初中数学的基础13种应用题型讲解 一元一次方程应用考试题型大全 1、工程问题 列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。 列方程解应用题的一般步骤（解题思路） （1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． （2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数． （3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位） 【典例探究】 例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？ 解析：首先设甲乙合作的时间是x分钟，根据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：
【方法突破】 工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间 需要注意的是：工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。 2、比赛计分问题 【典例探究】 例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。 解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是 3x-（45-x）=103 4x=148 解得x=37 则45-x=8
初中数学教学疑难问题 问题一：关于计算器的使用 数学能力的培养很重要的一个方面就是运算能力的培养。但在七上就开始学习了计算器的使用，很多同学对有理数的运算和后面的实数的运算就都使用计算器来进行，这对学生运算能力的培养有很大的负面影响，很多学生有的连简单的加减乘除都使用计算器，但是实数的很多运算不使用计算器，又得不出答案，那么在什么情况下使用计算器，什么情况下不准使用计算器呢？这一点老师很难把握。计算器的使用给学生运算能力的提高产生很大的负面影响，而在七上就使用计算器，是不是学生手头的运算能力有小学的水平就可以了？(潘树峰提供) 问题二：关于合作学习 合作学习是新课标倡导的学习方式之一，能充分体现教学民主，培养学生的合作意识和交流能力，因此被越来越多的老师引入课堂。但是，有些内容过于简单，不需要合作学习学生也能回答，书本把它作为合作学习的内容，那么合作学习还有必要吗？还有合作学习跟小组讨论有什么区别呢？另外，在“小组学习”中还会遇到一些问题，如：有些学生就是不配合，合作讨论时乘机讲话，提不出什么问题，解决不了问题，形式上几个同学围在一起讨论很热闹，但实际上课堂中缺乏有效的交往和互动。教师该如何调动他们参与的积极性呢？教师对活动如何进行有效的监控和及时引导呢？在汇报讨论结果时，优秀学生的想法和意见往往代替了组内其他同学的意见，而那些性格内向、胆子较小或学习落后的学生发言的机会较少，这样会造成两极分化。还有在合作的时间上也很难把握，有的问题展开讨论需要很长时间，草草收场，达不到所需要的效果，时间过长又怕影响上课内容与任务完不成，那么该怎样来控制合作讨论的时间呢？(潘树峰提供) 问题三：课本例题怎么用？ 课本例题一般没有思路分析过程，解题步骤也是比较精练的，需要教师作进一步的剖析，所以我会让学生自己先阅读，同时把题目抄到黑板上，再进行深入分析。但遗憾的是我发现，有很多学生并没有认真听我的思路分析并回答我的提问，而是有口无心的照搬照读课本，甚至答非所问。还有些学生因为能看懂，索性不听。所以难以达到《数学教学建议》中提到例题教学要求。（关注过程，促进内化：在例题教学中，让学生参与分析题意寻求解体题思路的过程，体验分析解决问题的方法。）(潘树峰提供) 问题四：如何解决教学内容增多与课时不足的矛盾？
一、填空题： 1．一个正数a的平方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________． 2．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．3．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 4．0.25的算术平方根是________． 5．9的算术平方根是________，的算术平方根是________． 6．36的平方根是________，若，则x＝________． 7．的平方根是________，的平方根是________，的算术平方根是________．8．81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是 ________，平方根的倒数是________，平方根的绝对值是________．9．，则x＝________． 10．当 a________时，有意义． 二、判断并加以说明． 1．3 的平方是9；（） 2．1的平方根是1；（） 3．0的平方根是0；（） 4．无理数就是带根号的数；（） 5．的平方根是；（） 6．是25的一个平方根；（） 7．正数的平方根比它的平方小；（） 8．除零外，任何数都有两个平方根；（） 9．的平方根是；（） 10．没有平方根；（）
11．零是最小的实数；（） 12．23是的算术平方根．（） 三、选择题： 1．下列说法正确的是（）． A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的平方根是 2．在四个数0，，2，中，有平方根的是（）． A．0与 B．0，与 C．0与 D．0，2与 3．若，则x为（）． A．1 B． C． D． 4．的平方根是（）． A．3 B． C．9 D． 5．的算术平方根是（）． A．16 B． C．4 D． 6．如果有意义，则x的取值范围是（）． A．x≥0 B．x＞0 C．x＞ D．x≥ 7．如果一个自然数的平方根是(a≥0)，则下一个自然数的平方根为（）．A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（）． A．是7的一个平方根 B．11的平方根是 C．如果x有算术平方根，则x＞0 D． 9．计算的平方根，下列表达式正确的是（）． A． B． C． D．
