2003南开大学年数学分析
一、设),,(x y x y x f w
-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w
解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；
)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w
二、设数列}{n a 非负单增且a a n
n =∞
→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞
→1
21
]
[lim
解：因为an 非负单增，故有n n n n
n
n n n n na a a a a 1
1
21)(][≤
+++≤
由
a a n n =∞
→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、设⎩
⎨
⎧≤>+=0
,00),1ln()(2
x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足：
（1） 极限)(lim 0x f x +
→存在
（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为
)(lim 0x f x +
→=)1ln(lim 20x x x +→α=)]()1(2[lim 221420n n
n x x o n
x x x x +-++--→+
α极限存在则2+α0≥知α2-≥
(2)因为)(lim 0
x f x -
→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α
（3）0)0(='-
f 所以要使f(x)在0可导则1->α
四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关
解；令U=22
y x
+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=2
1du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）
使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22
所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、
设
f(x)在[a,b]上可导，
0)2
(=+b
a f 且
M
x f ≤')(,证明
2)
(4)(a b M
dx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
)
2
)(()2()(),(b
a x f
b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有
dx b
a x f dx x f b
a
b a
)2
)(()(+-
'=⎰⎰ξ2
2
2)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f b
b a b
a a b
a
-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。
∑n a n sin 发散
a) 证明
∑收敛n an sin
b) 证明
1lim =∞→n
n
n v u 其中
)
sin sin (k ak k a u k n +=∑；
)sin sin (k ak k ak v n -=∑
证：（1）因为
2
1
sin 1sin ≤
∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
∑收敛n an sin
（2）因为正项级数
∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知
∑有界k ak sin 故有1lim =∞→n
n
n v u 七、设dx x
x
e t F tx
sin )
(1
⎰
∞+-= 证明 （1）dx x
x
e tx sin 1
⎰
∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续
证：（1）因dx x
x ⎰
∞+1
sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又tx
e -
在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e tx
由阿贝尔判别法知一致收敛
（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，且由x
x
e
tx
sin -在（x,t ）
],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证
八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （
2
）
对
任
意
>ε，存在一个
ε
δδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f k
n
在[a,b]上一致收敛
证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为
)}({x f k
n ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定
理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(1
1m
x m x x u x u δδ
于是对
N
能找到一,0>∀ε>0，
)
,,2,1(,,2
1
m i x N ，n n i k k =∀>∀有
3
)()(2
2
ε
<
-i n i n x f x f k k 令},,min{1
m
x x δδδ
=则由条件（2）知对上述0>∀ε
3
)()(,],,[,0ε
δδ<
-<-∃∈∀>∃l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈∃∈∀>>∀>∃>∀ε
)
()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f k
k
k
l
t
t
k
t
n l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f t
t
-+)()(l n l n x f x f k
l
-+)()(x f x f k
k
n l n -ε<由柯西准则得
证。
2004年南开大学数学分析试题答案
