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二维椭圆边值问题的差分格式

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偏微分方程(椭圆型)数值解2.4-5

偏微分方程(椭圆型)数值解2.4-5
a u i−1, j i−1, j + ai+1, jui+1, j + ai, u j−1 i, j−1 + ai, u j+1 i, j+1 + ai, jui, j = −Fij (5.4)
ai−1, j
=
⎛ ⎜⎝
Ai
−
1 2
,
j
−
h1 2
Cij
⎞ ⎟⎠
h1−2
,
ai, j+1
=
⎛ ⎜⎝
Ai
∂n q1q2
∂n q2q3
∂n q3m4
• = ∫∫ f ( x, y)dxdy m1
G0
p1
（4.6）
对于后四项仿照公式（4.3）的方法离散化，例如
∫ ∫ ( ) m1q1
∂u ds ≈ ∂n
m1q1 ⋅ p0 p1
u1 − u0
,
( ) q2q1
∂u ds ≈ ∂n
q1q2 ⋅ p0 p2
u2 − u0
考虑矩形网格：h1和h2分别为x和y方向的步长，Gh为网格 节点集合，Gh为网格界点集合，Gh = Gh ∪ Γh 。 总假设Gh是联通
的，即 ∀P, P ∈ Gh 必有一串 Pi ∈Gh (i = 1, 2, L, m −1) 可将 P, P
排列成顺序序列：P, P1, P2 , L, Pm , P 使前后两点互为相邻节点。
G0的面积:
m
q7
(G
=
0)
q1 ，i
⎛ = 12× ⎜⎜⎝
= 1,
1× 2
2,
3 3
L, 6。
h
×
1 2
h
⎞ ⎟⎟⎠

椭圆形方程差分方法

椭圆形方程差分方法

椭圆形方程差分方法
椭圆形方程是一类常见的偏微分方程，其求解可以采用差分方法。

差分方法是指将连续问题离散化为在离散网格上求解的问题，其基本思想是将空间区域分割成若干个小区域，将时间区间分割成若干个小时间段，然后在每个小区域内近似计算方程的解。

对于椭圆形方程，我们可以采用有限差分方法求解。

有限差分方法是一种常用的差分方法，其将微分方程中的导数用差商表示，将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到问题的近似解。

具体来说，我们可以将椭圆形方程用一阶中心差分、二阶中心差分、五点差分等不同差分格式离散化，然后使用迭代方法求解差分方程的解。

其中，常用的迭代方法包括Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代等。

通过不断迭代，我们可以逐渐接近椭圆形方程的解。

- 1 -。

椭圆型方程差分法

椭圆型方程差分法

(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题：计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
x
2． Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点： a b y h k x 一方向步长： I 1 ； 一方向步长： J 1
21
得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
返回
2
1） 数值计算是否必要？
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0

0
u

T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0

u
0
f ( s)dsdu

s
f ( s )duds
从而得到迭代法：
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
18
阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x

二维抛物型方程初边值问题拟多重网格预处理迭代法

二维抛物型方程初边值问题拟多重网格预处理迭代法

Ｖｏ １ ． ３ ４． Ｎｏ ． ９
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
二 维 抛 物 型 方程 初 边 值 问题 拟 多重 网格 预 处 理 迭代 法
杨艳 南， 白 乙拉
（ 渤海大学 数理学 院， 辽宁 锦州 １ ２ １ ０ １ ３ ）
摘
要： 将 求解二 维椭 圆方程 边值 问题 的拟 多重 网格 预 处理 迭代 法推 广 到二 维抛 物型 方 程
在时间区域［ ０ ， Ｔ ］ 上仍然采用等距离剖分 ， 取时间步长为 ． ｒ ， 因而把时间区域［ ０ ， Ｔ ］ 分为 Ⅳ个 时间层 ， 其中
Ｎ＝［ ７ － ］ ， 则有［ ０， Ｔ ］＝｛ ｔ Ｉ ｔ ＝ ｒ ， ｎ＝１ ， ２ ， … …Ⅳ｝ ． 因此 ， 为采 用 拟 多重 网格 预处 理 迭代 法 ， 在第 ｎ时 间层 上 （ 即时 间变 量 ｔ 取值为 ｔ ） ， 对抛 物 型方 程 （ １ ） 的解 的 空 间 区域 ｎ 进 行 如 下 的 Ｚ （ 起 始 的 网格 层 数 Ｚ 为偶 数 ） 层 旋 转 网格 剖 分 ： 空间 区域 ｎ ＝｛ （ ， Ｙ ｊ ） Ｉ ｘ ＝ｉ ｈ ｆ ， ｙ ＝ ｆ ｝ ， 其中 ｉ √＝１ ， ２ ， …… ， ｎ １ ； １ ＝ ２
第３ ４卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ９月
பைடு நூலகம்
渤 海大 学学 报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｂ ｏ ｈ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ｐ ｉ ＞ ０ ， 。 （ ， Ｙ ） 为 已知 的初 始条件 函数 ， ｇ ｏ （ ， ｔ ） 、 ｇ 。 （ ｙ ， ｔ ） 、 ｈ 。 （ ， ｔ ） 及ｈ （ ， ｔ ） 为 已知 的边 界条件 函数 ， Ｍ为未 知 函数 ， Ｖ表示梯 度．

