2010高教社杯全国大学生数学建模竞4

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆文理学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 冉洪娅 2. 陈金花 3. 陈鑫 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010 年 9 月 13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人

评 分

备 注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1

用费马点原理优化设计输油管道 【摘要】本文主要利用费马点[1]到三个顶点距离最短这个性质为铁路同侧的两

个炼油厂以及车站三者之间设计最短的输油管线，从而达到铺设管线的费用最少。根据费马点性质[2]，在问题一中根据若两炼油厂和车站组成的三角形中若

任何一个角大于等于120，则最大角的顶点就是费马点，此时铺设的线路就是不共线的情况，即三角形最大角的两条边就为铺设的线路；若三角形中任何一个角小于120，则费马点则在三角形内部（具体的求法见问题一），则此时出现铺设的线路出现共线和不共线两种情况。 问题二中根据三个公司的对城区拆迁附加费的估算，利用层次分析法可以求解并找到可信度高且经济的公司。并在城区和郊区交界处设一点E,并建立相应的直角坐标系，根据E点坐标以及费马点F的坐标，分别表示出城区铺设线路以及郊区铺设线路关于费用的函数表达式，从而得到最小的目标函数，通过LINGO求解，找到管线所要经过的城区与城郊的交界点。由此种方法所求出的总费用为281.0680万元，且此时所求解出的车站的坐标为（7.501314，1.715436）。 问题三前两问的基础上，根据相应的参数，同样建立一个关于费用的目标函数，通过LINGO求解，得出的管线铺设最省总费用为243.5111万元，车站的坐标为（7.692308，0）

【关键字】输油管道 费马点 优化 层次分析法 2

一、问题的重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法. 第一问针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，从无共用管道和有共用管道两方面考虑不同条件下最短距离的各种情况. 第二问建立在第一问提出的方案的基础之上，因增加了管道费用7.2/万元千米和在城区建设的各种附加费用，求解最省费用的方案. 第三问在第二问的基础之上，进一步考虑管线价格各不相同的情况，把原来管道统一价格标准变为A、B管道两种管道价格和共用管道价格，同样目的是使设计放案中需求经费最小.

二、问题的分析 通过数学模型的建立来解决输油管道的布置问题，以提高资源的利用率，达到最经济的要求。 在问题一中，根据题目的要求某油田计划在铁路一侧建造两家炼油场，同时在铁路线上增加一个车站，用来运送成品油。要求建立费用最省的一般数学模型与方法，还应考虑是否有共用管道的设计，以及如有共用管道，考虑共用管道与非共用管道相同或者不同的情形。所以，我们首先要考虑到是否用共用管道的问题。 （1）在无共用管道时，两个炼油厂各自按各自的线路到达车站，在运途中不会有任一点的交叉，要使其运送费最少，则必须要找到车站到两个炼油厂的距离之和最小。由费马定理即可求出车站的最佳位置，从而可以求出所需费用。 （2）有共用管道时，在以两个炼油场和车站组成的三角形中，由于在三角形中最大边对应最大最大角的性质，可以找出最大角。 1）当最大角大于或者等于120度时，由费马点的性质，找不到满足题意的车站点，即此时无共用管线。 2）当最大角小于120度时，利用费马点的性质，找到车站的最佳位置，以及共用管线和非共用管线的节点，可以使运送费用最少。 3

在问题二中，题中提到的三个公司的选择问题，我们用层次分析法来选择。而题中提到的管线的布置方案，我们则用整体规划模型[3]，布置管线所用经费最少来建立目标函数。对于约束条件的限制，考虑到共用管线与非共用管线的节点应选择在两炼油厂的中间地，而在城区与城郊的交界处，应该在车站与城区的炼油场中间地。 在问题三中，题中对二题进行了进一步的细化，管线的铺设费用更为严格的要求。为进一步的节省费用，同样的我们选用整体规划模型，并用LINGO求解。对于条件约束的限制，考虑到共用管线与非共用管线的节点应选择在两炼油厂的中间地，而在城区与城郊的交界处，应该在车站与城区的炼油场中间地。

