由数学竞赛题引发的思考
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懂 ． 要 真 正 弄 懂 却 需 花 一 番 功 夫 ． 此 但 因 引起 了我 的思 考
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三、 问题思考及解决策略
丽
解 罢 本 题 ． 不 禁 引 起 我 们 的 以 下 思
考：
＝
（ ＋ ｎ２２ｎ＋ ｎ＋ ｎ ３ ） （ ３ ）１ ＋ （＋ｎ １ ｎ ３＋）
四、 实践 与比较
类 比 法 是 根 据 两 类 物 质 之 间 一 些 相
之 积 与 １的 和 ， 么 我 们 不 禁 猜 想 ： 它 那 把 们 换成其 他 的 四个连续 的 整数之 积 与 １
较困难的 ， 又是怎样发现的呢？ 你
似 性 质 ． 而 推 导 出其 他 方 面 也 类 似 的 推 从
（ ＋ ｎＥ２ｎ＋ ｎ＋ … … … （ ） ｎ ３ ） （ ３） １ ２ ＋ 料 （２３ ＋ ） ｎ＋ ｎ １
（ ３ ） ２ｎ＋ ｎ＋ ｎ＋ ｎ ＋ （ ３）１
在解 法 二 中 ．
＝
＝ ６ ９ ２ ２ ２ ６ ＋１ ｎ＋ ｎ＋ ｎ＋ ｎ＋ ｎ
・ ． ．
、 ｎ ＋ ） ＋ ） ＋ ）１＝ ３ ＋ ／ （ １ｎ ２（ ３＋ ｎ＋ ｎ １ ｎ （ “
对 于 以 上 第 一 问 ． 们 可 以 这 样 来 解 理 方 法 。 数 学 教 学 中 运 用 类 比是 一 种 非 我 在 常 重 要 的方 法 。 运 用 比较 辨 别 ， 迪 学 生 启
‘ ．
的 和 ． 不 是 有 什 么 规 律 呢 ？对 于 找 规 律 决 ： 是 的 问 题 ．我 们 往 往 是 从 较 简 单 的 情 形 找
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由数学 竞 赛题 引发 的思 考
李 斌 浙江 省 永嘉 县实验 中学
一
、
问题 的产 生
解 法 二 ： 析 ： 接 从 第 ｎ个 式 子 人 分 直 手 ． 其 能 否 写 成 一个 式 子 的平 方 看
ｌ ｎ＋ ｎ １是 较 容 易 得 到 的 ， 由 ㈩ 式 到 １ ６ ＋ 而 （ ） 是 比较 困难 的 。 但 是 如 果 能 结 合 解 式
．
问题一 ： 计算 、 豇 ／
＝
二、 问题 的具体 求解过程
解法一 ： 析 ： 分 观察 本 题 ， 现 被 开 方 发
数里 面有 四个 连 续 的 整数 相乘 ． 后 加 １ 然 ．
．
、 ｎｎ １ｎ ２（＋ ）１ ／ （＋ ） ＋ ） ３ （ ｎ ＋ ＝ （ ＋ ｎ １ Ｖ＇２３ ＋） ｎ ２
容 易 解 决
（ｚｎ（ ＋ ｎ ６ １ ｎ＋ ） ５ ＋ ） ｎ ＋
以受 到人 们 的普 遍 重 视 ． 由 于 数 学 竞 赛 是
是 青 少 年 科 学 素 质 教 育 的 一 种 不 可 忽 视
＝ ％６ １ ｎ＋ ｎ １ … … … （ ｎ ｎ＋ Ｉ Ｚ６ ＋ … ）
： ４ ６ ９ ２ ２ ６ ＋１ ｎ＋ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ＋ ｎ
： ｚ ３ ＋ｌ ｎ＋ ｎ
（） １ 如何 发 现 解 法 一 中 第 ｎ个 式 子 右
边 的 规 律 。 （ ２ ３ ＋ ） 的 ｎ＋ ｎ ｌ是 如 即 ｎ＋ ｎ １ Ｚ３ ＋
由 于 四个 数 相 乘 后 积 较 大 ． 此 ． 难 发 何 被 发 现 的 ？ 因 较 现结 果 。 为 根 号里 面是 四个 连 续 的整 数 因 （ ） 法 二 中 ， （ 式 到 （ ） 是 比 ２解 由 ） 料 式
‘
Ｏｘｌ ｘ３＋ｌ ｘ２ ＝１
思 维 想 象 ．同 时 可 以 节 约 解 答 问 题 的 时
起 ． 当我 们 写 出几 个 较 简 单 的情 形 后 ． 发
现 确 实 有 规 律可 循 。具 体 解 法 如 下 ：
解 ：‘ｘｌ ２ ３ ＝１ ＝５ ２ ｘ ｘ３ ４ｘ５＋ｌ １ ＿ｌ
ｌ ｘ３ ｘ２ ￣４＋１ ＝５ ２ｘ３ ｘ５＋１ ｌ ｘ４ ＝１
间 。 深 学 生 对 此 类 问 题 的 印 象 ． 加 学 加 增 生 对 数 学 竞 赛 的学 习 兴 趣 。波 利 亚 认 为 ．
类 比就 是 一 种 相 似 ． 比法 是 从 特 殊 到 特 类
由 以 上 几 个 式 子 我 们 猜 想 第 ｎ个 式
数 学 竞 赛 正 以 它 特 有 的魅 力 吸 引 着 千 千万 万 的少 年朋 友 ． 为 现 代 数 学 课 外 成 教育 的一 个 重 要 组 成 部 分 数 学竞 赛 之 所
解 ： （＋ ） ＋ ） ＋ ） １ 。 ｎ １（ ２（ ３＋ ． ｎ ｎ ｎ
＝
法 一 中 的 结 果 ． 行 对 比 ． 现 其 实 也 较 进 发
、３ｘ０ ２ｘ８ ／ １ ３ ｘ ９ ２ ＋ｌ ＝ ８＋ ２ １ ２ ３ｘ ８＋ ＝
的题 却 有 多种 解 法 ． 每 种 解 法 看 上 去 易 而
．
。
ｎ ＋ ｎ ＋１ ｎ ＋ ｎ １ ４６ ２６ ＋ ｌ ＝ ％ ６ ９ ０ ２ ６ ＋１ ｎ ｎ＋ ｎ＋ ｎ＋ ｎ
子 的右 边 也 为某 个 整 数 的 平 方
殊 的 推 理 方 法 。由类 比得 到 的猜 想 称 为类
又 ‘ 左 边 式 子 为 ｎｎ １ ＋ ） ＋ ）１ ． ‘ （＋ （ ２（ ３＋ ｎ ｎ
若 设 ｎ＋ ｎ ａ ２３ ＝
比猜 想 。在 数 学 教 学 中类 比法 的 作 用 也俯
希 全 且 ｎｎ ３ ｎ＋ ｎ （＋ ） ＋ ）ｎ＋ ｎ ２ 拾 即 是 。第 十 七 界 “ 望 杯 ” 国 数 学 邀请 （＋ ） Ｅ３ ｎ １（ ２＝ ３＋ ＝ ｎ
＝
由解法一知 ：
ｎｎ １（＋ ） ＋ ）１ （＋ ） ２（ ３＋ ｎ ｎ
＝
的 方 式 ， 发 现 人 才 、 拔 人 才 、 养 人 才 是 选 培 的 一 种有 效途 径 。 在 《 课 标 数 学 竞 赛 阶 新
梯 训 练 》 有 一 道 计 算 题 ． 上 去 比 较 难 中 看
’ ． ．