中心有限差分格式

中心有限差分格式

中心有限差分格式
中心有限差分格式（Centered Finite Difference Scheme）是一种数值求解偏微分方程的方法。

它将微分方程转化为差分方程，以便在离散的网格点上进行数值计算。

中心有限差分格式具有二阶精度，因此在每个时间步长内都需要计算相邻的三个节点处的值。

具体来说，对于一维问题，中心有限差分格式可以表示为：
Δu(i) = (1/2h^2) [u(i+1) - 2u(i) + u(i-1)]
其中，Δu(i)表示在节点i处的差分，h表示网格步长。

对于二维问题，中心有限差分格式可以表示为：
Δu(i,j) = (1/4h^2) [u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j)] + (1/4h^2) [u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1)]
需要注意的是，中心有限差分格式需要计算相邻的三个节点处的值，因此需要提前计算出这些节点的值。

此外，中心有限差分格式在处理边界条件时也需要特别处理，以保证数值计算的精度和稳定性。

总之，中心有限差分格式是一种数值求解偏微分方程的常用方法，具有二阶精度和较高的计算精度和稳定性。

二维泊松方程的差分格式有限差分法

二维泊松方程的差分格式有限差分法
§3.7 有 限 差 分 法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3

第二章椭圆型方程的有限差分法

第二章椭圆型方程的有限差分法

.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；

椭圆型方程的有限差分法

椭圆型方程的有限差分法

现在假定(xi , y j )为正则内点，沿x, y方向分别
用二阶中心差商代替u
xx
,
u
y
，则得
y
huij
[ui1, j
2uij h12
ui1, j
ui, j1 2uij h22
ui, j1 ]
fij , (3.2)
式中uij表示节点(i, j)上的网函数。若以uh , fh表示网格函数，
ui 1 ]

qiui

fi ,i 1,, N
1,
u0 ,uN ,
(2.10)
(2.9)
有限体积法
考虑守恒型微分方程：
Lu d ( p du ) q(x)u f (x)， (2.13) dx dx
如果把它看作是分布在一根杆上的稳定温度场方 程，则在[a,b]内任一小区间[x(1) , x(2) ]上的热量守 恒律具有形式
其中
Ri
(u)


h2 12
[d
4u(x) dx4
]i

O(h3 ),
(1.5)
当h足够小，Ri (u)是h的二阶无穷小量.
若舍去Ri (u)，则得逼近方程(1.1)的差分方程：
Lhui


ui 1

2ui h2
ui1
qiui

fi , (1.6)
式中qi q(xi ), fi f (xi ).记[Lu]i f (xi )，
x2
,,
xN
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题：
Lu d ( p du ) r du qu f a x b, (2.1)

椭圆问题的块中心有限差分多重网格法

椭圆问题的块中心有限差分多重网格法

椭圆问题的块中心有限差分多重网格法01 有限元法有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。

令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。

单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。

常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。

中心差分解两点边值问题

中心差分解两点边值问题

一．题目用中心差分格式计算如下两点边值问题 已知其精确解为 二．理论作为模型，考虑两点边值问题：(())()(),d du du Lu p x r q x u f x a x b dx dx dx=-++=<<…………（1.1） (),()u a u b αβ==…………（1.2）假定1min [,],()0,,,[,],,p C a b p x p r q f C a b αβ∈≥>∈是给定的常数。

