第5讲 绝对值不等式
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅
|x|＞a {x|x＞a或x＜－a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
2．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
上述定理还可以推广得到以下几个不等式：
(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；
(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；
(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
[教材衍化]
1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为________．
解析：由题意得|2x－5|<9，|2x－5|≥3， 即－9<2x－5<9，2x－5≥3或2x－5≤－3，
解得－2
所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．
答案：(－2，1]∪[4，7)
第二十四讲：绝对值不等式
【学习目标】
1．掌握利用绝对值的性质解决单绝对值不等式
2．利用分类讨论方法，解决双绝对值不等式
【基础知识】
一、单绝对值不等式
1、||axbcaxbcaxbc或
2、||axbccaxbc
二、双绝对值不等式
||||axbcxde
根据每个零点，进行分类讨论，写成分段函数的形式.
【考点剖析】
考点一：单绝对值不等式
例1．求下列绝对值不等式的解集：
（1）|2|30x；（2）|12|2x．
【答案】（1）33,,22；（2）13,22
【详解】
解：（1）
|2|30x
|2|3x，
23x或23x
解得32x或32x，
所以原不等式的解集为33,,22． （2）由原不等式可得|21|2x，即2212x，解得1322x，
所以原不等式的解集为13,22．
变式训练1：解不等式：213xx.
【答案】1,5
【详解】
解：原不等式可化为210213xxx或210,123xxx.
解不等式组，得1,5x.
变式训练2：求下列绝对值不等式的解集：
（1）1||0x；（2）|3|22x．
【答案】（1）；（2）{|3}xx
【详解】
解：（1）1||0x
||1x
又根据绝对值的几何意义知||0x
故原不等式无解，解集为
（2）|3|22x
|3|0x
又根据绝对值的几何意义知|3|0x
|3|0x
3x 故原不等式的解集为：{|3}xx
考点二：双绝对值不等式
例2．解绝对值不等式：33215xx
【答案】7,42；
【详解】
33215xx
绝对值不等式的解法
绝对值不等式是数学中非常常见和重要的一类不等式，它的解法依赖于绝对值函数的性质以及不等式的具体形式。本文将系统地介绍绝对值不等式的解法方法，以帮助读者更好地理解和运用。
一、绝对值不等式的定义和性质
绝对值是一个数在不考虑其正负的情况下的实际值。在数学中，绝对值函数可以表示为|a|，其中a是一个数。绝对值函数的性质如下：
1. 非负性：|a|≥0，即绝对值函数的值永远大于等于0。
2. 正数性：|a|>0当且仅当a≠0。绝对值函数在a不等于0时取正数。
3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和。
二、绝对值不等式的解法思路
对于绝对值不等式，我们通常采用以下思路进行求解：
1. 分析绝对值的取值范围和条件：根据不等式的形式，判断绝对值函数的取值范围和条件，将不等式分解成几个子情况。
2. 分别求解子情况：对于每个子情况，利用绝对值函数的性质和数学方法求解不等式。
3. 综合得出最终结果：将所有子情况的解合并起来，得出最终的不等式解集。 下面将结合具体的例子，来展示绝对值不等式解法的具体步骤。
例一：|x+2|<5
首先，我们根据不等式的形式可知，存在两种情况：
情况一：x+2>0时，即x>-2
将不等式转化为：x+2<5，即x<3
根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：-2
例二：|2x-1|≥3
同样地，我们根据不等式的形式可以得到两种情况：
情况一：2x-1≥0时，即x≥1/2
将不等式转化为：2x-1≥3，即2x≥4，x≥2
情况二：2x-1<0时，即x<1/2
将不等式转化为：-(2x-1)≥3，即-2x+1≥3，-2x≥2，x≤-1
根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：x≤-1或x≥2
综上所述，通过分析绝对值的取值范围和条件，以及分别求解子情况并综合得出最终结果的步骤，我们可以解决各种形式的绝对值不等式。通过熟练掌握这些解法，可以更好地应用于实际问题中，提高数学解题的能力。 总结：
第2节 绝对值不等式
考
点 出现频率 2022年预测
考点120绝对值不等式的求解 23次考4次 2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等． 考点121含绝对值不等式的恒成立问题 23次考12次
考点122不等式的证明 23次考7次
基础知识诊断
回顾教材 务实基础
【知识梳理】
1.绝对值三角不等式
定理1：如果ab，是实数，则||||||abab，当且仅当0ab时，等号成立．
定理2：如果abc，，是实数，那么||||||acabbc，当且仅当()()0abbc时，等号成立．
||||||||ababab当且仅当|ab且0ab时，左边等号成立，当且仅当0ab时，右边等号成立.
2.绝对值不等式的解法
（1）绝对值不等式axbc，axbc类型.
1.cbax的解法：
.当0＞c时，不等式解集为：cbaxc
.当0＜c时，不等式解集为：空集
2.axbc的解法：
.当0＞c时，不等式解集为：cbaxcbax或
.当0＜c时，不等式解集为：全体实数
（2）绝对值不等式cbxaxcbxax类型
绝对值的几何意义：a的几何意义是：数轴上表示数轴上点a到原点的距离．
ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab两点的距离．
ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab的两点的距离．
bxax的几何意义是：数轴上表示点x到,ab的两点的距离和，故babxax
利用图像和几何意义解cbxax或cbxax的解集． 分区间讨论：bxbaxbxaabaxbaxbxax22
（3）绝对值不等式xaxbcxaxbc类型
