1.2.1_几个常用函数的导数

x
x
x
x x x x x x

x x x x

1
,
x x x
所以y lim y lim
x x0
x0
1 x x
1. x 2x
探究点2 基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c(c为常数),则 f ' (x) = 0 ； （2）若f(x)=xa (a∈Q*),则 f ' (x) = x1 ； （3）若f(x)=sin x,则 f ' (x) = cos x ； （4）若f(x)= cos x,则 f ' (x) = -sin x ； （5）若f(x)=ax,则 f ' (x) = axln a ；
（6）若f(x)=ex,则f′(x)=__e__x_;
1 （7）若f(x)=logax,则f′(x)=__x_l_n_a__;
1 （8）若f(x)=ln x,则f ′(x)=___x___.
解：由导数公式：p '(t) 1.05t ln1.05 所以p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
【总结提升】
(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法， 但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以 简化求导过程，降低运算难度． (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特 征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构 进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利 用幂函数的求导公式求导．
【总结提升】
(3) f ( x) ex x,则f '( x)等于 _e_x_+__1_;
f（' 1）等于 _e__+_1__
(4)曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于__3__．

§1.2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)一、基础过关1． 下列结论中正确的个数为 ( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0B ．1C ．2D ．32． 过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 3． 已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 ( )A ．4B ．－4C ．5D ．－54． 函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5． 若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( ) A ．64B ．32C ．16D ．8 6． 若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7． 曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______． 二、能力提升8． 已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 9． 直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 10．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．A6．10ln 107．－348．D9．ln 2－110．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′ ＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1 ＝－4x －5＝－4x5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1 ＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .11．解 ∵y ＝3x 2， ∴y ′＝(3x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23′＝23x －13， ∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13. 即在点P (8,4)处的切线的斜率为13. ∴适合题意的直线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x－y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。

【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理 2
基本初等函数的导数公式
阅读教材 P17，完成下列问题． 原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ (x＞0，μ≠0 且 μ∈Q) y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ex 导函数 y′＝________ y′＝________，n 为正整数 y′＝________，μ 为有理数 y′＝________ y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x
【答案】 0 nx cos x －sin x
n－1
y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝________
μx
μ－1
a ln a e
x
x
1 1 xln a x
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′＝－x3； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x π 2 (2)求函数 f(x)＝cos x 在 ， 处的导数． 4 2 1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－ ， 3 4 x 3 x
质点的运动方程是 s＝sin t， π (1)求质点在 t＝3时的速度； (2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求 s′(t)，再求
π s′3.
(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数，故先求 v(t)，再求导．

解 1 y′＝xln 10.
解答
(5)y＝5x；
解 y′＝5xln 5.
π (6)y＝cos(2－x). π 解 ∵y＝cos(2－x)＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
解答
反思与感悟
若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化
简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.
1 －x2 ＝
知识点二 y＝f(x) y＝c y＝xn(n∈N＋)
基本初等函数的导数公式表 y′＝f′(x) y′＝_ 0 y′＝ nxn－1 ，n为正整数 y′＝ μxμ－1 ，μ为有理数 y′＝_______ axln a 1 y′＝_______ xln a cos x y′＝______ －sin x y′＝________
即 12 3x＋18y－2 3π－9＝0.
1 2 3 4 5
解答
5.求下列函数的导数.
(1)y＝( x ＋1)( x －1)＋1；
解 ∵y＝x3，∴y′＝3x2.
3 2
3 2
x x2 (2)y＝(cos 2＋sin 2) －1；
解 x x ∵y＝cos 2＋sin 2＋2sin 2cos 2－1＝sin x，
1 (2)函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝ ，当a＝e时， xln a 上述公式就变为(ln x)′＝ 1 ，即f(x)＝ln x是f(x)＝logax当a＝e时的特 x 殊情况.类似地，还有f(x)＝ax，当a＝e时，(ex)′＝ex.
题型探究
类型一
利用导数公式求函数的导数
解析
答案
当堂训练
1.下列函数求导运算正确的个数为 ①(3 )′＝3 log3e；