第一讲 数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义

NnNaxnn,,0lim，有axn.

注1 的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有 nx无限趋近于)(Nnaxan

另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式axn.还表明数列nx无限趋近于a的渐近过程的不同程度,进而能估算nx趋近于a的近似程度. 注2 若nnxlim存在，则对于每一个正数，总存在一正整数N与之对应，但这种N不是唯一的，若N满足定义中的要求，则取,2,1NN，作为定义中的新的一个N也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N． 注3 axn)(n的几何意义是：对a的预先给定的任意邻域),(aU，在nx中

至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(aU． 注4 NnNaxnn00,,0lim，有00axn. 2. 子列的定义 在数列nx中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为nx的子列，

记为knx，其中kn表示knx在原数列中的项数，k表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k，有knk． 注2 对任意两个正整数kh,，如果kh，则khnn．反之，若khnn，则kh． 注3 KkKaxknn,,0lim，有axkn. 注4 axnnlimnx的任一子列knx收敛于a. 3.数列有界 对数列nx，若0M，使得对Nn，有Mxn，则称数列nx为有界数列． 4.无穷大量 对数列nx，如果0G，NnN,，有Gxn，则称nx为无穷大量，记

作nnxlim． 2

注1 只是一个记号，不是确切的数．当nx为无穷大量时，数列nx是发散的，即nnx

lim

不存在． 注2 若nnxlim，则nx无界，反之不真．

注3 设nx与ny为同号无穷大量，则nnyx为无穷大量． 注4 设nx为无穷大量，ny有界，则nnyx为无穷大量． 注5 设nx为无穷大量，对数列ny，若0，,N使得对Nn，有ny，则nnyx为无穷大量．特别的，若0ayn，则nnyx为无穷大量． 5.无穷小量 若0limnnx，则称nx为无穷小量．

注1 若0limnnx，ny有界，则0limnnnyx．

注2 若nnxlim，则01limnnx；若0limnnx，且,N使得对Nn，0nx，则nnx1lim． 6.收敛数列的性质 （1）若nx收敛，则nx必有界，反之不真．

（2）若nx收敛，则极限必唯一． （3）若axnnlim，bynnlim，且ba，则N，使得当Nn时，有nnyx． 注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍． （4）若axnnlim，bynnlim，且N，使得当Nn时，有nnyx，则ba．

注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”． （5）若数列nx、ny皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列nnyx，nnyx，

nnyx，nnyx（0limnny）也收敛，且有

nnnyxlimnnxlimnnylim，

nnnyxlimnnxlimnnylim， 3

nnnyxlimnnnnyx

lim

lim（0limnny）．

7. 迫敛性（夹逼定理） 若N，使得当Nn时，有nnnzxy，且nnylimaznnlim，则axnnlim．

8. 单调有界定理 单调递增有上界数列nx必收敛，单调递减有下界数列nx必收敛． 9. Cauchy收敛准则 数列nx收敛的充要条件是：NmnN,,,0，有mnxx． 注 Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． 10.Bolzano Weierstrass定理 有界数列必有收敛子列．

11. 7182818284.211limennn 12.几个重要不等式 (1) ,222abba .1 sin x . sin xx (2) 算术－几何－调和平均不等式： 对,,,,21Rnaaa 记

,1 )(121niiniannaaaaM (算术平均值)

,)(1121nniinniaaaaaG (几何平均值)

.1111111)(1121niiniiniananaaanaH (调和平均值)

有均值不等式: ),( )( )(iiiaMaGaH等号当且仅当naaa21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnnnnnnxnxxxx

)1(,1)1(nnxxn （４）Cauchy－Schwarz 不等式: kkba,(nk,,2,1),有 4

21nkkkba21nkkkbankka12nkkb12

（５）Nn，nnn1)11ln(11 13. O. Stolz公式

二、典型例题 1．用“N”“NG”证明数列的极限．（必须掌握） 例１ 用定义证明下列各式：

（１）163153lim22nnnnn； （２）设0nx，axnnlim，则axnnlim；（97，北大，10分） （３）0lnlimnnn)0( 证明：（１）0，欲使不等式 nnnnnnnnnnnnn663663561

63

153

22222

成立，只须6n，于是，0，取1]6[N，当Nn时，有 nnnnn61

63

153

22

即 163153lim22nnnnn． （２）由axnnlim，0nx，知NnN,,0，有aaxn，则 axaxaxnn

n

aaxn

于是，NnN,,0，有axnaaxn， 即 axnnlim． （３）已知nnln，因为

nnnnnn1ln2ln2ln022



nn12

2

nn][2

2

2

2244nnn， 5

所以，0，欲使不等式0lnnnnnln24n成立，只须24n． 于是，0，取N142，当Nn时，有 0lnnnn

nln



2

4

n，

即 0lnlimnnn． 评注１ 本例中，我们均将axn做了适当的变形，使得)(ngaxn，从而从解不等式)(ng中求出定义中的N．将axn放大时要注意两点：①)(ng应满足当n时，0)(ng．这是因为要使)(ng，)(ng必须能够任意小；②不等式)(ng容易求解． 评注２ 用定义证明axn)(n，对0，只要找到一个自然数)(N，使得当

)(Nn时，有axn即可．关键证明)(N的存在性．

评注３ 在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即： （１）NnN,,0，有Maxn（M为任一正常数）.

（２）NnN,,0，有knax)(Nk. 例２ 用定义证明下列各式： （１）1limnnn；（92，南开，10分）

（２）0limnknan),1(Nka 证明：（１）（方法一）由于1nn（1n），可令1nn（0），则 nnnnnnnnn22)1(1)1(2

2

)1(nn

（2n）

当2n时，21nn，有

n

22)1(nn2222

)1(44nnnn

