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1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
解：动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。
P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。
合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。
综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。
由所给数据估计得310897.20⨯=k ，将实际数据与模型结果比较如下表：2 题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析，再用数据确定参数。
问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设⑴设鱼的重量为；⑵语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。
即31v k w =，1k 为比例系数。
不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k =0.0146，2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意， 上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。
第二章 初等数学模型本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法复习要求1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。
2．进一步理解数学模型的作用与特点。
类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1．雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即20πθ≤≤，那么全身被淋的雨水总量为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )]cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2. 令απθ+=2，则20πα<<. 那么全身被淋的雨水总量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图2-1）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵 袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心p（动点）为圆心的圆的半径r ，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围.2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北︒45，速度为20km /h ，而当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大，即半径的增加速度为t t r 1060)(+=，t 为时间.于是只要6010+≤t p o ，便是城 图2-1市O 受到侵袭的开始.模型I 如图2-2建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t (h )台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(222t r y y x x ≤-+-其中r (t )=10t +60. 图2-2若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即 ,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 整理可得 ,0288362≤+-t t由此解得 12≤t ≤24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型II 设在时刻t (h )台风中心为P （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t +60，因此，若在时刻t 城市O 受到台风侵袭，应有6010+≤t P O由余弦定理知.cos 2222P OP PO P P PO P P P O ∠⋅⋅-+=注意到 t P P OP 20,300==,542210212210245sin sin 45cos cos )45cos(cos 2=⨯-+⨯=︒⋅+︒⋅=︒-=∠θθθP OP故 .30096002054300202300)20(222222+-=⨯⨯⨯-+=t t t t P O因此 .)6010(3009600202222+≤+-t t t即 0288362≤+-t t 解得 .2412≤≤t2．动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法.类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系.（2）模型假设与求解我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l 、直径为d 、断面面积为S （如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.设动物在自身体重（记为f ）的作用下，躯干的最大下垂度为b ，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道23Sdfl b ∝. 又由于∝f Sl (体积)，于是23d l l b ∝. b 是动物躯干的绝对下垂度，b /l 是动物躯干的相对下垂度.b /l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b /l 图2—3太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b /l 已经达到其最适宜的数值，换句话说，b /l 应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此23d l ∝，又由于2,d S Sl f ∝∝,故44,kl f l f =∝从而.即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k 后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.情形1 已知：ABC ∆中，︒=∠90C ，AC =BC =1，BD 是AC边上的中线，E 点在AB 边上，且BD ED ⊥.求DEA ∆的面积.如图2-4，引BA CF ⊥，易证24/1=∆DEA S类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到 图2-4情形2 已知ABC ∆中(图2-5)，A B C ∠=∠=∠44，BD 是AC 边上的中线，E 点在AB 上，且C AED ∠=∠，1=∆ABC S ，求AED S ∆.类似情形1的证法，易证得12/1=∆AED S ；当2/1=∆ABC S 时，24/1=∆AED S ，与情形1结果相同. 图2-5类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形3 已知ABC ∆中︒=∠90C ，AC =2BC =2，BD 是AC 边上中线，AB CF ⊥交BD 于H ，求CBH S ∆.同样可证6/1=∆CBH S .这里，若在情形3中令AC =2BC =1，也有24/1=∆ADE S ，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求ADE S ∆，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是CBH S ∆.3．实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为x 0的物品X ，乙占有数量为y 0的物品Y ；交换后甲所占有的物品X ，Y 的数量分别记为x ,y ；单位数量的物品X ，Y 的价值（价格）设为p 1,p 2.由等价交换准则，x ,y 满足方程,0,0,)(00201y y x x y p x x p ≤≤≤≤=-容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。
第三章 初等数学模型所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高等的。
在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。
本章介绍了量纲分析法、比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。
第一节 量纲分析法量纲分析提出于20世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
1.1 量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l ， 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,；而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ，称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则 用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系。
先看一个具体的例子，再给出。
1.2量纲分析的一般方法例1 （单摆运动）质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（1.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T L MT --------------（1.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（1.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（1.4）（1.4）式与单摆的周期公式是一致的1.3 Buckingham Pi 定理下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理（Buckingham Pi 定理） 设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f --------------（1.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
