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关于离散型随机变量数学期望的几种求法离散型随机变量数学期望是衡量随机变量数字大小指标之一，也是概率论与数理统计中最基本也最重要的概念。
它可以体现利用该变量值观察数据的水平。
本文将介绍离散型随机变量的求数学期望的几种方法。
首先，关于离散型随机变量的数学期望，最基本的求法是加法法则。
即将分布函数f（x）的每一个取值乘以相应样本量x取，并把所有乘积相加就可以得到离散型随机变量的数学期望。
用数学符号表示就是：E[X] = Σ xf (x)。
如果离散型随机变量X的取值和概率f (x)都很多，那上述乘加过程就不方便进行。
此时，可以利用乘法法则求数学期望。
乘法运算公式表示如下：E[X] = Σ xP(X=x)。
乘法运算的结果可以让抽样的数据简单明了，只要把每一个X的取值乘以相应的概率P(X=x)即可得到期望值，这不仅仅可以大大简化计算，而且是个较为可靠的评价指标。
而数学期望的另一种求解方法则叫做函数法则，其思想就是把μ作为一个函数，给定P(x)，当E[X]为函数f (X)，其结果可由函数f(X)与P(X)给出，函数法则可以有效降低传统加法法则求法中变量和概率的乘积，减小计算量，提高效率。
最后还有另一种求离散型随机变量数学期望的方法，它叫做采样平均法，这种法则的思想就是，根据我们了解到的离散型随机变量的取值及概率，以此为基础，根据实际的情况随机抽取一定数量的样本来分析离散型随机变量的期望，然后将抽到取值的平均值作为期望值来表示。
用数学符号表示就是：E[X] =抽样值x1+ x2 +。
+xn/n。
该方法结果较加法法则有一定的偏差，但也较准确。
总结来说，以上三种不同的方法都可以用来求离散型随机变量的数学期望，每一种方法都有其使用优劣之处。
但是，总体来说，最佳的方式是采用函数法则，当然，这也取决于需求的精确度。
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解问题的特性和规律。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn其中，xi为随机变量X的取值，pi为对应的概率。
通过这个公式，我们可以计算出离散型随机变量的期望值。
例如，假设有一个随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
通过这个公式，我们可以计算出连续型随机变量的期望值。
例如，假设有一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，取值区间为[0, 1]，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量X的期望值为2/3。
三、随机变量的期望值计算的应用随机变量的期望值计算在概率论和统计学中有着广泛的应用。
通过计算随机变量的期望值，我们可以得到随机变量的平均取值大小，从而更好地理解问题的特性和规律。
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量期望和方差是统计学中一个重要的知识点，也是概率论的基础知识。
期望和方差是离散随机变量可以推断出的一些重要数学性质，它们反映了离散随机变量的变化趋势。
在数学表述上，离散型随机变量的期望是指，取值不同的概率乘以该值的积分的平均值，用记号μ (mu)表示。
期望是离散型随机变量的基本特征，它描述了离散型随机变量中最有可能出现的值的程度，它的大小也反映了随机变量的中心位置。
离散型随机变量的方差是指期望和均值之差的平均平方值，用记号σ2 (sigma squared)表示，其中σ (sigma)是标准差。
方差反映了离散型随机变量取值之间的方差，它比较了每一个取值与离散型随机变量在期望上的偏差，表示了离散型随机变量取值分布情况。
运用离散型随机变量的期望和方差可以推断出更多的信息，即对离散随机变量要有更深入的了解，以便于更准确的预测。
可以利用期望和方差的知识来分析一个离散随机变量的发展趋势，以及在分析工具使用中的投资组合。
总之，离散型随机变量的期望和方差是随机变量分析的基础，也是揭示离散随机变量分布情况的重要工具，在众多领域都有重要的应用价值，如统计分析、投资组合设计等等。
以上就是关于离散型随机变量期望和方差的主要内容。
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。
2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。
2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。
离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 …x n …
P p1 p2 …p n …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n =
1
，Eξ＝（x1+x2+…+x n）
×
푛
1
，所以ξ
的数学期望又称为平均数、均值．
푛
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，
p2，…，p n…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ퐷휉是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根퐷휉叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散
的程度；
1/ 2
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
2/ 2。
离散型随机变量的期望在我们的日常生活中，充满了各种各样的不确定性和随机性。
比如，明天的天气是晴是雨，一次考试的成绩高低，抽奖时是否能中奖等等。
而在数学的世界里，有一种工具可以帮助我们更好地理解和处理这些随机现象，那就是离散型随机变量及其期望。
首先，让我们来搞清楚什么是离散型随机变量。
简单来说，离散型随机变量就是指其可能取值可以一一列举出来的随机变量。
举个例子，投掷一枚骰子，出现的点数就是一个离散型随机变量，因为它的可能取值只有 1、2、3、4、5、6 这六种。
再比如，某商店一天内卖出的某种商品的数量，也是一个离散型随机变量，可能是 0 件、1 件、2 件等等。
那么，期望又是什么呢？期望可以理解为离散型随机变量取值的平均水平。
它反映了在大量重复试验中，这个随机变量的平均值。
比如说，我们多次投掷一枚均匀的骰子，把每次出现的点数加起来再除以投掷的次数，当投掷次数足够多的时候，得到的平均值就接近这个骰子点数的期望。
为了更清楚地理解离散型随机变量的期望，我们来看一个具体的例子。
假设一个抽奖游戏，抽奖箱里有 10 个球，其中 3 个红球，7 个白球。
抽到红球可以获得 5 元奖励，抽到白球没有奖励。
那么抽到红球就是一个离散型随机变量 X，X 取值为 1（抽到红球）和 0（抽到白球），对应的概率分别为 03 和 07 。
这个离散型随机变量的期望 E(X)就等于 1×03 ＋ 0×07 ＝ 03 。
这意味着，如果进行多次抽奖，平均每次能获得的奖励大约是 03 元。
离散型随机变量的期望具有很多重要的性质。
比如，常数的期望就是这个常数本身。