浅谈初中数学课堂中的例题讲解 数学是一门理性的科学，对于学生和教师来讲都在一种共同的感觉就是枯燥，主要体现在讲起来很枯燥，他不像文科那样，可以在教学中穿插很多丰富的文学知识，让人感到津津有味。又特别是我们的初中数学教科书上，我们在教学新课时主要就是在讲例题，而书上的例题，分析、解题过程都是给我们编排好的，那么在这种情况下，稍不注意我们的讲解就是照本宣科，教学起来就让人感学平淡无味，没有任何的新颖感。在本文中，我将结合平时的教学实际，就如何提高例题讲解的有效性，谈谈自己的几点看法 一、讲解出学生的需求 出示例题后，我们既不能原原本本的读教材，也不能只沿着自己的思路在讲解，一个个条件分析，直至得出结果。这种讲解看似讲得很流畅，毫无节外生枝，未丝毫浪费时间，但学生听得很乏味，往往会出现会做的地方不想听，想听的地方没听到。 例题的讲解不仅仅是要让学生知道结果，更重要的是教师要在学生感到“山穷水尽疑无路”的时候，让学生看到前面“柳暗花明又一村”，并让他们找到到达“那一村的方法。所以，在讲解例题前，要让学生自己读题、审题，此后教师应对学生解题情况作相应的了解，针对学生的需求进行讲解，让学生在努力学习的过程中实现学习目标，同时在学习中获得成功的欢乐。 例1．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的
图象上，PC⊥x轴于点C，交图象于点A，PD⊥y轴于点D，交图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 本题学生的困惑是：P点是一动点，随着P点的移动矩形OCPD、△BOD、△AOC的形状发生变化，如何寻求面积之间关系 讲解这道题，教师可设置下列问题作铺垫： ①过反比例函数上的任意一点P向X轴、Y轴作垂线与X轴、Y 轴围成矩形的面积变化情况？ ②不规则图形面积的求法？如何将不规则图形的面积转化成规则图形的面积？ 教者通过不断创设适当的问题情境，激发学生的思维，从而培养他们的数学思维能力和勇于探索的精神。 二、讲透题目的本质 例题是数学知识的载体,它集知识性、典型性、探索性于一身,更是学生学习数学知识的范例。例题的讲解，不能就题讲题，要充分挖掘这道习题的功能，通过讲解例题，讲清这种类型题目的本质。当学生通过自己的学习有所收获体会到成功感时，教师要及时把握培养学生
初中数学教案问题调查报告 ——从学案设计中体会教案 国际中学于晶 我校在进行生命化课题研究的过程中，对各备课组也提出了要有自己小课题的要求，当时我们备课组主要着眼点是研究如何利用学案指导学生进行学习，当时采用这一课题的思路是希望以“学案导学”来带动教师的教案方式的转变、帮助学生完成学习方式的改变这样的一种教改思路。学案主要呈现的是学生在自主学习、小组合作、交流展示中所要完成的教案内容，这也是依照生命化课堂三分之一教案模式的标准去落实的。随着活动的开展，我们的教案也在悄悄的发生着变化，走入每位老师的课堂，审视每位老师的学案设计，各有各的特点，但凸现的问题也是整个教案层面上普遍存在的现象。下面我就以一篇学案开始来谈谈自己的看法，以供同仁商榷。 课堂诊断《一次函数图象》 ——课堂中的问题设置的思考 一、自主探究 自学课本P104页—105页做一做以上的部分，回答下列问题。 1、函数图像的定义：(在书上找出来> 作函数图象的一般步骤是： 2、所列表格中x的值是任意取的吗？y的值是如何得到的，表 格中的省略号表示什么意思？ 3、描点：是以作为点的坐标 4、连线得到的函数图象有什么特点？ 评：这里的解决方式是让学生自己看书，进行自主学习，把答案写在工作单中，然后由学生口答所写答案，我想学生照书机
械的记下来会在脑子里留下多深的痕迹呢？另外他写下来说出来他就会了吗？ 二、学以致用： 1、运用所学步骤作出一次函数y=-x+1的图象。 <1） <2） <3） 2、在所作的图象上取几个点，找出 它们的横坐标和纵坐标，并验证 它们是否都满足关系式y=-x+1？ 评：绘制图像时采用了电脑屏幕演示画法， 与黑板演示画法PK，我觉得丢了原生态的东 西。 3、思考： (1>、满足关系式y=-x+1的x、y所对应的
232-2 -11-11O x y （第7题） （第 4题） O x P · 1 2 1 -1 1 y -1 1 -2 2 2 -2 2 3 3 选择题 1．|2|-等于 （ ） A ．2 B ．2- C ． 2 1 D ．2 1- 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （ ） A ．1、1、2 B ．3、4、5 C ．1、4、6 D ．2、3、7 3．下列计算正确的是 （ ） A ．331-=- B ．632a a a =? C ．1)1(2 2 +=+x x D ．22223=- 4．如图，在平面直角坐标系中，点P （-1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ） A ．（2，2） B ．（ -4，2） C ．（-1，5） D ．（-1，-1） 5．一个多边形的内角和是900?，则这个多边形的边数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．若? ? ?==21 y x 是关于x ，y 的二元一次方程13=-y ax 的解，则a 的值为（ ） A ．-5 B ．-1 C ．2 D ．7 7．如图，关于抛物线2)1(2 --=x y ，下列说法错误的是（ ） A ．顶点坐标为（1，-2） B ．对称轴是直线x =1 C ．开口方向向上 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 8．如上右图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表 面上，与 汉字“美”相对的面上的汉字是 （ ） A ．我 B ．爱 C ．长 D ．沙 9．谢老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图， 根据图中给出的信息，这次考试成绩达到A 等级的人数占总人数的 （ ）
