八年级数学上-十字相乘法.ppt
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八年级数学十字相乘法因式分解页数:9
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十字相乘法(八年级数学精品课件)
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
x 1
x7x 6x
因式分解：
(1) x2 14x 45= (x 5)(x 9) (2) x2 7 x 60= (x 12)(x 5)
(3) x2 29x 138= (x 23)(x 6)
(4) x2 14x 72= (x 4)(x 18) x2 (a b)x ab = (x a)(x b)
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
人教版数学八年级上册-第14章 十字相乘法-课件
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
五、拓展延伸
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾分解， 交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b项是正数时，分解的两个数必同 号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得 一次项系数。当常数项是负数时，分解的 两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次 项系数。因此因式分解时，不但要注意首 尾分解，而且需十分注意一次项的系数， 才能保证因式分解的正确性。
例2、把 y4-7y2-18 分解因式
三、巩固练习
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12
2. x2+4x-12
3. x2-5x-14 4. y2-11y+24
人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
-2)]( x + 1 )
人教版八年级上册数学因式分解十字 相乘法 优质PPT
公式推导
归纳总结
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
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例2. 人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
人教版八年级上册数学因式分解十字 相乘法 优质PPT
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练习：在 横线上 填 、符号
__ x2 4x 3 =（x + 3）（x _+_ 1）
- x2 2x 3 =（x __ 3）（x _+_ 1）
- - y2 9y 20 =（y__ 4）（y __ 5）
运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
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人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
(完整版)十字相乘法PPT课件
(1)x2+(1+4)x+1×4 = (x + 1 )(x + 4)
(2)x2+[(-1)+(-2)]x+(-1) ×(-2)
观
= [x+( -1)][x+( -2 )]
察 与
(3)x2 + [(-2) + 1]x + (-2) ×1
思 考
= [x + ( -2)]( x + 1 )
公式推导
归纳总结
-__ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
- - __ __ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56=（t
4）（t + 14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7 7
或
x 1 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
x7x 6x
横写因式不能乱。
(2)解: x2-2x-15 =(x+3)(x-5)
2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
因式分解——十字相乘法 —初中数学课件PPT
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= 9a4-(4a2-4a+1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= 9a4-(4a2-4a+1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
初中数学一元二次方程十字相乘法(共7张PPT)
(3)(a2 8a1)a(2 8a2)(4)(x3y)x(4y)
(5)(2mn)2(m3n)
(6)(x2)x(a)
初中数学一元二次方程十字相乘 法
十字相乘法
一、十字相乘法的定义
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解 因式的方法叫十字相乘法。
表达式为：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
十字相乘法进行因式分解的步骤：
（1）竖分二次项与常数项 （2）交叉相乘再相加
（3）检验确定，横写因式
顺口溜：竖分系数交叉验， 横写系数不能乱。
表达式为：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 先提出负号再因式分解。 十字相乘法进行因式分解的步骤： 例如：１、把2x²-7x+3分解因式
↖ ↓ 探究2:是不是每一个二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解？
探究1：我们现在研究的是二次项系数为1或-1的，当二次项系数不为1或-1时又该如何？ 先提出负号再因式分解。 完成学习单1、2、3题，完成后小组交叉评阅。
7← 6←5
答案：
1.(1) (x 1)(x 8) (4) (x 3)(x 2) (7) (x 2)(x 9) (10)(y 12)(y 3)
2.(1) (x 4)(x 5) (4)(x 3)(x 2) (7)( 2)(x 3) (10) (y 12)(y 1)
3.(1) (x 1)(x 8) (4) (x 2)(x 3)
注意：
1.对x于 2pxq(xa)(xb)中a， ,b符号如何
p=a+b q=ab 顺口溜：竖分系数交叉验，
完成学习单1、2、3题，完成后小组交叉评阅。
十字相乘法完整版ppt课件
2
2
= (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 )
2
= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－
－1－10=－111
1
1
－5＋6=1
完整版课件
17
2 2