假设 c 是一个常数，那么 E(c) ＝ c 。
再比如，对于两个离散型随机变量 X 和 Y ，它们的和的期望等于期望的和，即 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y) 。
期望在实际生活中的应用非常广泛。
在经济学中，企业可以通过计算某种产品的销售量的期望来预测收益，从而做出生产决策。
离散型随机变量期望与方差引言离散型随机变量是概率论与统计学中的重要概念之一。
在处理离散型随机变量时，我们经常需要计算其期望与方差，以帮助我们了解变量的分布特征。
本文将详细介绍离散型随机变量的期望与方差的定义及其计算方法。
期望的定义与计算离散型随机变量的期望表示了该随机变量可能取值的加权平均。
如果离散型随机变量X的取值为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn，那么随机变量X的期望可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + … + xn * pn其中E(X)表示变量X的期望。
下面以一个简单的例子来说明期望的计算过程。
假设某班级有10个学生，他们的考试成绩（以百分制计）分别为60、70、80、90、90、80、70、80、90、60，对应的概率分别为0.1、0.2、0.1、0.2、0.1、0.05、0.1、0.1、0.05、0.1。
现在我们来计算这些考试成绩的期望。
60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.1 + 90 * 0.2 + 90 * 0.1 + 80 * 0.05 + 70 * 0.1 + 80 * 0.1 + 90 * 0.05 + 60 * 0.1 = 79所以，这些考试成绩的期望为79。
方差的定义与计算离散型随机变量的方差反映了该变量的取值相对于其期望的离散程度。
方差的计算公式如下所示：Var(X) = E((X - E(X))²) = (x1 - E(X))² * p1 + (x2 - E(X))² * p2 + … + (xn - E(X))² * pn其中Var(X)表示变量X的方差。
方差的计算比较繁琐，但仍然是可行的。
我们可以利用先前计算得到的X的期望，将其带入方差计算公式中，即可求得方差的值。
继续以前面的例子进行说明，我们已经计算得到班级考试成绩的期望为79。
离散型随机变量的期望计算离散型随机变量的期望是概率论中重要的概念之一，它用来描述随机变量的平均值。
在本文中，我们将详细介绍离散型随机变量的期望计算方法及相关概念。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指取有限或可数个数值的随机变量。
其概率分布以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来表示。
设X 为一个离散型随机变量，其取值集合为{x1,x2,...,xn}，相应的概率为{p1,p2,...,pn}，则其概率质量函数可以表示为：P(X=x1) = p1P(X=x2) = p2...P(X=xn) = pn二、离散型随机变量的期望计算离散型随机变量的期望计算公式为：E(X) = ∑(xi * pi)其中，xi为随机变量X的取值，pi为相应的概率。
以一个简单的例子来说明期望的计算过程。
假设一批产品中有A、B、C三种类型，其数量分别为10、20、30个，出厂时的价值分别为100、200、300元。
我们可以定义随机变量X代表产品的类型，随机变量Y代表产品的价值。
根据数据，我们可以得到离散型随机变量X 和Y的概率质量函数如下：X的概率质量函数为：P(X=A) = 10 / 60 = 1/6P(X=B) = 20 / 60 = 1/3P(X=C) = 30 / 60 = 1/2Y的概率质量函数为：P(Y=100) = 10 / 60 = 1/6P(Y=200) = 20 / 60 = 1/3P(Y=300) = 30 / 60 = 1/2根据期望计算公式，我们可以计算出X和Y的期望：E(X) = (A * 1/6) + (B * 1/3) + (C * 1/2)= (10 * 1/6) + (20 * 1/3) + (30 * 1/2)= (10/6) + (20/3) + (30/2)= 5/3 + 20/3 + 15= 20/3 + 20 + 15= 40/3 + 15= 55/3≈ 18.33E(Y) = (100 * 1/6) + (200 * 1/3) + (300 * 1/2)= (100/6) + (200/3) + (300/2)= 50/3 + 200/3 + 300/2= 250/3 + 300/2= 250/3 + 450/3= 700/3≈ 233.33三、期望的解释与应用离散型随机变量的期望可以理解为随机变量的加权平均值。
概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结一：期望引入：1.1离散型随机变量的期望注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。
1.2连续型随机变量的期望注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。
1.3期望的性质注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。
二：随机变量函数（复合随机）的数学期望1.理解注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。
三：方差引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和：定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。
3.1离散型随机变量的方差3.2连续性随机变量的方差3.3方差的性质注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下四：协方差4.1定义注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。
4.2离散型二维随机变量的协方差4.3连续型二维随机变量的协方差4.4二维随机变量的协方差性质注：了解即可…4.5协方差矩阵五：相关系数所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。
参考链接：。
离散型随机变量的期望和方差的计算与分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一个随机试验的结果。
离散型随机变量是指取有限个或可数个数值的随机变量。
在概率论和统计学中，我们经常需要计算和分析离散型随机变量的期望和方差，以便更好地理解和描述概率分布的特征。
一、离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值。
设X是一个离散型随机变量，其可能取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn。
那么X的期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn期望可以理解为随机变量的平均取值，它能够反映出随机变量的集中趋势。