三、模型的假设 1、两炼油厂和车站抽象在平面内为一个质点。 2、炼油厂和车站在同一平面内，且彼此之间理论上可以直达。 3、不考虑管线交界处的费用。 4、除题目考虑的管道费用、城市附加费外，不考虑其他人为因素造成价格差异。 5、模型只考虑两炼油厂与车站间的直线距离，忽略它们之间可能出现的障碍物。

四、模型的符号说明及定义 a ：各个公司估算的附加费用；

iz：共用管线与非共用管线费用相同的情况下公司i所估算的费用（i 可取

1,2,3）；

im：共用管线与非共用管线费用不同的情况下公司i所估算的费用；

0z：共用管线与非共用管线费用相同和不同的情况下的最省费用（i 可取

1,2,3）； 4

五、模型的建立与求解 5.1模型的导出 针对问题一，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方

法。由题目可知要具有经济可行性，即使得所取得的点要与三点间距离之和最小，由此可用用费马点性质解决这个问题。 其性质如下： 1）平面内一点P到ABC三顶点之和为PCPBPA，当点P为费马点时，距离之和最小。特殊三角形中： 2）三内角皆小于120的三角形，分别以CABCAB,,为边，向三角形外侧做正三角形1,1,1BCAACBABC，然后连接,1,1,1CCBBAA则三线交于一点P，则点P就是所求的费

马点。 3）若三角形有一内角大于或等于120 ，则此钝角的顶点就是所求。 4）当 ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合。 5.2模型的建立与求解

5.2.1模型 I 将炼油厂A和炼油厂B与铁路的平面示意图表示如下，根据中学的几何方法求解到炼油厂A和炼油厂B的距离之和最短的一点求出车站的大致位置。其具体方法为：在铁路的另一侧找到炼油厂A位置关于铁路对称的一点0，然后连接0，直线0与铁路的交点即为车站的所在位置。

图一 其中L表示铁路，A和B分别表示为两个炼油厂的位置，C表示增建的车站位

置，A点。利用上面的图作具体分析：

0 L C A B 5

1、在无共用管线时 即是A和B各自按照各自的线路到达车站，在运送途中不会有任何一点的交叉，要使其运送费用最少，则必须使找到的C点到A点和B点的距离之和最小。由费马点的性质可知，图一中的C点位置既是所要增建车站的位置。 在默认∠ACB大于∠ABC和∠CAB的前提下，大致分为如下两种情况： （1）∠ACB大于等于120°时，由费马点的性质，找不到满足题设的车站点，即为此种情况无共用管线的情况，图中C点位所找点位置。 （2）∠ACB小于120°时，按照图一所示找到C点，再在图一的基础上找到另外一点，使这一点到Ａ、B、C三点的距离最短，这样才可能使运送费用最少。在∠ACB小于120°的情况看下，连接AB、AC和BC，再分别以其为边作等边三角形，分别为1C,1C和1C。再分别连接1、1、

1CC，三条直线所交的那一点F即是共用管线和非共用管线的节点。（如图二所示）

图二 在图二中连接的F、F分别表示、到节点的管线线路，CF表示共用管线的线路。在这一分析中又可分为两种情况：

（1）共用管线和非共用管线费用相同

B 1C 1 1F A

C 0

L 6

假设所有管线的铺设费用均为每千米万元，则总费用  = )(*CFFF。 （2）共用管线和非共用管线费用不同 在（1）的基础上，引进一个参数c，且1CFcFF*)(*.

5.2.2模型 II 首先我们需要确定三个公司的选择问题，于是我们选择用层次分析法[4]来解决公司的选择问题。所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。其中目标层为选择公司，准则层为费用、资质，措施层为公司一、公司二、公司三。 对于本题的第二问的对公司一、二、三的选择，是个抉择性问题。因此，我们应用层次分析法对公司一，二，三用MATLAB 7.0软件[5]算出哪个公司更适合，即聘用哪个公司更实惠。从而总的费用最低。 设计院要在公司一、公司二、公司三中选择，这个问题可以分为三个层次：最上层为目标层，即选择的工程咨询公司，用U表示；最下层为方案层，即选哪个公司，用Pi表示；中间层为准则层，用Ci表示。刻画出层次结构图，如下图三所示。

图三 接着，可以构造成对比矩阵，计算相应的最大特征根、特征向量，并进

选择工程咨询公司资质C1 费用C2

公司一P1 公司二P2 公司三P3