1.建立差分格式（1）.区域网格剖分 首先取1N +个节点：将区间[,]I a b =分成N 个小区间：于是得到区间I 的一个网格剖分。

记1i i i h x x -=-，称max i ih h =为网格最大步长。

用h I 表示网格内点1x ，2x ，，1N x -的集合，h I -表示内点和界点0,N x a x b==的集合。

取相邻节点1,i i x x -的中点1121()(1,2,,)2i i i x x x i N --=+=，称为半整数点。

则由节点又构成[,]a b 的一个网格剖分，称为对偶剖分。

（2）.微分方程的离散，建立相应差分格式用差商代替微商，将方程（1.1）在内点i x 离散化.注意对充分光滑的u ，由Taylor 展式有2211121()()[][]()2i i i i i i i i u x u x h h du d uO h h h dx dx+-++--=+++………（1.3）………（1.5）由（1.5）减（1.4），并除以12i i h h ++，得 111111223211131222321123()()()()2[()()]2([][])[]()12[()][()][]()412i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i u x u x u x u x p x p x h h h h h h du dud u p p p O h h h dx dx dx h h h h d du d du d u p p p O h dx dx dx dx dx+-+-++++-+++---+-=-+++--=+++…………（1.6）令1122(),(),(),(),i i i i i i i i p p xr r x q q x f f x --====则由（1.3）（1.6）知，边值问题的解()u x 满足方程：11111122111()()()()2()[][()()]()()i i i i h i i i i i i i ii i i i i i i i u x u x u x u x L u x p p h h h h r u x u x q u x f R u h h +-+-+++-+--≡--++-+=++ …………（1.7）其中…………（1.8）为差分算子h L 的截断误差，舍去()i R u ，便得逼近边值问题（1.1）（1.2）的差分方程：11111122111()()()()2()[][()()]()i i i i h i i i i i i i ii i i i ii i u x u x u x u x L u x p p h h h h r u x u x q u x f h h +-+-+++-+--≡--++-+=+…………（1.9）i=1,2,…,N-1，由方程（1.7）（1.9），截断误差()i R u 可表示为()()(())i h i h i h i i R u L u x L u L u x u =-=- …………（1.10）当网格均匀，即(1,2,,)i h h i N ==时差分方程（1.9）简化为…………（1.11）这相当于用一阶中心差商，二阶中心差商依次代替（1.1）的一阶微商和二阶微商的结果。

椭圆型方程的差分方法63页PPT

椭圆型方程的差分方法63页PPT

椭圆型方程的差分方法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

偏微分方程数值解第8次课

偏微分方程数值解第8次课
其中
Lh wi = 0, i ∈ Ω h wi = α i , i ∈ Γ h Lh vi = ϕ i , i ∈ Ω h vi = 0, i ∈ Γ h
(2)
(3)
13
对于(2)式 对于 式
Lh wi = 0, i ∈ Ω h wi = α i , i ∈ Γ h
(2) 某微分方程数值解公式的局部截断误差为 O(hp+1 )
则整体截断误差为( 则整体截断误差为 )阶. 阶
0 −4 1 是3阶( 阶 (3) 1 −4 1 0 1 −4
)矩阵 其特征值是 ). 矩阵, 其特征值是( 矩阵
21
作业
P101 6,7
22
5
Hale Waihona Puke Ωh 连通yx
6
(2)极值原理 极值原理
一个特殊的微分方程
−∆ u ≤ 0, ( x , y ) ∈ Ω ⇒ u在 Ω 界 取 到 最 大 值 − u '' ≤ 0, x ∈ [a , b ] ⇔ u '' ≥ 0, x ∈ [ a , b ]
7
⇒ u在 a 或 b 取 到 最 大 值
(2)极值原理 极值原理
推论2.4.1 推论2.4.1 Lh v i ≥ 0, i ∈ Ω h
v i ≥ 0, i ∈ Γ h Lh v i ≤ 0, i ∈ Ω h v i ≤ 0, i ∈ Γ h
⇒ v i ≥ 0, ⇒ v i ≤ 0,
i ∈ Ωh i ∈ Ωh
8
比较原理
v i ≡ 0, ⇒ ui ≥ 0.
9
(3)五点格式的实用性分析
对于二维Possion方程第一类边值问题： 方程第一类边值问题： 对于二维 方程第一类边值问题

