2020-2021学年吉林省松原市扶余县一中高一下学期期末考试数学试卷 答案和解析

湖北省十堰东风国际学校2020-2021学年高一下学期期末数学模拟卷3一、单选题（每题5分）1．已知全集为R ，集合{}01A x x =<<，{}2B x x =>，则（ ） A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．AB R =D ．()RAB A =2．已知向量(1,2)a =，(4,)b m =-，若a 与b 垂直，则实数m =（ ） A ．2B ．2-C ．8-D ．83．已知复数(1)(12)z i i =--，其中i 是虚数单位，则z 的虛部为（ ） A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i4．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“cos α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，设向量(),sin m a b C =+，()3,sin sin a c B A n +-=，若//m n ，则角B 的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)-B ．(4,2)-C ．(,2)(0,)-∞-+∞D ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞7．某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．258．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中2B O C O ''''==，A O ''=ABC 是一个（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形二、多选题（每题5分，部分正确2分）9．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+ B ．21a b+的最小值为2 C ．12a b +的最小值为94 D ．8117b a a b +>++恒成立. 10．设函数ππ()sin(2)cos(2)44f x x x =+++，则()f x （ ） A ．最大值为2 B ．是偶函数C ．图象关于点π(,0)4对称 D ．在区间(0,π)2上单调递增 11．ABC 中，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则下列能成为“a b >”的充要条件的有（ ） A ．sin sin A B > B ．cos cos A B <C ．cos2cos2A B <D ．sin2sin2A B >12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，以下结论正确的有（ ）A ．点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D1PC 的体积不变B ．点P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AD1C 所成角的大小不变 C ．点P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD1-C 的大小不变D ．M 是平面1111D C B A 上到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是过点D 1的直线 三、填空题（每题5分）13．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．14．已知函数()2log (1)a f x x =++ （0a >，且1a ≠）．若()y f x =的反函数的图像经过点(1,2)，则a =_____________．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．16．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．四、解答题（共70分，其中17题10分，18-22题每题12分） 17．已知向量||1,||2a b ==（1）若向量,a b 的夹角为120︒，求a b ⋅的值； （2）若||5a b +=，求|23|a b -的值；（3）若()0a a b ⋅-=，求,a b 的夹角．18．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.（1）求m 的值；（2）估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）（3）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.19．已知函数()()22f x sin cos cos x x x x x =--∈R （I ）求2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 20．的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2BA C +=． （1）求cosB ； （2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．21．已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m的取值范围.22．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥；（2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG 平面PCD ，并说明理由.——★ 参*考*答*案 ★——一、单选题二、多选题三、填空题13 14．13 15．2π 16．1501．D『解 析』A 中，显然集合A 并不是集合B 的子集，错误.B 中，同样集合B 并不是集合A 的子集，错误.C 中，(0,1)(2,)A B =⋃+∞，错误.D 中，由{}2B x x =>，则{}2RB x x =≤，()RAB A =，正确.2．A『解 析』a与b 垂直，∴4202a b m m ⋅=-+=⇒=，故选：A.3．A『解 析』()()11212313z i i i i =--=--=--，则z 的虚部为3-.4．B『解 析』211cos 22cos 1cos33ααα=⇒-=⇒=∴1cos 23α=推不出cos 3α=，反之，cos 3α=⇒1cos 23α=，∴“1cos 23α=”是“cos 3α=”的必要不充分条件，5．D『解 析』(),sin m a b C =+，()3,sin sin a c B A n +-=，//m n ，()(sin sin))sin0a b B A c C∴+--+=，由正弦定理可得2220b a c--=，222cos2a c bBac+-∴==0180,150B B︒<<︒∴=︒.6．B『解析』∵不等式2162a bx xb a+<+对任意a，(0,)b∈+∞恒成立，∴2min162a bx xb a⎛⎫+<+⎪⎝⎭，∵168a bb a+≥=，当且仅当16a bb a=，即4a b=时取等号，∴168mina bb a⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴228x x+<，∴42x-<<，∴实数x取值范围是(4,2)-，7．