第四章 趋势面分析

方法原理及研究过程与多项式趋势面相同， 方法原理及研究过程与多项式趋势面相同 ， 不 付立叶级数。 同之处是数学模型 — 付立叶级数。故仅对作如下 说明： 说明： 一、趋势面分析的功能 调和趋势面分析的数学模型是正弦和余弦函数的 调和趋势面分析的数学模型是正弦和余弦函数的 组合，它具有波动的特征。 组合，它具有波动的特征。
2tπ x 2kπ y 2tπ x 2kπ y + Ctk sin z = F(x, y) = ∑∑[ Etk cos cos cos L H L H t =0 k =0 2tπ x 2kπ y 2tπ x 2kπ y +Ptk cos sin +Wtk sin sin ] L H L H
r s
20
1 1 X= M 1
x1 M
y1 x12 M M
x1 y1 M
3 y12 x1 x12 y1 x1 y12
2 2 3 2 2 x2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2
M
M
M
M
2 2 3 2 2 xn yn xn xn yn yn xn xn yn xn yn
16
中划分正异常时， 或 为异常下限 为异常下限， 从∆zi+中划分正异常时，e+ (或2s+)为异常下限， ∆zi+ >异常下限为正异常点 。 异常下限为正异常点 异常下限为 为异常上限， 中划分负异常时， 或 从∆zi-中划分负异常时，e-(或-2s-)为异常上限， 为异常上限 ∆zi- <异常上限为负异常点 。 异常上限为负异常点 异常上限为 根据异常上、下限可以在偏差图上圈出正、负异 根据异常上、下限可以在偏差图上圈出正、 常区，即趋势面异常分布图。 常区， 趋势面异常分布图。 注意：异常限仅仅是一个统计估计值， 注意：异常限仅仅是一个统计估计值，因此它可 统计估计值 以被修正。实际工作中可根据资料情况改变其大小。 以被修正。实际工作中可根据资料情况改变其大小。 一般控制异常点数<总点数的 总点数的20% 。 一般控制异常点数 总点数的

三次：z b 0 b 1 x b 2 y ＋ b 3 x 2 b 4 xy b 5 y 2 ＋ b6x
3
b 7 x y b 8 xy
2
2
b 9y
3
………………………………………………
15
z b 0 b 1 x b 2y
1 趋势面分析的概念及类型
(3) 三元趋势分析
(4)
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2 多项式趋势面分析的数学模型及计算
矩阵形式为：
n n xi i 1 n y i i 1

i 1 i 1 n
n
xi xi
2
i 1 n
xi yi
b0 n yi zi i 1 ni 1 n b1 xi yi zi xi i 1 i 1 n b n 2 2 y i z i y i i 1 i 1
n
(5 )
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2 多项式趋势面分析的数学模型及计算
结果： 解(5)得 ，从而得二元一次趋势面方程并可计算出各观 察点的趋势值：
z i b 0 b1 x i b 2 y i ( i 1, 2 , n ) (6)
它就表示空间一个平面，其等值线图为一组平行线。偏 差值为：
ei z i z i
i 1 n
i 1

3
i 1 n
b 0 i 1 n 2 x i y i b1 i 1 n 3 yi b2 i 1 n 2 2 x i y i b3 i 1 n 3 x i y i b 4 i 1 n 4 y i b 5 i 1

概述
数字高程模型是地形曲面的数字化表达，也就是说，DEM 是在计算机存储介质上科学、真实地描述、表达和模拟 地形曲面实体，因此它的建立实际上是一种地形数据的 建模过程。
DEM的建立首先要对地形曲面进行抽象、总结和提炼，形 成高度概括的地形曲面数据模型，然后在此数据模型基 础上，将观测数据按照一定的结构组织在一起，形成对 数据模型的表述，最后借助计算机实现数据管理和地形 重建。
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4.4DEM建立过程
1）邻域及邻域内点的确定——搜索圆：以当前内插点为圆心，按一 定半径建立的圆形邻域，当落在该初始区域内的采样点数量在内插模 型所要求的数量范围时，可直接进行内插计算；否则要按一定步长扩 大搜索圆半径，反之缩小搜索圆半径，直到满足要求为止。
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4.4DEM建立过程
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4.3 DEM内插数学模型
4.3.1整体内插 定义:就是在整个区域用一个数学函数来表达地形曲面。 整体内插函数通常是高次多项式，要求地形采样点的个数 大 于 或 等 于 多 项 式 的 系 数 数 目 （ P78 ） 。
缺陷:由于以下原因，在DEM内插中整体内插并不常用： 1）整体内插函数保凸性较差； 2）不容易得到稳定的数值解； 3）多项式系数物理意义不明确，这容易导致无意义的地 形起伏现象； 4）解算速度慢且对计算机容量要求较高； 5）不能提供内插区域的局部地形特征。
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4.1从散点到表面统计模型
4.1.1 DEM地形表面重建的地理内涵和数学机理
（1）地形的空间分布特征： 分片模拟 各向异向性 空间自相关性
（2）数学特征： 分片的曲面模型 单值性 连续而不光滑
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各向异性

，
可见一次回归效果不显著， 可见一次回归效果不显著，拟合度为C = U / S = 28.7% 很低。 ，很低。
其次，作二次趋势面分析， 其次，作二次趋势面分析，设
ˆ z = b0 = b1 x + b 2 y + b 3 x 2 + b4 xy + b5 y 2
利用式（3.11）和式 和式（3.13）得正规方程组， 得正规方程组， 利用式 和式 得正规方程组 解正规方程组求得系数 b0 , b1 ,L , b5 ，得二次趋 势面方程为
编 号 （ ） x km）
y km） （ ）
1 0 6 40
2 1 2 30
3 1 5 60
4 2 1 50
5 3 2 50
6 3 4 70
7 3 7 90
8 4 1 60
9 4 3 70
10 5 3 80
11 5 6 70
12 6 1 80
13 6 4 60
14 6 7 50
z（m） （ ）
观测点坐标和顶板深度如图3.4所示。 观测点坐标和顶板深度如图 所示。 所示 先作一次趋势面分析。 先作一次趋势面分析。
2 2 i =1 i =1 i =1 n n n
= S 趋 + S剩 = U + Q
当 S 剩 越小，则 S 趋越接近 S 总，于是可用 越小， 的比值来表示趋势方程的拟合度 拟合度， 的比值来表示趋势方程的拟合度，记为
S趋 C= × 100% S总
S趋 S总
一般讲趋势面的阶数越高，拟合度越高，即 C 越大。 理论上讲，当阶数增高到使趋势方程的项数与观测点 C C 个数相等时，拟合度 即为1。 拟合度还与下述因素有关：（1）数量场的固有特 点，如函数的性质、数据的跳动大小、干扰多少等等。 若数量场的固有函数为平面，则一次趋势面拟合度 接近100％，而二次趋势面的 值反而不会增高。相反， C 若数量场的固有函数为一球面，则二次趋势面就应拟 C 合得很好， 接近于100％，而一次面的 值一定较低。 C （2）观测点总数和分布情形，测区形状和坐标系的选 择。观测点总数多，测区形状复杂，则 相对较低。 C