坐标系与参数方程二轮复习专题练习(六)含答案高中数学

高考数学-坐标系与参数方程

（含22年真题讲解）

1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=2+𝑡6𝑦=√𝑡 （t为参数），曲线𝐶2的参数方程为{𝑥=−2+𝑠6𝑦=−√𝑠 （s为参数）．

(1)写出𝐶1的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶3的极坐标方程为2cos𝜃−sin𝜃=0，求𝐶3与𝐶1交点的直角坐标，及𝐶3与𝐶2交点的直角坐标．

【答案】(1)𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)；

(2)𝐶3,𝐶1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，𝐶3,𝐶2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．

【解析】

【分析】

(1)消去𝑡，即可得到𝐶1的普通方程；

(2)将曲线𝐶2,𝐶3的方程化成普通方程，联立求解即解出．

(1)

因为𝑥=2+𝑡6，𝑦=√𝑡，所以𝑥=2+𝑦26，即𝐶1的普通方程为𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)．

(2)

因为𝑥=−2+𝑠6,𝑦=−√𝑠，所以6𝑥=−2−𝑦2，即𝐶2的普通方程为𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)，

由2cos𝜃−sin𝜃=0⇒2𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=0，即𝐶3的普通方程为2𝑥−𝑦=0．

联立{𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)2𝑥−𝑦=0 ，解得：{𝑥=12𝑦=1 或{𝑥=1𝑦=2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；

联立{𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)2𝑥−𝑦=0 ，解得：{𝑥=−12𝑦=−1 或{𝑥=−1𝑦=−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．

2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线C的参数方程为{𝑥=√3cos2𝑡𝑦=2sin𝑡 ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0．

高中数学参数方程应用大题(带答案)

参数方程极坐标系解答题

一、圆上的点到直线的距离最大值

1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为。曲线C的参数方程为：（α为参数）。

I）写出直线l的直角坐标方程；

II）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值。

考点：参数方程化为普通方程，坐标系和参数方程。

分析：

1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

2）化简曲线C的参数方程，然后根据直线与圆的位置关系进行转化求解。

解答：

解：（1）∵直线l的极坐标方程为。

ρ（

x﹣

sinθ﹣cosθ）=。

y+1=0.

2）根据曲线C的参数方程为：

得：

x-2）^2+y^2=4。

它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆。

圆心到直线的距离为：

d=|cosθ- sinθ-1|/√2

曲线C上的点到直线l的距离的最大值=√2.

点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程以及它们之间的互化等知识，属于中档题。

2.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为，求圆心的极坐标和△PAB面积的最大值。

考点：参数方程化为普通方程，简单曲线的极坐标方程。

专题：坐标系和参数方程。

解答：

解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点，化为ρ=2，把θ代入即可得出圆心的极坐标。

II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出△PAB面积的最大值。

点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。

解：（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，得到$x^2+y^2-4y=12$。设点P的坐标为$(x',y')$，则点Q的坐标为$(\frac{x'+6}{2},\frac{y'+0}{2})=(\frac{x'}{2}+3,\frac{y'}{2})$。代入C1的方程中，得到$(\frac{x'}{2}+3)^2+(\frac{y'}{2})^2-4(\frac{y'}{2})=12$，整理得到点Q的轨迹C2的直角坐标方程为$x+y-8=0$。

1专题18坐标系与参数方程

考向一极坐标与参数方程

【母题来源】2022年高考浙江卷

【母题题文】在直角坐标系xOy

中，曲线

1C的参数方程为2

6t

x

yt













（t为参数），曲线

2C的参数方程为

2

6s

x

ys













（s为参数）．

（1）写出

1C

的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

3C

的极坐标方程为2cossin0



，求

3C

与

1C

交点的直角坐标，及

3C

与

2C

交点的直角坐标．

【试题解析】【小问1详解】因为2

6t

x



，yt，所以22

6y

x



，即

1C

的普通方程为2620yxy

．

【小问2详解】

因为2

,

6s

xys



，所以262xy

，即

2C

的普通方程为

2620yxy

，

由2cossin02cossin0



，即

3C

的普通方程为20xy

．

联立2620

20yxy

xy









，解得：1

2

1x

y











或1

2x

y







，即交点坐标为1

,1

2



，

1,2

；

联立2620

20yxy

xy









，解得：1

2

1x

y











或1

2x

y







，即交点坐标为1

,1

2





，

1,2

．

【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．

【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热

2点，考查学生的基本运算能力．

常见的命题角度有：

（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.

【得分要点】

(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；

(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；

1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy

中，已知直线l

的参数方程为1cos

1sinxt

yt









（t

为参数，为常数且

专题检测（十九） 选修4-4 坐标系与参数方程

1．(2021·合肥一检)已知直线l的参数方程为 x＝1＋12t，y＝3＋3t(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin θ－3ρcos2θ＝0.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．

解：(1)∵sin θ－3ρcos2θ＝0，∴ρsin θ－3ρ2cos2θ＝0，

即y－3x2＝0.

故曲线C的直角坐标方程为y－3x2＝0.

(2)将 x＝1＋12t，y＝3＋3t，代入y－3x2＝0得，

3＋3t－31＋12t2＝0，

解得t＝0，

从而交点坐标为(1，3)，

∴交点的一个极坐标为2，π3.

2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈0，π2.

(1)求半圆C的参数方程；

(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－3)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．

解：(1)半圆C的一般方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，

则半圆C的参数方程为 x＝2＋2cos t，y＝2sin t(t为参数，0≤t≤π)．

(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)，

于是直线CD的斜率k＝3－05－2＝33.

由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t满足tan t＝33，t＝π6，

所以切点的直角坐标为2＋2cosπ6，2sinπ6，

即(2＋3，1)．

3．(2021·宝鸡质检)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．

(1)求C的直角坐标方程；

(2)直线l： x＝12t，y＝1＋32t(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求|EA|＋|EB|.