练习2 将 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
分解因式 2 2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
x2 7x 12 x2 3x 10
小结：
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
完整版课件
4
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7 x 10 x 2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7 x 18
完整版课件
5
例2 分解因式：x26x16
解： x26x16
x26x16
x8x2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
完整版课件
6
2
例3 分解因式 3x2－10x＋3
x
－3
2
解：3x －10x＋3
=(x－3)(3x－1)
3
－
x－9x－x=－101x
完整版课件
7
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18 ( 3 ) -6x2 +3x +18
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
十字相乘法： 简记口诀：
对于二首次尾三项分式解的，分交解因叉式相，乘借，用一个十字
十字相乘ppt课件免费
中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。
八年级数学上-十字相乘法.ppt
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
(9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
(6)x4+13x2+36
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
x2 px q (x a)(x b) = x2 (a b)x ab
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（1 ）
等式右边是两个一次二项式（相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式，
进行的是（因式分解 ）。
x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字
相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
(9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
(6)x4+13x2+36
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
x2 px q (x a)(x b) = x2 (a b)x ab
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（1 ）
等式右边是两个一次二项式（相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式，
进行的是（因式分解 ）。
x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字
相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
十字相乘法(经典教学课件)
=(m+n-2)(m+n-3)
想一想:
把下列各式分解因式 (3) y2-2y(x-1)-15(x-1)2
=[y+3(x-1)][y-5 (x-1)] =(y+3x-3)(y-5 x+5)
想一想:
(4)
2 2 a -12a(b+c)+36(b+c)
=[a-6(b+c)][a-6 (b+c)]
2 =(a-6b-6c)
小结: 由多项式乘法法则
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x x
a
b
这个方法也称为十字相乘法
即:只要一个形如x2+mx+n 的二次三项式的常数项可以 分解成两个有理数相乘,且这 两个有理数的和恰好等于一 次项的系数,这个多项式就能 用十字相乘法分解因式
a1a2 x a1c2 a2c1 x c1c2
2
a1 x
c1
a2 x
所以原式可以分解为：a
c2
1 x c1 a2 x c2
例 因式分解：2x2-3x-2 解原式=(x-2)(2x+1)
x 2x
-2
+1
因式分解：
6 x 7 xy 5 y
2
2
2 x y 3x 5 y
a 2 3a 4
a -4 a +1 -4a+a
反之
a 3a 4 (a 4)(a 1)
人教版八年级数学上册1因式分解---十字相乘法课件
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
1. (x+2)(x+1) =x2+3x+2 2. (x+2)(x-1) =x2+x-2
3. (x-2)(x+1) =x2-x-2
4. (x-2)(x-1)
5. (x+2)(x+3) 6. (x+2)(x-3) 7. (x-2)(x+3) 8. (x-2)(x-3)
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
1
52
3
25
25 + 165==117
十字相乘法PPT课件
将下列各式因式分解
(1)x2+6x+8
2 (3)x -5x+4 2 (5)x -2x-8
(2)y2+7y+12
2 (4)x +2x-8 2 (6)y -7y-18
＋
(7)a2b2-a b-2
小结： 1.运用公式x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b) 必须同时具备的三个条件： (1)二次项系数式是1的二次三项式 (2)常数项是两个数之积 (3)一次项系数是常数项的两个因数之和 2.常数项因数分解的一般规律： (1) 常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
2
x 7 x 60 ( x 12)(x 5)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
x 14x 72 ( x 4)(x 18)
2
2 x +
(a+b)x + a b型式子的因式分解
学习目标：
( a + b) x + a b =（x + a) ( x + b ) 2 2、运用公式会对x + (a+b)x + a b型的二次三项式进行因式 分解。
观察：p与a、b符号关系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 且（a、b符号）与p符号相同
x 2 7 x 60 ( x 12)(x 5)
x 2 14x 72 ( x 4)(x 18)
十字相乘法的课件ppt
x （2） 2 5x 6
解：
1 2
13
2+3=5
所以，原式 =(x 2)(x+3)
练一练：分解因式
课本P172
归纳填空: (1)常数项是正数时,它分解成两个__同_____ 号因数,它们和 一次项系数符号__相_同__. (2)常数项是负数时,它分解成两个__异_____ 号因数,其中绝对值_较__大___的因数和一次项 系数符号相同.
