f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)． 因为f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2， 即k ＜3t 2－2t 恒成立．因为3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.11. 【解答】 (1) 当m ≤1时，函数f (x )在区间(0,1)内为增函数．设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝4x 1－m ·2x 1－(4x 2－m ·2x 2)＝(4x 1－4x 2)－m (2x 1－2x 2)＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2－m )．由于0<x 1<x 2<1，则1<2x 1<2x 2<2， 又m ≤1，则2x 1＋2x 2－m >0， 则(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2－m )<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 则函数f (x )在区间(0,1)内为增函数． (2) 由于g (x )在区间(0,1)上有意义， 则f (x )>0，即4x －m ·2x >0在(0,1)上恒成立， 即m <2x 在(0,1)上恒成立， 由于2x ∈(1,2)，则有m ≤1. B. 滚动小练12. A 【解析】 因为⎩⎨⎧x ＞1，y ＞1，所以x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．13. (v 1＋v 2)24v 1v 2 乙 【解析】 设上山路程为1，则甲上、下山所用时间为1v 1＋1v 2＝v 1＋v 2v 1v 2，乙上、下山所用时间为2·112(v 1＋v 2)＝4v 1＋v 2，所以甲、乙两人上、下山所用时间之比为v 1＋v 2v 1v 24v 1＋v 2＝(v 1＋v 2)24v 1v 2.因为v 1≠v 2，所以v 1＋v 2v 1v 2>2v 1v 2v 1v 2＝2v 1v 2，4v 1＋v 2<42v 1v 2＝2v 1v 2，所以v 1＋v 2v 1v 2>4v 1＋v 2，即乙上、下山所用时间之和最少． 14. 【解答】 (1) 因为不等式ax 2＋x ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}， 所以1,3是方程ax 2＋x ＋c ＝0的两根，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋3＝－1a ，1×3＝ca ，解得a ＝－14，c ＝－34. (2) 由(1)得a ＝－14，c ＝－34，所以不等式ax 2＋2x ＋4c ＞0化为－14x 2＋2x －3＞0，解得2＜x ＜6，所以A ＝{x |2＜x ＜6}．又3ax ＋cm ＜0，即x ＋m ＞0， 解得x ＞－m ，所以B ＝{x |x ＞－m }. 因为A ⊆B ，所以－m ≤2，即m ≥－2， 所以m 的取值范围是[－2，＋∞)．第11讲 对数与对数函数A. 课时精练 1. B2. B 【解析】 因为函数y ＝log a (x ＋b )过(－1,0)，(0,1)两点，所以⎩⎨⎧0＝log a (b －1)，1＝log a b ，解得a ＝b ＝2，故选B. 3. D 【解析】 因为a ＝30.7>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8>30.7＝a ，c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，所以c <a <b .故选D.4. D 【解析】 由f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，得f (x )定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠±12，关于坐标原点对称．又f (－x )＝ln|1－2x |－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )，所以f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln(2x ＋1)－ln(1－2x )，因为y ＝ln(2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递增，y ＝ln(1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递增，排除B ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，因为μ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，f (μ)＝ln μ在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，D 正确．5. BD6. AB 【解析】 因为f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，a ≠1)，所以f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )．由x ＋1>0且1－x >0得－1<x <1，故A 正确．由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )，得函数f (x )＋g (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 正确．因为－1<x <1，所以f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，因为y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a >1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错误．因为f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0<a <1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，所以函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，故D 错误．7. 916 【解析】 若正实数a 满足a a ＝(9a )8a ，则a log a a ＝8a log a (9a )，所以1＝8(log a 9＋1)，所以log a 9＝－78，所以log a 3＝－716，则log a (3a )＝1＋log a 3＝1－716＝916.8. 136 1 【解析】 由2a ＝6,3b ＝36，得a ＝log 26，b ＝log 336，所以4a 9b ＝4log 269log 336＝2log 2623log 3362＝136，所以1a ＋2b ＝1log 26＋2log 336＝lg 2lg 6＋lg 3lg 6＝1.9. (0,1) 【解析】 如图，由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1,0<c <lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0,1)．(第9题)10. 【解答】 (1) 令u ＝2x 2＋x ，y ＝f (x )＝log a u ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，u ∈(0,1)．因为y ＝log a u >0，所以0<a <1，故a 的取值范围为(0,1)．(2) 由2x 2＋x >0可得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)，因为0<a <1，所以y ＝log a u 为减函数，而u ＝2x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝log a (2x 2＋x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.11. 