二维轴对称差分格式

二维轴对称差分格式

二维轴对称差分格式
二维轴对称差分格式是一种用于求解偏微分方程的数值计算方法。

它基于差分近似，将二
维空间离散化为一个网格，然后使用轴对称的差分格式来近似方程的导数。

具体来说，对于二维偏微分方程的求解，我们可以将空间离散化为一个网格，其中每个格点表
示空间中的一个点。

然后使用差分近似来计算网格中每个点的导数。

对于二维轴对称差分格式，我们采用以下近似的导数计算方法：
1. 对于横向的导数，可以使用中心差分格式，即用右边的格点减去左边的格点除以两个格点之
间的距离。

2. 对于纵向的导数，由于轴对称性，我们无法直接使用中心差分格式。

可以使用对称差分格式，即用上边的格点减去下边的格点除以两个格点之间的距离。

通过以上计算，我们可以得到网格中每个格点的导数近似值。

然后将这些近似值代入原方程中，可以得到一个离散化的方程组。

最后，通过求解这个方程组，可以得到偏微分方程的数值解。

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二维椭圆边值问题的差分格式 一．问题介绍 考虑Poisson方程：

（1） ,),(),,(Gyxyxfu G是xy平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线。在上u满足下列边值条件之一： （2） ),(yxu （第一边值条件），

（3） ),(yxnu（第二边值条件）， （4） ),(yxkunu（第三边值条件）， ),(),,(),,(),,(yxyxyxyxf及),(yxk都是连续函数，k0。本节讨论逼近方程（1）

及相应边值条件的差分格式。

二．区域剖分 取定沿x轴和y轴方向的步长1h和2h，212221)(hhh。作两族与坐标轴平行的直线： ,1ihx ,1,0i

,2jhy ,1,0j

两族直线的交点),(21jhih称为网点或节点，记为),(jiyx或（i, j）。说两个节点),(jiyx和),(jiyx是相邻的，如果

121hyyhxxjjii

或1jjii。

以GyxGjih),(表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点。以h表示网线ixx或jyy与的交点集合，并称如此的点为界点。令hGhhG，则hG

就是代替域GG的网点集合。若内点),(jiyx的四个相邻点都属于hG，就称为正则内点；否则称为非正则内点。

三．离散格式 1. 五点差分格式

假定),(jiyx为正则内点。沿x，y方向分别用二阶中心差商代替xxu和yyu，则有差分方程： ijhu[21,1,12huuujiijji+221,1,2huuujiijji] = ijf，

式中iju表示节点（i, j）上的函数值。 2. 九点差分格式

利用Taylor展式，将21,1,12huuujiijji和221,1,2huuujiijji在iju处展开，然后相加化简就得到逼近Poisson方程的九点差分格式： 

,),(),(121/)()(241212221222122211,11,11,11,11,,11,1jiyyjixxijjijijijijijijijiijijhyxfhyxfhfhhhhuuuuuuuuuu



四．格式稳定性 1. 五点差分格式的收敛阶为)(2hO

2. 九点差分格式的收敛阶为)(4hO 五．数值例子 例1 令u(x , y) = sin(x)sin(y)，区间[0,1] 。 程序结果如下：

输入划分区间的点数n(输入0结束程序)： 5 输入划分区间的点数m(输入0结束程序)： 5 xi yj 准确值u(x,y) 近似值u[i][j] 误差err[i] 0.166667 0.166667 0.250000 0.255791 0.005791 0.166667 0.333333 0.433013 0.443043 0.010030 0.166667 0.500000 0.500000 0.511581 0.011581 0.166667 0.666667 0.433013 0.443043 0.010030 0.166667 0.833333 0.250000 0.255791 0.005791 0.333333 0.166667 0.433013 0.443043 0.010030 0.333333 0.333333 0.750000 0.767372 0.017372 0.333333 0.500000 0.866025 0.886085 0.020060 0.333333 0.666667 0.750000 0.767372 0.017372 0.333333 0.833333 0.433013 0.443043 0.010030 0.500000 0.166667 0.500000 0.511581 0.011581 0.500000 0.333333 0.866025 0.886085 0.020060 0.500000 0.500000 1.000000 1.023163 0.023163 0.500000 0.666667 0.866025 0.886085 0.020060 0.500000 0.833333 0.500000 0.511581 0.011581 0.666667 0.166667 0.433013 0.443043 0.010030 0.666667 0.333333 0.750000 0.767372 0.017372 0.666667 0.500000 0.866025 0.886085 0.020060 0.666667 0.666667 0.750000 0.767372 0.017372 0.666667 0.833333 0.433013 0.443043 0.010030 0.833333 0.166667 0.250000 0.255791 0.005791 0.833333 0.333333 0.433013 0.443043 0.010030 0.833333 0.500000 0.500000 0.511581 0.011581 0.833333 0.666667 0.433013 0.443043 0.010030 0.833333 0.833333 0.250000 0.255791 0.005791 误差与步长的2-范数e[0]：0.000805 n为5和m为5时其最大误差：0.023163

