数值分析第1章(0)

1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */

* r

1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r

1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)

n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件

第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。

误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。

相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。

常用计算。

相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。

绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。

从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。

关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。

(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。

一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。

一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。

二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。

1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:

按来源分，分为固有误差和计算误差。

固有误差：建立模型时已存在。 •模型误差：建立数学模型时所引起的误差； •观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。
•截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单 代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的 误差； •舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
如果存在一适当小的正数ε r（

x * ），使得

e( x ) (x ) er ( x ) r (x ) x x
则称ε r（ x * ）为相对误差限。
例：x=15,
ε (x *) =2， ε r(x)=2/15=13.33%； y=1000, ε (y *)=5 , ε r(y)=5/1000=0.5%； v=3*105km/s，ε (v *) =0.9，ε r(v *)= 0.0003%； v1=0.34km/s, ε (v1 *)=0.9 , ε r(v 1*)=265 %； v1的测量误差无法容忍！

能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。
命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释 这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为 他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点76年才能

一见的哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让 士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里 出现。

计算误差：计算过程中出现的误差。
例：平面二连杆机械手
x l1 cos l2 cos y l1 sin l2 sin

数值分析第一章作业1. 数值计算方法设计的基本手段是（）.（A ）近似 （B ） 插值 （C ） 拟合 （D ） 迭代2. 为了在有限时间内得到结果，用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精 确解之间的误差称为（）.（A ）舍入误差 （B ） 截断误差 （C ） 测量误差 （D ） 绝对误差3. 由于计算机的字长有限，原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生 的误差统称为（）.（A ）舍入误差 （B ） 截断误差 （C ）相对误差 （D ） 绝对误差 4. 数值计算方法研究的核心问题可以概括为（）对计算结果的影响. （A ）算法的稳定性（B ） 算法的收敛性 （C ）算法的复杂性 （D ） 近似 N dx5. 当N 充分大时,利用下列各式计算I 二 半,等式（）得到的结果最好. •N 1 +x（A ） I =arcta n （N 1）-arcta n （N ） （B ）I 二 arcta n （N 2 N 1） 6.计算（、、2-1）6,取；2 1.4,利用下列哪个公式得到的结果最好 ？为什么？7. 计算球体的体积，已知半径的相对误差限不超过 3 10”，则计算所得体积的相 对误差限如何估计？8. 设x 0,近似值x 的相对误差限为:,试估计In x 的误差限.9. 计算圆柱体的体积，已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过、：，则 计算所得体积的相对误差限如何估计?.10. 用秦九韶算法求f （x ） = 4x 3「3x 2 • x 「1在x = 2处的值.111. 已知近似值 X =1.0000 的误差限；（x ）=1 10，, f （x ）二丄 X 2,求；（f （x ））,并16说明X”及f （X”）的各有几位有效数字.(C)I = arcta n( 2 N 2 N 1) (D)(A) 1(；2 1)6 (B) (3-2运3 (C) 1(3 - 2 ・(D) 99 - 70、212. 设a为非零常数，已知y0的近似值y0,由递推式y n =ay n斗计算序列｛y n｝的近似值,分析该算法的稳定性.。

6 2730.5000 5051.0000 5051.5000
7 10922.5000 23483.0000 23483.5000
8 43690.5000 80827.0000 80827.5000
21.000000000000000 17.000000000000000 16.238095238095237 16.058823529411764 16.014662756598241 16.003663003663004 16.000915583226515
3、 用规范化幂法求
按模最大的特征值和对应的特征向量，取初值
。当特征值有3位小数稳定时停止。
4、 用反幂法求矩阵
练习五
，迭代7次。
的最接近于6 的特征值和对应的特征向量，取初值
例1 令
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
例2 已知函数
的如下函数值表，
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f (x)
1.00
16.007498295841852 16.002385008517887
16.002177786576915 16.00069286350589
则开根号得 4.000114446266071 4.000272214059553 4.000086607000640
，对应的特征向量为
，
第五章答案
2. 解： 正则方程组为
38.000
19.5000
18.199999999999999 16.636363636363637
16.578947368421051 16.179487179487179
16.120879120879120 16.038251366120218