【解答】 (1) 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x ＋1)＋12kx ， 化简得log 33－x ＋13x ＋1＝kx ，即log 313x ＝kx ，所以log 33－x ＝kx ，所以－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，所以k ＝－1. (2) 由题意知，方程log 3(3x ＋1)－12x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x ＋1)－x ＝a ，即log 33x ＋13x ＝a 有解，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝a 有解．由13x >0，得1＋13x >1，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x >0，故a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． B. 滚动小练12. ABD 13. 1⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥14【解析】 由题1e x ＋a e x ＝1e－x ＋a e －x ⇒1e x ＋a e x ＝e x ＋ae x ⇒(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0，故a ＝1.因为1e x ＋a e x ≥1恒成立，故a ≥1e x －1e 2x 恒成立．设t ＝1e x >0，则a ≥t －t 2在t >0时恒成立．又y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14≤14，故a ≥14.14. 【解答】 (1) 原式＝[(0.4)3]－13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23323＋log3(3)6＋3log 312＝52－49＋6＋12＝779.(2) 由A ＝{x |y ＝lg(x －3)＋9－2x }，得⎩⎨⎧x >3，9－2x ≥0，所以3<x ≤92，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3<x ≤92. 因为B ＝{x |x 2－9x ＋20≤0}＝{x |(x －4)(x －5)≤0}＝{x |4≤x ≤5}，所以A ∪B ＝{x |3<x ≤5}．因为C ⊆(A ∪B )，当C ＝∅时，有a ＋1≥2a －1，得a ≤2；当C ≠∅时，则⎩⎨⎧a ＋1<2a －1，a ＋1>3，2a －1≤5，得2<a ≤3.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤3}．第12讲 函数的图象A. 课时精练 1. C 2. B3. D 【解析】 令x >0，则－x <0，所以当x >0时，f (－x )＝－1x ，－f (－x )＝1x；令x <0，则－x >0，所以当x <0时，f (－x )＝x 2，－f (－x )＝－x 2；当x ＝0时，g (0)＝0.所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，－x 2，x ≤0.故选D.4. D 【解析】 函数f (x )＝2x 2－e |x |在[－2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称．因为f (2)＝8－e 2,0<8－e 2<1，所以排除A ，B 选项．当x ∈[0,2]时，f ′(x )＝4x －e x 有一个零点(f ′(0)f ′(1)<0)，设为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f (x )为减函数，当x ∈(x 0,2)时，f (x )为增函数．故选D.5. A 【解析】 在同一直角坐标系中作出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图象可知，M (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎨⎧g (x )，0<|x |<1，f (x )，|x |≥1，因此，函数y ＝M (x )的图象为A 选项中的图象．故选A.(第5题)6. BCD 【解析】 若a >1，则对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，对称轴x ＝12(a －1)>0，经过原点，可能为A ，不可能为B.若0<a <1，则对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，对称轴x ＝12(a －1)<0，经过原点，不可能为C ，D.故选BCD.7. AD 【解析】 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，作出f (x )的大致图象，如图所示．由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1,1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a 或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根，所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.(第7题)8. (3,1)9. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 【解析】 当－1≤x ≤0时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.当x >0时，设f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)．因为图象过点(4,0)，所以0＝a (4－2)2－1，得a ＝14，所以f (x )＝14(x －2)2－1.10. (2,2 021) 【解析】 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.(第10题)11. 【解答】 (1) 因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，所以m ＝4. (2) 函数f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x <4，作出其图象如图所示．(第11题)(3) 由(2)知函数f (x )在(－∞，2)，(4，＋∞)上单调递增，在(2,4)上单调递减．不等式f (x )>0的解集为(0,4)∪(4，＋∞)．(4) 由图象可知，当且仅当0<k <4时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有3个交点，也即方程f (x )＝k 有3个实数根．B. 滚动小练12. C 【解析】 不等式2x 2－13x ＋15＜0化为(x －5)(2x －3)＜0，解得32＜x ＜5.又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值范围是{1,2,3,4}．故选C.13. B 【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，因为xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1，解得34(x ＋y )2≤1，所以－233≤x ＋y ≤233，所以x ＋y 的最大值是233.14. 【解答】 (1) f (－1)＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝log 2(1＋1)＝1. (2) 作出f (x )的大致图象，如图所示．(第14题)(3) 当x <0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >3，得x <log 123，即x <－log 23； 当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)>2， 所以x ＋1>4，得x >3，故原不等式解集为{x |x <－log 23或x >3}．第13讲 函数与方程A. 课时精练 1. B 2. C3. B 【解析】 因为a >0，所以a 2＋1>1.作出y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，即方程有2个解．(第3题)4. C 【解析】 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)．因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ.又函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.。