C『解析』由于到甲、乙、丙社区参加志愿者活动的学生所占比例分别为15%，20%，15%，且甲社区的志愿者学生人数为15，则丙、丁社区志愿者学生人数分别为20，15，所以，到戊社区参加志愿者活动的学生数为1001520153020----=.8．B『解析』A O''在y'轴上，B C''在x'轴，因此AO BC⊥，在原图形中4AO BC==，60ABC ACB∠=∠=︒，三角形为等边三角形．9．BC『解析』由24a b+=得：142a b+=，A：1111333()()42424442b aa b a b a ba b+=++=++≥+=+，当且仅当222a b=时等号成立，错误；B：21214()()12214a b b aaa ab bb=+=++++=+=，当且仅当2a b=时等号成立，正确；C：124212559()()42244a ba ba bb aa b+=++≥++==+，当且仅当a b=时等号成立，正确；D ：11111111()11111111b a b a b a a b a b a b a b +-+-+++=+=+-+++++++++，又12(1)177a b +++=，则111112(1)5(1)13()[]1111777(1)7(1)7b a a b b a a b a b a b +++++++-++=+-≥++++++3377=，当且仅当11)a b +=+时等号成立，而3877<，显然不能恒成立，错误. 10．BC『解 析』()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x ，并且是偶函数，当4x π=时，0y =，函数关于点(,0)4π对称，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，此时函数单调递减. 11．ABC『解 析』由正弦定理sin sin a bA B=，A 是充要条件，由余弦函数的性质，三角形内角都在(0,)π上，B 也是充要条件，ABC 中，sin 0,sin 0A B >>，a b >⇔sin sin A B >⇔2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，C 是充要条件，75,15A B =︒=︒，满足a b >，但2150A =︒，230B =︒，sin 2sin 2A B =，D 不是充要条件． 故选：ABC ． 12．ACD『解 析』因为11A D PC P AD C V V --=，11//BC AD ，且1BC ⊄平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，所以1//BC 平面1AD C ，所以1BC 上的点到平面1AD C 的距离相等，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，故A 正确；由图可知，当点P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1AD C 所成角和直线1AC 与平面1AD C 所成角不相等，故B 错误；因为AP ⊂平面11BC D A ，所以二面角1P AD C --的大小等于平面11BC D A 与平面1AD C 所成角的大小，所以二面角1P AD C --的大小不变，故C 正确；因为M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，所以点M 的轨迹是平面1111D C B A 与线段1DC 的垂直平分线1D C 所在平面的交线，即点M 的轨迹是平面1111D C B A 与平面11A D C 的交线11A D ，所以点M 的轨迹是过点1D 的直线，故D 正确；13 『解 析』因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===，故答案是314．13『解 析』()f x 与其反函数图象关于直线y x =对称，()y f x =的反函数的图像经过点(1,2)，则()2log (1)a f x x =++的图像经过点(2,1)，所以12log (21)a =++，即log 31a =-，解得13a =. 15．π2『解 析』分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2DA =，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--，()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DNN DN AM DN A M DN A M DN --⋅=∴〈〉===1AM DN ⊥，即异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是π216．150『解 析』在ABC 中，45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,100sin 45AC ∴==︒AMC 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM AC ACMAMC =∠∠即,sin 60sin 45AM =︒︒解得AM =在Rt AMN 中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒150()m =． 四 、解答题17．解：（1）1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； （2）由题意222222()21225a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅+=，0a b ⋅=， 所以222|23|(23)412941a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯=（3）2()10a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，所以1a b ⋅=，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=，1cos ,2a b <>=，所以,60a b <>=︒． 18．解：（1）因为()0.0040.0060.020.030.024101m +++++⨯=, 解得0.016m = （2）设中位数为a ，因为()0.0040.0060.02100.3++⨯= 则()700.030.2a -⨯=， 解得2763a =， 所以抽查学生测试成绩的中位数是2763； （3）抽查的测试平均分为()0.004450.006550.02650.03750.024850.016951076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，超过75分，所以该学校通过测试.19．解：（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -x cos x ，＝﹣cos2x x ，＝﹣2π26sin x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （2π3）＝﹣2sin （4ππ36+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ， 解得π2πππ,63k x k k +≤≤+∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 20．解：（1）()2sin 8sin 2B AC +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=∴2b =． 21．