输入划分区间的点数n(输入0结束程序）： 10 输入划分区间的点数m(输入0结束程序)： 10 xi yj 准确值u(x,y) 近似值u[i][j] 误差err[i] 0.090909 0.090909 0.079373 0.079915 0.000542 0.090909 0.181818 0.152316 0.153356 0.001040 0.090909 0.272727 0.212919 0.214372 0.001453 0.090909 0.363636 0.256273 0.258022 0.001749 0.090909 0.454545 0.278865 0.280768 0.001903 0.090909 0.545455 0.278865 0.280768 0.001903 0.090909 0.636364 0.256273 0.258022 0.001749 0.090909 0.727273 0.212919 0.214372 0.001453 0.090909 0.818182 0.152316 0.153356 0.001040 0.090909 0.909091 0.079373 0.079915 0.000542 0.181818 0.090909 0.152316 0.153356 0.001040 0.181818 0.181818 0.292292 0.294287 0.001995 0.181818 0.272727 0.408589 0.411378 0.002789 0.181818 0.363636 0.491784 0.495141 0.003356 0.181818 0.454545 0.535138 0.538790 0.003652 0.181818 0.545455 0.535138 0.538790 0.003652 0.181818 0.636364 0.491784 0.495141 0.003356 0.181818 0.727273 0.408589 0.411378 0.002789 0.181818 0.818182 0.292293 0.294287 0.001995 0.181818 0.909091 0.152316 0.153356 0.001040 0.272727 0.090909 0.212919 0.214372 0.001453 0.272727 0.181818 0.408589 0.411378 0.002789 0.272727 0.272727 0.571157 0.575056 0.003898 0.272727 0.363636 0.687454 0.692146 0.004692 0.272727 0.454545 0.748057 0.753163 0.005106 0.272727 0.545455 0.748057 0.753163 0.005106 0.272727 0.636364 0.687454 0.692146 0.004692 0.272727 0.727273 0.571157 0.575056 0.003898 0.272727 0.818182 0.408589 0.411378 0.002789 0.272727 0.909091 0.212919 0.214372 0.001453 0.363636 0.090909 0.256273 0.258022 0.001749 0.363636 0.181818 0.491784 0.495141 0.003356 0.363636 0.272727 0.687454 0.692146 0.004692 0.363636 0.363636 0.827430 0.833078 0.005647 0.363636 0.454545 0.900373 0.906518 0.006145 0.363636 0.545455 0.900373 0.906518 0.006145 0.363636 0.636364 0.827430 0.833078 0.005647 0.363636 0.727273 0.687454 0.692146 0.004692 0.363636 0.818182 0.491784 0.495141 0.003356 0.363636 0.909091 0.256273 0.258022 0.001749 0.454545 0.090909 0.278865 0.280768 0.001903 0.454545 0.181818 0.535138 0.538790 0.003652 0.454545 0.272727 0.748057 0.753163 0.005106 0.454545 0.363636 0.900373 0.906518 0.006145 0.454545 0.454545 0.979746 0.986433 0.006687 0.454545 0.545455 0.979746 0.986433 0.006687 0.454545 0.636364 0.900373 0.906518 0.006145 0.454545 0.727273 0.748057 0.753163 0.005106 0.454545 0.818182 0.535138 0.538790 0.003652 0.454545 0.909091 0.278865 0.280768 0.001903 0.545455 0.090909 0.278865 0.280768 0.001903 0.545455 0.181818 0.535138 0.538790 0.003652 0.545455 0.272727 0.748057 0.753163 0.005106 0.545455 0.363636 0.900373 0.906518 0.006145 0.545455 0.454545 0.979746 0.986433 0.006687 0.545455 0.545455 0.979746 0.986433 0.006687 0.545455 0.636364 0.900373 0.906518 0.006145 0.545455 0.727273 0.748057 0.753163 0.005106 0.545455 0.818182 0.535138 0.538790 0.003652 0.545455 0.909091 0.278865 0.280768 0.001903 0.636364 0.090909 0.256273 0.258022 0.001749 0.636364 0.181818 0.491784 0.495141 0.003356 0.636364 0.272727 0.687454 0.692146 0.004692 0.636364 0.363636 0.827430 0.833078 0.005647 0.636364 0.454545 0.900373 0.906518 0.006145 0.636364 0.545455 0.900373 0.906518 0.006145 0.636364 0.636364 0.827430 0.833078 0.005647 0.636364 0.727273 0.687454 0.692146 0.004692