苏教版七年级数学十字相乘法

教学目标： 1.了解十字相乘法的依据 2.掌握十字相乘法分解的多项式特征 3、掌握十字相乘法的符号规律 教学重难点： 1.用十字相乘法分解二次项系数不为0的二次三项式 2、分解形如x2-- 5xy+6y2 新授课内容:

【知识要点梳理】 1．二次三项式

多项式cbxax2，称为字母x的二次三项式，其中2ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，322xx和652xx都是关于x的二次三项式．

在多项式2286yxyx中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式37222abba中，把ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)多项式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式qpxx2，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式))(()(2bxaxabxbax

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,ccaa，使aaa21，ccc21，且bcaca1221，

那么cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．

用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：

)45)(2(86522xxyxyx （使交叉相乘再相加后的和等于一次项系数，在横向写出积的形式。） 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

1) 将常数项分解成两个因数积的形式。 2) 确定和为一次项系数的两个因数。 3) 把这个多项式写成积形式。 【典型例题讲解】 题型一：二次项系数为1的简单分解 例题： X2+2X—15 点播：常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；

解： )5)(3(1522xxxx 小试牛刀：X2—2X—15

题型二：2265yxyx型 这类问题可以把y当做常数项，然后可以看成关于x的二次三项式，利用十字相乘法即可分解 例题：2265yxyx

点播：将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项26y可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．

解：)3)(2(6522yxyxyxyx 小试牛刀：x2-3xy+2y2 题型三：cbxax2（a不为1）型 例题：3522xx 点播：我们要把多项式cbxax2分解成形如))((2211caxcax的形式，这里aaa21，ccc21而bcaca1221．

2 X 1 解：)3)(12(3522xxxx； 1X —3 注：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

小试牛刀：分解因式3832xx

【专项训练】 1、因式分解ａ２＋５ａ－６的结果为 （ ） A、（ａ＋２）（ａ－３） Ｂ、（ａ－２）（ａ＋３） Ｃ、（ａ＋６）（ａ－１） Ｄ、（ａ＋１）（ａ－６） ２、多项式x２－４x＋ｍ可以分解为（X+3）（X—7），则m的值为 （ ） A、3 B、-3 C、-21 D、21 3、因式分解5x2-14xy+8y2正确的是 （ ） A（５ｘ－ｙ）（ｘ－８ｙ） B（５ｘ－８ｙ）（ｘ－ｙ） Ｃ（５ｘ－２ｙ）（ｘ－４ｙ） Ｄ（５ｘ－４ｙ）（ｘ－２ｙ）

４、如果))((2bxaxqpxx，那么p等于 ( ) A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b) ５．如果305)(22xxbxbax，则b为 ( ) A．5 B．－6 C．－5 D．6 ６．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( ) A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 ７．不能用十字相乘法分解的是 ( )

A．22xx B．xxx310322 C．242xx D．22865yxyx ８．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( )

A．20)(13)(22yxyx B．20)(13)22(2yxyx

C．20)(13)(22yxyx D．20)(9)(22yxyx ９．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( ) ①672xx； ②1232xx； ③652xx；

④9542xx； ⑤823152xx； ⑥121124xx A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 １０．1032xx___ ______．

１１．652mm(m＋a)(m＋b)． a＝__ ________，b＝____ __ ____． １２．3522xx(x－3)(___ _______)． 1３．2x_ ___22y(x－y)(_____ _____)． 1４．22____)(____(_____)amna． 1５．把下列各式分解因式： 2522xx 3832xx 20322xx

6732xx ｘ２－４ｘｙ－９６ｙ２

【拓展提高】 １、已知ｍ＋ｎ＝－４，ｍｎ＝５，求关于ｘ的二次三项式ｘ２－ｍｎｘ－ｍ－ｎ 因式分解的结果。

２、已知多项式６ｘ２＋ａｘ＋６＝（３ｘ－２）（ｂｘ＋ｃ），求ａ，ｂ，ｃ 的值。

３．分解因式： ２ｘ４＋５Ｘ２－７ （ｘ２＋ｘ）－８（ｘ２＋ｘ）＋１２

课后作业： 一. 填空题： 1. 2832xx（ ）（ ）

2. 22352yxyx)7(yx（ ） 3. 22144320yxyx)74(yx（ ） 4. 519182xx（ ）（12x） 5. 6113522mnnm－（ ）（ ） 6. 235116aa（ ）（ ） 7. 652xkx（23x）（ ）k 8. )25)(74(14432yxyxyxym，则m 9. )5)(74(43202nxyxmxyx，则m ，n 10. 分解因式16)3(8)3(2242xxxx 。

二. 选择题： 1. 16102xx分解因式为（ ）

A. )8)(2(xx B. )8)(2(xx C. )8)(2(xx D. )8)(2(xx 2. 223013yxyx分解为（ ） A. )10)(3(yxyx B. )2)(15(yxyx C. )3)(10(yxyx D. )2)(15(yxyx 3. 把352962xx分解因式为（ ） A. )53)(72(xx B. )52)(73(xx C. )52)(73(xx D. )53)(72(xx 4. 把22244nmnmx分解因式为（ ） A. )2)(2(nmxnmx B. )2)(2(nmxnmx C. )2)(2(nmxnmx D. )2)(2(nmxnmx 5. 在下列二次三项式中，不是pqxqpx)(2型式子的是（ ） A. 20122xx B. 10092xx C. 14132xx D. 5292xx

三. 解答题： 1. 将下列各式因式分解。

（1）652xx （2）302xx （3）144302xx

2. 将下列各式因式分解。 （1）171824mm （2）42242073yyxx （3）xxx8235