1 、若x2 ax 2能4 在整数范围
内因式分解，问符合条件的整 系数a的值有几个？
23，－23，10，－10，5，－5，2， －2，
2、当x为什么值时，代数式 x2 8x 12
的值等于零。
3、已知长方形的面积为 x2 12x 2，8 长
为 x ，2求长方形的宽。
小结
试一试，填空：
(1)x2 4x 3 (x _+_ 3)(x _+_1)
(2)x2 2x 3 (x __ 3)(x _+_1)
(3)x2 x 20 (x 4)( x 5)
(4) y2 16 y 15 ( y 1)(y 15)
互
动 小组合作，讨论出题。
环 节
每个小组讨论给出一道能够用十 字相多
项式进行因式分解。
例2:分解因式
（1） x2 y2 4xy 12
（2） x2 5xy 6 y2
举一反三： 把下列各式进行因式分解
（1）m4 22m2 75 （2）(a b)2 7(a b) 12
（3）(x 1)(x 2) 12
（4）x3 18x2 +19x
看谁算得快：
1.(x+2)(x+4)=x2+6x+8 2.(x-2)(x-4) = x2-6x+8 3.(x-2)(x+4)= x2+2x-8 4.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
八年级初二数学上册人教版 十字相乘法 名师教学PPT课件
25
思考题:把下列各式分解因式
(1) 2(x y)2 (x y)( x y) 6(x y)2
(2)(x y)(2x 2 y 3) 2
(1)(-x+5y)(3x-y) (2)(2x-2y+1)(x-y-2)
好好学习 天天向上
26
（3）(x+y)2-4(x+y)-5 =(x+y+1)(x+y-5)
对于x2+px+q
（1）当q＞0时,a、b﹍﹍同号,且a、b的符号与p的符号﹍﹍相。同
（2）当q＜0时,a、b﹍﹍异号,且 ﹍﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较大﹍的﹍因与数p的符号相同。
好好学习 天天向上
13
例２:试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
一个二三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能 分解成两个因数a、b的积,即q=ab而且一次项 系数p又恰好是a、b的和,即p=a+b,那么 x2+px+q就可以好好进学习行天如天上向上的因式分解9。
试一试:把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
好好学习 天天向上
7
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
1. (x+2)(x+1) =x2+3x+2 2. (x+2)(x-1) =x2+x-2
3. (x-2)(x+1) =x2-x-2
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当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 数与p的符号（ 相同 ).
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
( (
(
x x
x
3)(x 3)(x
3)(x
4) 4)
4)
= = =
x2 7x 12 x2 x 12 x2 x 12
(x 3)(x 4) = x2 7x 12
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。
因式分解的实质是（“和差化积”）与（ 整式乘法 ） 是“积化和差”的过程正好（相反 ）。
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法
公式法
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字
相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
定义：
利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法进行因式分解的关键:
（1）列出常数项分解成两个因数的积的 各种可能情况；拆分常数项
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
x2 px q (x a)(x b) = x2 (a b)x ab
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（1 ）
等式右边是两个一次二项式（相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式，
进行的是（因式分解 ）。
x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)
(9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
(6)x4+13x2+36
请结合上面的结论，运用十字相乘法解 下列一元二次方程：
1）. x2 7x 6 0 2）. x2 7x 12
思考2：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？
例如：3x 2 2x 1
1.十字相乘法分解因式的公式：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
思考3：
x2 8x 12 (x __+__ 2)(x __+___6)
x2 4x 12 (x __+__ 6)( x __—__ 2)
x2 11x 12 (x __—__12)(x __+___1)
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x2 px q (x a)(x b)
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）.
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项
(+1)＋(+2)＝+3
x
1
∴x
2
一次项系数 十字交叉线
解：原式 (x 1)( x 2)
(1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等 于一次项系数； 验证一次项
例题1：分解因式
1. x2 7x 12 2. x2 4x 12 3. x2 8x 12 4. x2 11x 12
练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—”
号。x2 7x 12 (x __—__ 3)( x __—__ 4)
那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢?
ab q a b p
它们的乘积等于常数项，它们的和等于一 次项系数。
试一试：把x2+3x+2分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
( (
(
x x
x
3)(x 3)(x
3)(x
4) 4)
4)
= = =
x2 7x 12 x2 x 12 x2 x 12
(x 3)(x 4) = x2 7x 12
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。
因式分解的实质是（“和差化积”）与（ 整式乘法 ） 是“积化和差”的过程正好（相反 ）。
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法
公式法
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字
相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
定义：
利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法进行因式分解的关键:
（1）列出常数项分解成两个因数的积的 各种可能情况；拆分常数项
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
x2 px q (x a)(x b) = x2 (a b)x ab
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（1 ）
等式右边是两个一次二项式（相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式，
进行的是（因式分解 ）。
x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)
(9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
(6)x4+13x2+36
请结合上面的结论，运用十字相乘法解 下列一元二次方程：
1）. x2 7x 6 0 2）. x2 7x 12
思考2：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？
例如：3x 2 2x 1
1.十字相乘法分解因式的公式：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
思考3：
x2 8x 12 (x __+__ 2)(x __+___6)
x2 4x 12 (x __+__ 6)( x __—__ 2)
x2 11x 12 (x __—__12)(x __+___1)
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x2 px q (x a)(x b)
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）.
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项
(+1)＋(+2)＝+3
x
1
∴x
2
一次项系数 十字交叉线
解：原式 (x 1)( x 2)
(1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等 于一次项系数； 验证一次项
例题1：分解因式
1. x2 7x 12 2. x2 4x 12 3. x2 8x 12 4. x2 11x 12
练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—”
号。x2 7x 12 (x __—__ 3)( x __—__ 4)
那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢?
ab q a b p
它们的乘积等于常数项，它们的和等于一 次项系数。
试一试：把x2+3x+2分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式