【案例2】“离散型随机变量的期望“说课稿”
一、教材分析
1、教材的地位和作用
离散型随机变量的期望位于全日制普通高级中学教科书第三册第一章第2节，它是在学生已学了随机变量之后进而学习的新知识，是概率论与数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数。此外，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，学习期望为今后学习数学及相关学科产生重大作用。
2、教学重点与难点
要了解某班学生在一次数学测试中的总体水平，很重要的是看平均分。要了解射手的射击水平，关键的是看他在一次射击试验中平均命中环数。而期望正是反映随机变量在随机试验中取值的平均值。它在实际生活中有广泛的应用，因此期望的概念教学是本节课的重点。由于学生初次应用期望的概念解决实际问题比较困难，因此，期望的应用是本节课的教学难点。
二、教学目标
根据以上分析及学生的实际情况，确立本节课的教学目标如下：
1、知识与技能目标
（1）通过实例，形成并理解离散型随机变量期望的概念。
（2）会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决简单的实际问题。
2、过程与方法目标
（1）经历形成数学期望概念的过程，体会从特殊到一般的思想。
（2）通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
3、情感与态度目标
通过经历数学发现的过程，激发学生学习数学的情感，培养其积极探索的精神。
三、教法选择与学法指导
“发现学习”是美国著名心理学家布鲁纳所倡导的一种学习方法，它能最大限度地发挥学生学习的主观能动性，激发学习的兴趣，调动学习的积极性。高中新课程强调发展学生的应用意识，注重学生对新知识的探求和发现过程，因此本节课寻找学生熟悉的、感兴趣的问题进行情境创设、概念建构，让学生体会数学的应用价值，并学会用数学的视野去关注身边的数学。
四、教学过程分析
1、创设情境、引入新课
情境1——“赌徒分赌金”：A、B两个实力相当的赌徒同时分别掷骰子，各押赌注32个金币，规定谁先掷出3次“6点”就算赢对方。赌博进行了一段时间，A赌徒已掷出了2次“6点”，B赌友也掷出了1次“6点”，此时发生意外，赌博中断。两人应该怎样分这64个金币？
在学生的悬念中揭示课题：本节课学习解决这类实际问题的知识——数学
期望。
［设计意图］从学生感兴趣的博弈问题出发，设置悬念，吸引学生注意力，激发其兴趣和求知欲望，从而引入新课。
1、 解决问题、建构概念
情境2——糖果的价格：某商场要将每公斤价格分别为18元、，24元、36元的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等。问如何对混合糖果定价才合理？
通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理。进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：
根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×6
1=23（kg 元）。 探究1：如何从概率的角度来理解上述混合糖果的价格的计算式？
探究活动：教师引导学生分析：
∵3种糖果按3：2：1的比例混合销售，且混合糖果中每粒糖果的质量都相等， ∴每粒糖果被取到的概率分别为36，26和6
1，在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价分别为18元、24元或36元，若用ξ表示被取到的这粒糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为
E ξ=18×P （ξ=18）+24×P （ξ=24）+36×P （ξ=36）
这就是混合糖果的平均价格。可以看出，混合糖果的平价价格与三种糖果在混合糖果中出现的概率及三种糖果的价格有关。我们把E ξ称之为数学期望。
探究2：能否用数学语言表述数学期望概念的定义？
探究活动：从上述特例，师生共同概括出数学期望的一般定义：一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称
为ξ的数学期望或均值,用语言表述为：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。它反映了随机变量取值的平均水平。
［设计意图］ 以学生所熟悉的生活中的问题——平均价格为探究起点，将数学期望与学生所熟悉的平均值联系起来；接着舍去这个具体问题的意义，抽象出一般的离散型随机变量的期望的概念，并用文字语言描述抽象的数学公式，以加深公式的记忆。这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法。
探究3：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？
探究活动：通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。
［设计意图］ 期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解。
2、 实际应用、实现迁移
例1 有一批数量很大的产品，其次品率是15℅ 。对这批产品进行抽查，
⋅⋅⋅+•+⋅⋅⋅+•+•=n n p x p x p x E 2211ξ
每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望。
师生活动：教师强调，解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。并且ξ取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯。然后学生运用数学期望的定义来解题。
解完例1后师生共同归纳求离散型随机变量期望的步骤：
（1）确定离散型随机变量ξ的取值。
（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否。
（3）求出期望。
［设计意图］通过例题的解答，以巩固对数学期望的理解，并通过总结、归纳解题步骤，将解题经验上升为理性水平。
例2 目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率为0.03。现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一年的保费为1000元,若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿3000元。一年内，一辆车保险公司平均收益多少？
在解完题后，给出下式变式练习：
变式①：一辆车一年的保险费为1000元，若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿n 元，一年中一辆车受损的概率为0.03，则赔偿金n 至少定为多少元，