例如，假设有一个骰子，其可能的结果为1、2、3、4、5、6，每个结果出现的概率均为1/6。
那么骰子的期望为：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5这意味着在大量的骰子投掷中，我们可以预期的结果接近于3.5。
二、离散型随机变量的方差方差是对随机变量取值的离散程度的度量。
离散型随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn -E(X))^2 * pn方差的计算过程可以简单理解为，对随机变量的每个取值与期望的差异进行平方，并乘以对应的概率，最后将所有结果相加。
方差可以帮助我们判断随机变量的分布形态。
如果方差较小，说明随机变量的取值相对集中，分布形态较为陡峭；如果方差较大，说明随机变量的取值相对分散，分布形态较为平坦。
以骰子为例，骰子的方差为：Var(X) = (1 - 3.5)^2 * 1/6 + (2 - 3.5)^2 * 1/6 + (3 - 3.5)^2 * 1/6 + (4 - 3.5)^2 * 1/6 + (5 - 3.5)^2 * 1/6 + (6 - 3.5)^2 * 1/6 = 2.9167这意味着骰子的取值相对分散，分布形态较为平坦。
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量是指其概率分布中的取值非连续，比较容易准确衡量的一种变量。
它的期望（Expectation）和方差（Variance）很容易求取，分别表示离散型
随机变量的平均值与离差的大小。
其具体的期望和方差的计算公式分别为：
期望：E(X)=∑(X×P(X))
方差：Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
其中，E(X)是离散型随机变量X的期望，P(X)是该随机变量X出现各种取值的
概率，Var(X)是X的方差。
从数学角度看，衡量离散型随机变量不同取值组合对系统产生的影响大小，首
先要做的就是求取这些函数的期望和方差。
以上公式可以很好地满足这一要求，只要知道每种取值的概率分布，按照公式便可轻松求得它的期望和方差。
计算期望和方差更重要的意义在于，它可以作为评价随机变量取值组合优劣的
标准。
期望和方差能够对随机对象的平均水平和变异程度有一个明确而准确的量化，是经济学研究中不可或缺的一项重要工具。
因此，熟练掌握离散型随机变量的期望和方差计算公式，可以有效的指导系统
优化、风险分析等管理与计算中的实际应用。
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.1．（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B． 2 C．D． 32．（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A． 100 B． 200 C． 300 D． 4003．（2007•四川）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（）A．150.2克B．149.8克C．149.4克D．147.8克4．（2014•浙江二模）李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是（）A．B． 1 C．6×（）6D． 6×（）6 5．从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）=3，则D（X）=（）A．B．C．D．6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（）A．B．C．D． 17．某射手射击击中目标的概率为0.8，从开始射击到击中目标所需的射击次数为ξ，则Eξ等于（）A．B．C．D．58．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ_________（结果用最简分数表示）．9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4．P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b= _________．10．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=_________．11．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是_________．12．（2014•温州一模）现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望Eξ为_________．13．从1，2，3，…，n﹣1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为Eξ，则Eξ=_________．14．（2013•闸北区二模）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________．15．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=_________．16．（2013•嘉兴一模）一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=_________．17．（2013•虹口区二模）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=_________．18．（2012•台州一模）把2对孪生兄弟共4人随机排成一排，记随机变量ξ为这一排中孪生兄弟相邻的对数，则随机变量ξ的期望Eξ=_________．19．（2012•杭州二模）（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=_________．20．（2011•温州二模）甲、乙两个同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机从中拿回两本，记甲同学拿到自己书的本数为ξ，则Eξ=_________．21．一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=_________．22．设口袋中有黑球、白球共9个球，从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_________．23．（2011•嘉定区三模）某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差Dξ=_________．24．（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．25．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．26．（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．27．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．28．甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．29．一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线．试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．30．（2014•淄博三模）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分剐为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．。