解：（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <， 故函数()f x 的定义域(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1x a f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞， 用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈. （3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t -==-++，[]1,3x ∈，故[]213,9x +∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.22．(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,1EC CD ==,∴DCE ∆为等腰直角三角形,则45DEC ∠=,同理可得45AEB ∠=,∴90AED ∠=,∴DE AE ⊥,又PA ABCD 平面⊥,且DE ABCD ⊂平面, ∴PA DE ⊥,又∵AE PA A ⋂=,∴DE PAE ⊥平面,又PE PAE ⊂平面,∴DE PE ⊥.(2) 由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,∴111122DCE S ∆=⨯⨯=,而PA 是三棱锥P DCE -的高,∴111113326C PDE P DCE DCE V V S PA --∆==⋅=⨯⨯=. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.理由如下:取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH .∵,G H 是,PA PD 的中点, ∴//GH AD ,且12GH AD =, 又因为E 为BC 的中点,且四边形ABCD 为矩形,所以EC //AD ,且EC =12AD ,所以EC //GH ,且EC =GH ,所以四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,又EG ⊄平面PCD ,CH ⊂平面PCD ,所以EG //平面PCD .。

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2015---2016学年（高一）年级下学期期末考试数学学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC V 中，若A ︒=45，,a b ==632，则B =（ ）A ．030 B ．︒60 C ．030或︒150 D ． ︒60或︒120 2. 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.4 6 3．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )A.b a 11< B. 22b a > C. 1122+>+c bc a D. ||||c b c a > 4．已知数列{}n b 是等比数列，b 9是1和3的等差中项，则b b =216（ ）A ．16B ．8C ．2D ．45．下列说法中，正确的是（ ）A ．平行于同一平面的两条直线互相平行B ．垂直于同一平面的两条直线互相平行C ．垂直于同一平面的两个平面互相平行D ．垂直于同一直线的两条直线互相平行 6. 一条光线从点(),P 53射出，与x 轴相交于点(),Q 20，经x 轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）A. x y +-=20B.x y --=20C. +x y -=20D.+x y +=207．已知等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（ ）A ．100B ．120C ．390D ． 5408．某船开始看见灯塔在南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A ．15km B. 152km C ．153km D. 30km 9．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( ) A ．90° B ．45°C ．60°D ．30° 10周长为20的矩形绕其一边所在直线旋转形成一个封闭几何体，则该几何体的侧面积的最大值是( )A ．π25B ．π50C ．π100D ．π20011．设,x y 满足约束条件,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩3602000，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A.256B.83C.113 D. 412.定义np p p +++L 为n 个正数n p p p ,,,21Λ的“均倒数”．若数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为131n +，又26n n a b +=，则1223910111b b b b b b +++L L =( ) A ．111 B ．11 C ． 10 D ．1211第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)，则该几何体的体积 为 m 3．14．在空间直角坐标系中，已知点(),,A 102，点B 为点(),,-131在平面yoz 上的投影,则AB = .15.在ABC ∆中，若120A ∠=o ,5AB =,7BC =，则ABC ∆的面积S ＝ ．16．在平面直角坐标系中，圆C 的方程为228120x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17 .(本小题满分10分) 已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足FE DABB A CC D11112594152,14, 1.b a a a b a ==+==+（I ）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（II ）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）在ABC Rt ∆中，已知)0,2(-A ，直角顶点)22,0(-B ，点C 在x 轴上. （I ）求ABC Rt ∆外接圆的方程；（II ）求过点(,)41且与ABC Rt ∆外接圆相切的直线的方程.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中,,AC BC ⊥1,AB BB ⊥1AC BC BB ==，D 为AB 的中点，且1CD DA ⊥． （I ）求证：1BC ∥平面1DCA ；（II ）求证：平面ABC ⊥平面11ABB A ; （III ）求1BC 与平面11ABB A 所成角的大小．20. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足：()(sin sin )sin ()a c A C B a b +-=-.（I ）求角C 的大小；（II ）若2,c =求a b +的取值范围.21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD .(I) 证明：BE SC ⊥；(II)【文】若SE ＝1，求点E 到平面SBC 的距离．【理】若SE ＝1，求二面角B SC D --平面角的余弦值.22. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*+,=,.n n S a S n N =+∈21421（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{}n a n --2的前n 项和.2015---2016学年（高一）年级下学期期末考试数学学科答案一．选择题二．填空题13. 4 14. 15.4315 16. 43-≥k 三．解答题17 .解：（1）597147a a a +=∴=Q 又22a =Q a a d -∴==7215()n a a n d n ∴=+-=22┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 415116b a ∴=+= n n n b q q b b q b -∴==∴=∴==31411822┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2）nn c n =⋅2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅1231222322Ln T ∴=2 n n +⋅+⋅+⋅++⋅23411222322L ┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分n n n T n +∴-=+++++-⋅12341222222L ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 =()()n n n n n n n n ++++--⋅=-+-⋅=---⋅-1111212222221212┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄9分()n n T n +∴=-⋅+1122 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分18. 解：（1由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为)0,(a ）又,BC AB ⊥则,1k ·BC -=AB k 即122 · 222-=-a，解得4=a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分则所求圆的圆心为（1,0）半径为3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分故方程为9)1(22=+-y x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）直线斜率不存在时，x =4，与圆相切，符合题意； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分直线斜率不存在时，设所求直线方程为()14y k x -=-即kx y k -+-=140当圆与直线相切时有3d ==，解得43k =-故所求直线方程为x y +-=43190 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分∴综上，所求直线方程为x y +-=43190或x =4. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分19．⑴证明:如图一，连结1AC 与1AC 交于点K ，连结DK .在△1ABC 中，D 、K 为中点，∴DK ∥1BC . 又DK ⊂平面1DCA ，1BC ⊄平面1DCA ，∴1BC ∥平面1DCA .ABB A CC D111KABB A CC D111E图一 图二 （II ）证明：∵,AC BC D =为AB 的中点，∴CD AB ⊥. 又1CD DA ⊥，1AB DA D =I ，∴CD ⊥平面11ABB A . 又∵CD ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面11ABB A .（III ）取11A B 的中点E ，又D 为AB 的中点，∴DE 、1BB 、1CC 平行且相等， ∴1DCC E 是平行四边形，∴1C E 、CD 平行且相等.又CD ⊥平面11ABB A ，∴1C E ⊥平面11ABB A ，∴∠1EBC 即所求角. 由前面证明知CD ⊥平面11ABB A ，∴1CD BB ⊥，又1AB BB ⊥，AB CD D =I ，∴1BB ⊥平面ABC ，∴此三棱柱为直棱柱. 设12,AC BC BB ===∴1BC =1EC =1EBC ＝30︒.20. 解：（I ）()(sin sin )sin ()a c A C B a b +-=-Q()()()a c a c b a b ∴+-=-即a b c ab +-=222 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分cos .C C π∴=∴=123┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分(II) 由（I ）可知sinC c R ===243233┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分()sin sinB sin sin a b A A A π⎡⎤⎛⎫∴+=+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4343333 sin cos sin A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4333426 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分sin sin A A A A ππππππ⎛⎫⎛⎫<<∴<+<∴<+≤∴<+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭251012443666266Q ∴a b +的取值范围为(]2,4. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分21.(本小题满分12分).解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD 且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD . ∵BE ⊂平面ABCD ， ∴SE ⊥BE . ∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC ，∵SC ⊂平面SEC ，∴BE SC ⊥. (2)【文】如图，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，连接SF . 由(1)知SE ⊥平面ABCD ，而BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥SE ， 又SE ∩EF ＝E ，∴BC ⊥平面SEF ， ∵BC ⊂平面SBC ，∴平面SEF ⊥平面SBC . 过点E 作EG ⊥SF 于点G ，则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由(1)易知，BE ＝2，CE ＝23，则BC ＝4，EF ＝ 3. 在Rt △SEF 中，SE ＝1，SF ＝SE 2＋EF 2＝2，则EG ＝ES ·EF SF ＝32，∴三棱锥E －SBC 的高为32.