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
一、教材分析 1．教材的地位和作用： 定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节。而作为本章节的第一课时,为学生在本章节中更好的开展学习起着至关重要的作用。 2．学情分析：本节课针对的是八年级下学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但从数学知识的产生和发展的角度来学习和理解数学中最基本的概念,对学生来说也是第一次,在教学设计上要考虑学生对知识的可接受程度。另外,上课学校是一所知名学校,学生在学习上,应该具备一定的能力和水平,通过努力应该可以达到相应的教学要求。 二、教学目标 知识技能目标： 了解定义的含义,了解命题的含义,掌握区分命题的条件和结论,会将一些命题改写为“如果…,那么…”的形式。 过程与方法目标： 学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性。同时对命题的含义有初步的体验。体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性。 情感、态度与价值观目标： 通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与和活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度。三、教学重点、难点 1．教学重点：命题的概念。 2．教学难点：命题的结构认识和改写。 四、教法与教具选择 1．教学方法：启发式教学。 2．教具选择：多媒体、其他教具。
五、教学过程 教学 环节 教学程序师生互动设计意图创设 情境“硬广告”的问题 引导学生参与 课堂交流 使学生感受到为了 进行有效的交流必 须引入定义。 新课 定义 1．定义的含义 一般地,能清楚地规定某一名称 或术语的意义的句子叫做该名称或术 语的定义。 定义的核心功能是能清楚地规定 名称和术语的意义。 2．对定义的强化巩固 （1）举出几个数学中的定义； （2）举出其他学科名称的定义。 3．如何定义 观察下列多项式的特征．给以名称,并 作出定义： x2–2x–1 2x2+3x+1 x2–2xy+2y2 4a2–4ab+b2 4．定义的价值 例题：校园中,并不令人在意的教室墙 角,却让我产生了兴趣。 问题1：按我们的生活经验,墙角的线 AO与BO 问题2：如何判断（验证）垂直？ 强调定义 的功能。 学生自由发言, 组织学生评价, 捕捉学生反馈 的信息,适时地 引导学生感受 数学定义的严 密性和简洁性 等。 师生交流，老师 引导，强调“次、 项”。 与学生交流，教 师归纳。 教给学生获取知识 的方法和途径,让学 生的学习可持续发 展。 从定义出发来判断, 解决问题．既体现定 义的价值,有可作为 定义到命题的情境 过渡。 从定义出发思考问 题的解决。 引例：比较下列句子在表述形式上,哪 些对事情作了判断？哪些没有对事情 作出判断？ （1）鸟是动物。学生自主完成。 突出语句的判断功 能。 针对学生在命题理A
初中数学有理数经典测试题含答案 一、选择题 1．下面说法正确的是( ) A ．1是最小的自然数； B ．正分数、0、负分数统称分数 C ．绝对值最小的数是0； D ．任何有理数都有倒数 【答案】C 【解析】 【分析】 0是最小的自然数，属于整数，没有倒数，在解题过程中，需要关注 【详解】 最小的自然是为0，A 错误； 0是整数，B 错误； 任何一个数的绝对值都是非负的，故绝对值最小为0，C 正确； 0无倒数，D 错误 【点睛】 本题是有理数概念的考查，主要需要注意0的特殊存在 2．若a 为有理数，且|a |＝2，那么a 是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．2或﹣2 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用绝对值的代数意义求出a 的值即可． 【详解】 若a 为有理数，且|a|＝2，那么a 是2或﹣2， 故选C ． 【点睛】 此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 3．已知a b >，下列结论正确的是（ ） A ．22a b -<- B ．a b > C ．22a b -<- D ．22a b > 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用不等式的性质分别判断得出答案． 【详解】 A. ∵a>b ，∴a ?2>b ?2，故此选项错误； B. ∵a>b ，∴|a|与|b|无法确定大小关系，故此选项错误；
C.∵a>b ，∴?2ab,∴a 2与b 2无法确定大小关系，故此选项错误； 故选：C. 【点睛】 此题考查绝对值，不等式的性质，解题关键在于掌握各性质定义. 4．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．1a b << B ．11b <-< C ．1a b << D ．1b a -<<- 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据数轴的特征，判断出a 、-1、0、1、b 的大小关系；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，逐一判断每个选项的正确性即可． 【详解】 解：根据实数a ，b 在数轴上的位置，可得 a ＜-1＜0＜1＜ b ， ∵1＜|a|＜|b|， ∴选项A 错误； ∵1＜-a ＜b ， ∴选项B 正确； ∵1＜|a|＜|b|， ∴选项C 正确； ∵-b ＜a ＜-1， ∴选项D 正确． 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了实数与数轴，实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 5．下列四个数中，是正整数的是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．12 【答案】C 【解析】