2．3．1离散型随机变量的期望教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值x i（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…x i…P P1P2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质：⑴P i≥0，i＝1，2，...；⑵P1+P2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ0 1 …k …nP ……称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么（k＝0,1,2,…，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 …k …P ……称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…，．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有次得4环；次得5环；…………次得10环．故在n次射击的总环数大约为，从而，预计n次射击的平均环数约为．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:…．1.均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…x n …P p1p2…p n…则称……为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机ξx1x2…x n …η……P p1p2…p n…于是……＝……)……)＝，由此，我们得到了期望的一个性质:5.若ξB（n,p），则Eξ=np证明如下：∵，∴0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．又∵，∴＋＋…＋＋…＋．故若ξ～B(n，p)，则np．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为，所以例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B （20,0.9）,,由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即X1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即同样，采用第3 种方案，有于是，EX1＝3 800 ,EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：∵，=3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：（=1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得的期望例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 6P所以1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ15161718P 0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；(Ⅱ)∵η=2ξ+2∴2Eξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（）A．4；B．5；C．4.5；D．4.75答案：C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为，，所以1×＋0×⑵η的概率分布为η0 1 2P所以0×＋1×＋2×＝1.4．⑶ξ的概率分布为ξ０１ 2 3P所以0×＋1×＋2×＝2.1.3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．∴P(ξ=k)=P n(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．∴ξ～B(n,)，故Eξ =n×=五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E （aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数 (=0、1、2)则的要布列为0 1 2p于是 E （）=0×+1×+2×=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数①求的概率分布列②求的数学期望解：①依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取2黑 p(=0)==1时，取1黑1白 p(=1)==2时，取2白或1红1黑p(=2)= +=3时，取1白1红，概率p(=3)==4时，取2红，概率p(=4)=0 1 2 3 4∴分布列为p（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，A i表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）表示第i台仪器不出现故障，则：p(=1)=p(A1··)+ p(·A2·)+ p(··A3)=p1(1－p2) (1－p3)+ p2(1－p1) (1－p3)+ p3(1－p1) (1－p2)= p1+ p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1· A2·)+ p(A1··)+ p(·A2·A3)= p1p2 (1－p3)+ p1p3(1－p2)+ p2p3(1－p1)= p1p2+ p1p3+ p2p3－3p1p2p3p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p1+p2+p3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为0 1 2P5. 、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布；（2）求，解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0根据题意知，所以（Ⅱ）；因为,所以七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 。