f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x

x0
)(x

x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1

21024(2-2-52) ≈10308 The smallest normalized positive machine number： 2-1024(1+2-52) ≈10-308
If ︱x︱< 10-308 , then result in underflow, fl(x) is set to zero； If ︱x︱>10308, then result in overflow, the computation will halt.
计算机数系
(Collection of machine numbers)
reference books
误差及其运算
(Errors and Operations)
▲
什么是算法和计算量？ 什么是算法和计算量？ （Algorithm and Calculated Quantities ）
▲
Calculated Quantities
A
cij = ∑ a ik b kj i = 1,
k =1
n
,m; j = 1,
B
( ((anx + an−1)x + an−2)x + + a1)x + a0
The Number of Operations of AB is
N= (m ×n ×s )flop
计算机数系(Collection of machine numbers)
Basic Concepts in Numeric Analysis 算法与计算量
(Algorithm and Calculated Quantities)
2.<应用计算方法教程>, 张晓丹,郑连存等编,机械出版 社,2008,6 3. 《科学和工程计算基础》，施妙根、顾丽珍 编著，清华大学 出版社。1999

第一章绪论1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。

* * e* x * _x解：近似值x*的相对误差为:.=e*x* x*1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e*x*进而有；(ln x*)::.2•设x的相对误差为2%求x n的相对误差。

解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1n A.x nx .又7 f '(x)= nx n」C p|=nn又；；r((x*) n) ： C p ；,x*)且e r (x*)为2.；r((x*)n) 0.02 n3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0.解：x；=1.1021是五位有效数字；X2 =0.031是二位有效数字；X3 =385.6是四位有效数字；x4 = 56.430是五位有效数字；x5 -7 1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4.* * * *其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:*1 4；(x-| ) 102* 1 3;(x 2) 102* 1 1；(x 3) 10 * 1 3；(x 4) 102* 1 1；(x 5) 102 (1)；(为 X 2 X 4)=；(为)亠：(x 2)亠：(x 4)=1 10 4 110 J 丄 10^2 2 2= 1.05 10”* * * (2)(X 1X 2X 3)* * * ** * ** *X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2)1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10(3) XX 2/X 4)X 40.031 110” 56.430 丄 10’2 256.430 56.430=10°5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 43解：球体体积为V R 3则何种函数的条件数为=1.1021汉 0.031 汉 * 汉10」+0.215RV' R 4 - R2Ik -3；r(V*) ： C pL；r(R*) =3；r(R*)1故度量半径R时允许的相对误差限为；r(R*) 1 ：0.3336•设Y0=28，按递推公式丄J783 (n=1,2,…)100计算到Y oo。

13 14
3．计算复杂性尽可能小 从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小， 即所谓计算复杂性问题。它由以下两个因素决定的： 使用中央处理器 CPU）的时间，主要由四则运算 使用中央处理器（ 的时间 主要由四则运算 的次数决定； 占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决 定。
4．要有数值化结果 数值计算的许多方法是建立在离散化的基础上进 行的， 其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似 解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导 致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进 行分析、比较来选定算法。 对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其 收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明 提供线索。
x2 =
−b − b 2 − 4ac 2c = 2a −b + b 2 − 4ac
9
来严重影响 应尽量避免 来严重影响，应尽量避免。 例3
，
在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程
⎧0.00003 x1 − 3 x 2 = 0.6 ⎨ x1 + 2 x 2 = 1 . ⎩
组
2 ×10 =1 . 109 + 109
§1.1
预备知识
一、集合
把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一 个整体，称为集合。 表示方法：描述法；列举法。 分类：有限集；无限集（可列集，不可列集） 。
9
10
可列集（可数集） ： 设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数 编号（即 A 与自然数集 N 一一对应） ，使 A 写成 A={ A { a1 , a2 , a3 ,L an ,L },则称 A 为可列集 （或可数集） 。 否则，称为不可列集。 如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列 集；无理数集、[0，1]中的全体实数构成的集合是不 可列集。