第一讲：实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=
第 1 页 共 14 页 4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B
第 2 页 共 14 页 P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B
初中数学教学中典型的最迫切需要解决的教学问题 ------课堂教学中的“改革”与“创新” 昆明实验中学杜晓峰 新课改背景下，给数学教师的课堂教学带来了前所未有的挑战，“改革”成为现代教育的热门话题。从何处变革怎么变革这是每个教师最关心的。“创新”是变革之魂，创新教育的基本要求是个性化、自主性、探索性、开放性、民主性、实践性、启发性的对于一线的教师而言，换句话说，就是要激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 针对教师们在贯彻党的新课改教育方针中存在的问题，结合自己在一线从教28年的工作心得，本人拟就数学教学中教师们最需要考虑的问题及其解决策略提提自己的看法。 一、关注教学的实效性，提高教学质量 任何有生命力的改革都是在前人基础上的创新，不是对旧有经验的全盘否认，而是扬弃的过程。经过对课改的冷思考，教育界从上至下已达成共识：轰轰烈烈的课改，必须坚持“质量是教学的生命线，是教育教学永恒不变的主题”的宗旨，即要讲求教学的实效性。 有专家提出，新课程的课堂评价指标是：①能否营造一种激发学生学习热情的氛围;②目标是否明确清晰；③师生精神是否饱满；④榜样树立是否有代表性；⑤思路是否宽广。 教材新，教法新，评价指标新，呼唤教师必须更新思想头脑、更新知识体系、更新工作观念。一本教科书一根教鞭传承文明的教学已不符合时代的节拍，知识的
局限性、视野的狭窄让很多教师苦于“巧妇难为无米之炊”，既要中看又要中用的好课需要教师在课前做好充分准备，在课后做好冷静的反思。我认为，钻研和解读教材是教师永远的基本功。具体如下： 1.狠抓备课关，不打无准备之仗。 在备课时要努力做到：一看，除了看教科书外，还要研究课标、参看相关教辅资料等，拓宽教学内容的覆盖面，教学中，广闻才能博引，要用新意吸引学生的眼球；二划，在教科书上划出重、难点，对教材的把握做到心中有数；三谈，与同年级教师交谈教法、困惑，实现同伴互助；四记，熟记教学提纲和脉络，杜绝照本宣科教学，杜绝教条主义；五改，在往年备课的基础上修改，层层提高，省时高效。 2.准备好讲授内容。 包括引入材料、例题与习题的精选、知识规律的总结、备用的格言与故事等。比如有一位教师在教学“倒数”的概念时是这样设计教学引入的：我国的汉字内涵博大精深，“音”字上下颠倒就变成了“昱”字，“显”字上下颠倒就变成了“晋”字……我们数学课中也有如此有趣的现象，比如3/5，以分数线为界，分数线上下的数字颠倒，就变成了另外一个分数5/3,6/7变成7/6等等，像这样的数我们把它叫做倒数。这样引入新课，学生对倒数的结构已经有了感性的认识，案例也很有吸引力。 3.组织好讲课的语言。 包括导语、提问用语、每个内容承上启下的过渡语等。 4.准备好教辅工具。 自己制作教具、图片，或借助远教资源、电化教育手段。 5.调动学生积极主动听课。
初中数学经典题目 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 点E 在BC 上，AE ＝BE ，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD ＝2.7，AF ＝4，AB ＝6，则CE 的长为 A ．2 2 B ．23－1 C ．2.5 D ．2.3 2．如图，在矩形ABCD 中，BC=8，AB=6，经过点B 和点D 的两个动圆均与AC 相切，且与AB 、BC 、AD 、DC 分别交于点G 、H 、E 、F ，则EF+GH 的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．9.6 D ．10 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ， 连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P 。已知tan ∠BPD= 2 1 ，CE=2，则⊿ABC 的周长是 4．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ． （1）当AE =5，P 落在线段CD 上时，PD = ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ． A G B H C F D E A B C D E F
5、如图所示，在ABC ，AB=BC=50，AC=60，点P 在折线AB-BC 方向向点C 运动，是5，点Q 从C 向A 运动，速度为3，当PQC 为等腰三角形时，CQ 的长为 P B A C E Q 6．如图，（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ． 7、四边形ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AB=CD .BA 、CD 的延长线交HG 的延长线于E 、F 。求证：∠BEH=∠CFH . 8、如图3所示，设BP 、CQ 是?A B C 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到 BP 、CQ 的垂线。 求证：KH ∥BC A B Q P H C K P y x y x = 2y O ·