【理】以E 为坐标原点，向量,,EB EC ES uu r uu u r uu r分别为,,z x y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则()()(),,,,,,,,,,,S B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭330012********* ()(),,,,,,,,SB SC CD ⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭3332010231022uu r uu r uu u r设平面SBC 的法向量(),,n x y z =1u rz x x z n SB y z n SC y z ⎧=⎪⎧-=⎧⋅=⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨-=⎪⋅=⎩⎪⎪⎩=⎪⎩112002230306u r uu r ur uu r ，不妨令z =6，则(),,,,x y n ===133336u r设平面SDC 的法向量(),,n x y z =2u rn CD x y x y z y n SC y z ⎧⎧⎧⋅==---=⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩-=⎩2233303022230230u r uu u r u r uu r， 不妨令y =1，则(),z ,,,x n =-==-23233123u r+cos =n n n n θ⋅-+∴==⋅⋅121233312358434u r u r u r u r ∴二面角B SC D --平面角的余弦值为58. 22. 解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分。

2020-2021学年高一下学期期末考试 数学试题试题说明：本试卷满分150分，答题时间120分钟第一卷：选择题部分一选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知向量(,2),(3,4)a b λ=-=，且//a b ，则λ的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．23D ．32-2.设复数102z i=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．2 B ．2i C ．2- D ．2i -3.由于疫情期间大多数上上课，某校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用按比例分配的分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高三年级的人数为( ) A. 800 B. 750 C. 700 D. 6504. 在ABC 中，点M 满足2BM MC =，则（ ）A. 1233AM AB AC =+ B. 2313AM AB AC =+ C. 1233AM AB AC =- D. 2313AM AB AC =-5.已知m ，n ，l 是三条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的（ ） A ．若n ⊂α，l α⊂，m n ⊥，m l ⊥，则m α⊥ B ．若//m α，n β⊥，//αβ，则m n ⊥ C ．若m n ⊥，n l ⊥，l β⊥，则m β⊥D ．若//m l ，//l α，则//m α6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．恰好有一个黑球与都是红球 C ．至少有一个黑球与都是红球 D ．恰好有两个黑球与至少一个红球7. 已知一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的侧面积与底面积的比值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．138. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，△ABC 的面积332S =，那么a 等于（ ） A. 17B. 7C. 7D. 179.某班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩,6名男生的成绩分别为86分,94分,88分,92分,90分,90分,4名女生的成绩分别为90分,93分,93分,88分,则下列说法不正确的有 A.这种抽样方法是按比例分配的分层抽样B.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数C.这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差D.抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04分210.一块边长为10cm 的正方形铁片如图所示，将它的阴影部 分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个 正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积 A2894π B28916π C 28948π D28964π 11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．12.给出下列四个命题：（1）一个圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的体积为 2π； （2）若样本数据1x ，2x ，，10x 标准差为2，则数据121x -，221x -，，1021x - 的方差为16；.（3）若ABC △中，π3A =，2AB =，若满足上述条件的三角形有两个，则BC 边的范围是()3,2.（4）设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影向量为12e其中你认为正确的个数是； A.1 B. 2 C.3D. 4第二卷：非选择题部分二．填空题：（共4个小题，每题5分，满分20分）13一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球，则第一次摸到红球的概率________； 14.已知复数z 满足(1)13i z i i +=⋅-，则复数z 对应的点在复平面的第________象限； 15. 如图，小明为了测量楼前穿天杨树的高度，他在正西方向选取 与穿天杨树根部C 在同水平面的A ，B 两点，在A 点测得树根部C 在西偏北30︒的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏 北75︒的方向上，树梢D 的仰角为30︒，则该穿天杨树的高度 为__________米；16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、F 、G 分别为棱AB 、1AA 、11C D 的中点，则下列结论中（1）过E 、F 、G 三点作正方体的截面，所得截面面积为3341112B D DB 0B C ︒（）与平面所成的角为：6； （3）异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22（4）四面体11A CB D -的体积等于12；其中正确的结论________；三．解答题：（本题共6道大题，共70分，解答题要求写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17.（满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a =2，cosB =35． （1）若b =4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC =4，求b 、c 的值．