十字相乘法

十字相乘法的运算技巧十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。

“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q++【2()x a b x ab+++】的因式分解：即：一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b+++=++．这就是说，对于二次三项式2x Px q++，若能找到两个数a、b，使,, a b p a b q+=⎧⎨⋅=⎩则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b++=+++=++．（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个．．．．．．．．数的积，且其和等于一次项系数，．．．．．．．．．．．．．．．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。

）对于首项系数不是1的二次三项式：十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。

一、十字相乘法的特点：1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。

②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

二、十字相乘法的应用举例：例1. 十字相乘法的图解及待定系数已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：8-5=3=-m解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20∴-m=3m=-3（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西——像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？)再如例2：把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）请观察比较例题中的各题，你能发现把常数q分解成两个整数a、b之积时的符号规律吗？⑴若q＞0，则a、b同号．当p＞0时a、b同为正，当p＜0时a、b同为负．⑵若q＜0，则a、b异号．当p＞0时a、b中的正数绝对值较大，当p＜0时a、b中的负数绝对值较大．⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解．例3、因式分解与系数的关系若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )A.5个B.6个C.8个D.4个分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n 为整数)因为16=2×8，16=(-2)×(-8)16=4×4，16=(-4)×(-4)16=1×16，16=(-1)×(-16)所以k=±10，±8，±16答案：B(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大) 例4.分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例5.换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.再如、例6、把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)例6.因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12求：x2+y2的值解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。

十字相乘法的解法1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为 1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

相乘法十字相乘法
（原创实用版）
目录
1.相乘法和十字相乘法的概念
2.相乘法的运算规则
3.十字相乘法的运算规则
4.相乘法和十字相乘法的应用
5.结论
正文
相乘法和十字相乘法是数学中常用的两种乘法方法。

相乘法是指两个数相乘得到一个积，而十字相乘法则是一种特殊的乘法运算，主要用于解线性方程组。

相乘法的运算规则比较简单，就是将两个数相乘得到一个积。

例如，2 乘以 3 等于 6，这就是一个相乘法的运算。

在数学中，相乘法被广泛应用于各种计算和公式中。

十字相乘法则是一种特殊的乘法运算，它主要用于解线性方程组。

十字相乘法的运算规则是，将一个数分成两个数，然后将这两个数分别与另一个数相乘，最后将四个积相加得到一个和。

例如，解方程组 x+3y=6 和2x+4y=10，我们可以使用十字相乘法。

首先，将第一个方程中的 x 分成 2 和 1，然后将 3y 分成 4y 和 y，得到 2y+4y=6，解得 y=1。

接着，将第二个方程中的 2x 分成 x 和 x，将 4y 分成 3y 和 y，得到 x+3y=10，代入 y=1，解得 x=7。

这样，我们就解出了方程组的解。

相乘法和十字相乘法在实际应用中都有广泛的应用。

相乘法被广泛应用于各种计算和公式中，而十字相乘法则主要用于解线性方程组，是数学中的一种重要方法。

完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。

对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。

以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。

二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。

例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。

在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。

同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。

还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。

十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。

对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。

例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。

另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。

对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。

例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。

十字相乘法解题格式摘要：1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的解题步骤4.十字相乘法的应用实例5.总结正文：【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种常用的数学解题方法，尤其在代数运算中具有很高的实用价值。

它主要通过将两个多项式的系数进行交叉相乘，再相加，从而得出两个多项式相等或者某一多项式的值。

这种方法因为运算简单且易于理解，所以在学生中广受欢迎。

【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将两个多项式的系数进行交叉相乘，再相加。

具体来说，就是将多项式A(x) 和B(x) 的系数分别按行和列排列，然后进行交叉相乘并相加，得出结果C(x)。

如果C(x) 等于多项式A(x)B(x)，则说明两个多项式相等；如果C(x) 等于多项式A(x) 或者B(x)，则说明多项式A(x) 或者B(x) 的值可以通过十字相乘法求出。

【3.十字相乘法的解题步骤】十字相乘法的解题步骤主要分为三步：（1）将两个多项式的系数分别按行和列排列；（2）进行交叉相乘并相加，得出结果；（3）判断结果是否等于多项式A(x)B(x)，或者等于多项式A(x) 或者B(x)，从而得出结论。

【4.十字相乘法的应用实例】例如，我们要求解多项式A(x)=2x^2+3x 和B(x)=x+4 的乘积，可以通过十字相乘法来进行。

首先，将两个多项式的系数按行和列排列：2 3x 4然后，进行交叉相乘并相加：2x 6x+ 3x 12-------2x^2 6x+ 3x 12-------2x^2 + 3x可以看出，结果正好等于多项式A(x)B(x)，即2x^2+3x。

【5.总结】十字相乘法是一种简单实用的数学解题方法，尤其适用于代数运算。

通过将两个多项式的系数进行交叉相乘并相加，可以快速求出两个多项式相等或者某一多项式的值。

十字相乘法顺口溜
1. 十字相乘法呀，真神奇，算起来那叫一个快！就像孙悟空的七十二变，看我给你变一变，比如分解x²+5x+6，一下子就能变成(x+2)(x+3)啦！
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我的观点结论：十字相乘法顺口溜真的是非常实用的工具，能让我们在数学计算中事半功倍，大家一定要好好掌握呀！。