数学天地： 初一年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算：2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆 成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解 原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点 分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求
浅谈初中数学例题教学的策略 李翠霞数学与应用数学2013级 摘要：在数学学习当中，总不乏能把运算公式、运算法则、图像的性质、判定定理等基础知识娓娓道来，但独自去解答问题时却一筹莫展的学生。这一困局的出现大都是在例题学习这一环节掉链子了，因为例题学习起着上承基础知识下接实际运用的重要作用。可见例题教学的质量直接影响学生思维的培养、智力的开发。本文从挑选例题、分析解题思路、示范书写过程、总结规律四个方面来阐述初中数学例题教学的策略。 Abstract：In mathematics study，there is no lack of total can the computing formula ,algorithm , the nature of the image , Theorem on basics such as drawing, But the students to answer questions cannot alone.The emergence of this dilemma is mostly studied in sample this link drop chain, for example learning pick up with the basic knowledge and the important role of practical application. Visible example teaching directly influences the quality of the cultivation of students' thinking, and translation service. In this paper, from the selected sample, analysis of the problem solving thinking, demonstration of the writing process, Summary law from four aspects to elaborate the strategy of junior middle school mathematics teaching examples. 关键词：例题教学，思路，书写过程 Key words：Examples of teaching, train of thought, translations into writing process 1.前言 1.1研究数学例题教学的目的。 数学例题是知识由产生过渡到应用的纽带。恰如其分的例题教学既能够加深学生对新知识的理解，规范学生的解题过程，又能够训练学生的思维，在潜移默化中使学生形成分析问题和解决问题的能力。 1.2研究数学例题教学的意义。 数学例题教学不但有助于学生吸取新的知识，而且还能巩固所学知识，促进学生对基础知识的渗透的理解，明确知识间的联系，基本技能的形成和数学能力的提高。例题教学在数学课堂教学中的作用是极其突出的，为此探寻行之有效的例题教学的方式方法是每一位数学教师义不容辞的职责。
初中数学三角形经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（） A．45°B．30 °C．15°D．60° 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果． 【详解】 解：∵ABCD是长方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAF=60°， ∴∠DAF=30°， ∵长方形ABCD沿AE折叠， ∴△ADE≌△AFE， ∴∠DAE=∠EAF=1 2 ∠DAF=15°． 故选C． 【点睛】 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量． 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求
【详解】 ∵ BD 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠ABD ＝∠EBD . 又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边， ∴ △ABD ≌△EBD (AAS)， ∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ， ∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC ＝AD ＋DC ＋EC ＝AC ＋EC ＝AB ＋EC ＝BE ＋EC ＝BC ＝10 cm. 故选B. 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( ) A ．2cm ，3cm ，5cm B ．7cm ，4cm ，2cm C ．3cm ，4cm ，8cm D ．3cm ，3cm ，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】 A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确． 故选D ． 4．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=?，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=?，则2∠的度数是（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45° 【答案】C
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义