6
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......;
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 3.1415
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
3
例
已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问
问应取几位有效数字？ 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
a1 1 0.
令
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
5
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：
x * x x *
通常记为
x x *
1
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。

误差来源与分类
在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽 象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别.—模型误差
在建模和具体运算过程中所用的数据往往 是通过观察和测量得到的,由于精度的限制, 这些数据一般是近似的,即有观测误差
误差来源与分类
如:
或
x x s*ize of the exact value.
误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏.
若对于 x 15 2
x* 15
(x*) 2
y 1000 5 y* 1000
定义2哪. 个设更x为精准确N确呢Soinwa值f?eyoDrIr…rBow,moxnuxrowa*’t*uott为 bhwilftodeaeh2ncntlxa0al’1id的 tcutsmmoks5cteeeh一 ai±吗 sn…lieltdt’1个 rhistecoa？5lmsfta近i%mt5?i%v似 pele(值 . y
数值运算的误差估计
问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x) Mean Value e*(x) = x* x
Theorem
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
* 3.141 592 7 有8位有效数字
* 3.1415 只有4位有效数字
有效数字
x的近似值 x*可以表示成下列形式：
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) 其中a（i i 1, , n) 是0到9中的一个数字。

*
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
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第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为

数值分析 第一章： 误差估计绝对误差，相对误差，有效数字。

大数吃小数。

（填空）三角分解（大题）杜利脱尔分解，克洛脱分解，乔列斯基分解，平方根法，追赶法， 例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为 ，问： 各是多少？两直杆的实际长度 在什么范围内？ 例2 设 是分别由准确值 经过四舍五入而得到的近似值， 问： 各是多少？例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005， 问：各个近似值有几位有效数字？求和时从小到大相加，可使和的误差减小。

1、下列各近似值均有四位有效数字，试指出它们的绝对误差限和相对误差限。

2、下列近似值的绝对误差限都是0.0005，试指出它们有几位有效数字。

3、在四位十进制的限制下，试选择精确度最高的算法，计算下式的值。

答案：1、0.000005,0.03712%;0.005,0.04052%;0.0005,0.04167%.2、4、2、03、1342004、 高斯消去法步骤：(1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。

例1在四位十进制的限制下，分别用不选主元高斯消去法与列选主元高斯消去法求解下列方程组。

mm b mm a 24,312==)( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεεm m y m m m m x m m b b b a a a m m b a r r 5.245.23,5.3125.311%,08.2245.0)()( %,16.03125.0)()( ,5.0)()(≤≤≤≤≈==≈====εεεεεε1200.2,18.2=-=b a )( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεε%0024.01200.200005.0)()( %,23.018.2005.0)()( 05000.0)(,005.0)(≈==≈====b b b a a a b a r r εεεεεε41086.0,0312.0,38.1-⨯=-==c b a 200.1,341.12,01347.0-=-==c b a 00032.0,042.0,00031.1-==-=c b a 906050401013402++++⨯=u )1(41,1411---==+n n n n y ny n y y 1231231230.012 0.0100.1670.67810.8334 5.91012.132001200 4.2981x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：用顺序消去法的消元过程：回代后，得列选主元高斯消去法的消元过程：回代后，得杜利脱尔分解：如果方程组 Ax =b 的系数阵 A 能分解为A =LU ， 其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.例1.3 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解解方程组解：设 比较两边系数得:3215.546,100.0,104.0x x x ===-3215.546,45.76,17.46x x x ==-=11121212221210010010n n n n nn u u u l u u A l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦320.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4101467445410179810-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥--⨯-⨯⎣⎦3550.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4100117510654710-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥-⨯-⨯⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦232001200 4.200981.000.45845.90911.7900.5500100.16700.6744-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦32001200 4.200981.000.4584 5.90911.79000.096090.5329⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦.201814513252321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x LU u u u u u u l l l =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211323121111513252321⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=======2454132321333223223121131211u l u u l l u u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2441321153121U L 于是练习： 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解 A=LU 解方程组。