数值计算第一章

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0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2

1 1

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§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2


b

b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
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当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2

1 1

3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6

2 6

0.0040960

5
6


0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1



5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性

控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]

，。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。