18.（满分12分）为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数；（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分? 19．（满分12分）我校举行爱我中华的诗词大赛，经过层层选拔，最后决赛在甲、乙两个代表队之间进行，每个代表队由10名队员组成，其得分情况如下：甲队 91 84 93 85 95 88 85 87 86 86 乙队87928684958589888688（1）计算甲、乙两个代表队的方差，说明哪个代表队的成绩更稳定；（2）如果以成绩不低于90分的队员为优秀选手，从两个代表队中的优秀选手中任选2人决出最佳选手，则这两人来自不同代表队的概率是多少？20.（满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD= 60∘，AB=2，PD=√6，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．(Ⅰ)证明：平面EAC⊥平面PBD；(Ⅱ)若PD//平面EAC，求三棱锥P−EAD的体积．21.（满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若满足：cos(cos3sin)cos0C A A B++=．（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且AD=√3，求a+2c的取值范围．22. （满分12分）如图1，平面四边形ABCD中，AB=AC=√2，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D−ABC．(1)证明：平面ADE⊥平面BCD；(2)已知直线DE与平面ABC所成的角为π，求二面角A−BD−C的余弦值．4数学试题参考答案：一选择题：DCDA BBAC BADC 二．填空题： 13、25； 14、 一 ； 15、2063 ； 16、（1）（3）三．解答题：17.解：(1)∵cosB =35>0，且0<B <π，∴sinB =√1−cos 2B =45 ， 由正弦定理得asinA =bsinB ， ∴sinA =asinB b=2×454=25. (2)∵S △ABC =12acsinB =4， ∴12×2×c ×45=4， ∴c =5.由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∴b =√a 2+c 2−2accosB =√22+52−2×2×5×35=√17．18.解：（1）0.25 图中长方形高度0.025 （2）由图知，众数为：75和85平均数为：450.10550.15650.2750.25850.25950.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）因为分数在[80,90)内的频率为0.25，[)90,100内的频率为0.05， 而0.0510%(0.250.05)<<+所以得分前10%的分界点应在80至90之间． 设所求的分界点为90x -，则0.0250.0051010%x +⨯=，解得2x = 所以得分前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需要88分．19. .解：（1）9184868810x +++==甲，8792888810x +++==乙，()21916259490914412.610s =+++++++++=甲， ()2111641649910401010s =+++++++++=乙，因为22s s >甲乙，所以乙队成绩更稳定.…….................................（2由表可知，甲队有3个优秀选手，分别记为A ，B ，C ，乙队中有两个优秀选手，分别记为a ，b .则从这5人中任选两人，有(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b ，共10种彼此互斥的选取方法，且每种选法都是等可能的，其中两人来自不同代表队的方法有(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，共6种， 所以两人来自不同代表队的概率63105P ==.20解(Ⅰ)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PD ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又∵PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD ．而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ．(Ⅱ)解：∵PD//平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD =OE ，PD ⊂平面PBD ， ∴PD//OE ，∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点． 取AD 中点H ，连接BH ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°， ∴BH ⊥AD ，又∵PD ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴BH ⊥PD ，又∵AD ∩PD =D ，AD 、PD ⊂平面PAD ， ∴BH ⊥平面PAD ， BH =√32AB =√3．∴V P−EAD =V E−PAD =12V B−PAD=12×13×S △PAD ×BH =16×12×2×√6×√3=√22．21.解：(1)由题意得−cos(A +B)+cosAcosB +√3sinAcosB =0，化简得sinAsinB +√3sinAcosB =0． ∵sinA ≠0，∴sinB +√3cosB =0．∴tanB =−√3,又B ∈(0,π)，∴B =2π3．(2)设∠BAD =θ， 则△ABD 中，由B =2π3可知θ∈(0,π3)， 由正弦定理及AD =√3，可得BDsinθ=ABsin(π3−θ)=ADsin2π3=2，所以a2=2sinθ,c=2sin(π3−θ)∴a+2c=4sinθ+4sin(π3−θ)=4(12sinθ+√32cosθ)=4sin(θ+π3)．由θ∈(0,π3)，可知，θ+π3∈(π3,2π3)，∴sin(θ+π3)∈(√32,1],∴a+2c∈(2√3,4]22. (1)证明：在三棱锥D−ABC中，因为CD⊥BC，CD⊥AC，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，所以AE⊥CD，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，又BC∩CD=C，BC，CD⊂平面BCD，所以AE⊥平面BCD，又AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCD；(2)由(1)可知∠DEC即为直线DE与平面ABC所成的角，所以∠DEC=π4，故CD=CE=1；由(1)知AE⊥平面BCD，过E作EH⊥BD于H，连接AH，∵AE⊥BD，AE∩EH=E，AE，EH⊂面AEH，∴BD⊥面AEH，可知AH⊥BD，故∠AHE为二面角A−DB−C的平面角．由△BHE∼△BCD，得BEBD =EHCD，即1√5=EH1，得EH=√55，所以AH=√305，故cos∠AHE=EHAH=√66，所以二面角A−DB−C的余弦值为√66．。