复变函数疑难问题分析
1. 设z
z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？
答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。
2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？
sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz
e e z y i
--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？
z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数
4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？
()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x
?=? 但是
11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1
）复球面上与点,1)22
对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点；
（3）简要说明如何定义扩充复平面。
解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过
点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程
为21z -==-。当0z =时
，x y ==
，所以
对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112
x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333
，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。
6．说明复变函数可微性与解析性的关系。
复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。
所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的，
（2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导，
（3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。
7．()1sin f z z
=在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？
1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π
=，但lim 0k k z →∞=，但0D ?，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是
不解析的，也即1()sin f z z
=在D 内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。
8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞
=∑发散.这个命题是否成
立?为什么?
答.不一定．反例: 221111
1111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞
∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散 但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=?∑∑收敛；112()n n n n a b n ∞∞==-=∑∑发散； 241111[(
)]n n n n a b n n
∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的
幂级数时，展开式的系数都是实数？
因为当z 取实数值时，)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全一致的，
而在R x <||内，)(x f 的展开式的系数都是实数。所以，在区域R z <||内，)(z f 展开成z 的幂级数时，它的系数都是实数。
11.由 23...1z z z z z =+++- 2111 (1)
z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z +++++++++=
复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2 ||) 1(z z z dz
2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-小学期末成绩分析总结
XX小学期末成绩分析总结 （2013——2014第二学期） 一、总体概况 教学评价是学校教育工作的重要组成部分，是检验教师教学效果和学校教学质量的重要手段。所以，历年来，我校都非常重视。每临阶段性监测学校都召开专门会议研究部署，在不断吸取经验的基础上，制定监测实施方案。 2014年春季期末质量监测于2013年6月30日——7月1日在全县举行。我们认真总结了秋季监测的经验，确定由完小统一组织实施，坚持考场设在原校，监考教师全学区统一调配。考试要求按毕业测试的要求实施，单人单桌。试卷按考场，从小号到大号顺序装订，认真填写考场记录，真实反映考场情况。每场考完后，由监考员负责清点，在正确无误后，装订，打包。再交各校点考场负责人统一保管，确保被考学校的领导、教师不接触本校点试卷。待全部结束后，各校点考场负责人把试卷送交教导处，再由教导处统一装订。 在阅卷时，学区统一阅卷，采用互调年段评卷的形式。在阅卷过程中，校长、教导主任始终坚持到阅卷点巡视，了解阅卷情况，纠正阅卷中的不足。从而使本次监测在规定的时间内完成各项任务，让学生及时看到成绩。 同时，为了检验阅卷的质量，我们把试卷和成绩单分发到每位任课教师手中，让各校任课教师进行检查、核对，及时反馈到教导处，尽量把失误降到最低限度。 二、成绩分析 1、试卷简析 本学期的期末监测，一二年级是使用的新课改教材。就语文教材而言，其主要特点是注意培养学生的创新精神和实践能力。数学教材主要是强调让学生参与
知识的形成过程，在动手、动脑、动口中获得知识，形成能力。因此，在拟制期末试卷时，县教研室密切关注这一特点，力争在试卷中全面体现。如语文试卷，一至五年级都把正确、工整地写好铅（钢）字作为一项重要内容，平均每份试卷占10分。一、二年级主要任务是突破识字关，如，一年级积累部分总分70分，仅有10分是理解运用题，也与平时的教学密切相关。三至六年级积累部分均占50分左右，阅读理解占20分左右，一般是两大题组成，一题是教材中课文片断，一题是课外选文。习作部分30分，都与平时教学密切相关，努力贯彻课标精神，从某些方面讲（结合我们的实际）习作要求稍有降低，旨在激发学生的写作兴趣。 数学试卷主要是立足考察学生的计算能力，审题能力，动手操作能力等，每份试卷中提高性题目一般不超过5分。只要我们老师能充分研究教材，完成教学任务，一般情况下，学生的成绩不会太差。 2、成绩分析 ⑴一年级 全学区语文平均水平为73.72%，数学平均水平为86.72%，数学比语文高出13%。因为一年级刚走进校园，属于起步阶段，不存在基础差异。同时，所学内容也很少，结果考得很糟，我们老师有不可推卸的责任。 ⑵二年级 语文合格率为86.44%,数学合格率为93.22，差距较大。 ⑶三年级 语文合格率为85.94%，数学合格率为87.5%，科学96.88%，品德与社会96.88%，英语91.33。语数双科合格率较为平均，差距很小，其余三科合格率均在90%以上。 ⑷四年级
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
学习复变函数与积分变换的心得 我是一名自考生，通过网络学习这门课程，学习了不少以前书本上学不到的东西。它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。同时网络学习也带给我了一定的帮助。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。 第一、学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数是建立在复数的基础上的，而复数中是一个虚数单位，从而大家对复数的真实性存在疑虑，所以很难想象它在现实生活和实践中的应用价值另外，在学习这门课程当中，复变函数这部分原理、规律多，内容枯燥、抽象，需要理解的概念和定义也多，学生普遍感觉到理论性偏强，有点抓不住重点；而积分变换这部分所涉及的背景较多，学生所面对的大多是一些抽象枯燥的变换公式这些会让学生们认为这是一门纯理论且没用的课程，也就没有兴趣可言。 第二、复变函数是实变函数在复数域的推广，它的许多概念性质和意义与实变函数有相同之处，同时又与实变函数有着诸多不同不少学生在学习当中往往只注意到相同点，而没有注意到它们的不同点，这让学生感觉可以直接把实变函数当中所学的知识和方法照搬过来即可，觉得这门课程与高等数学没什么区别，感觉是在重复学习，没多大意思。 第三、与后续专业课衔接不够紧密，复变函数与积分变换课程的讲授往往与后续专业课程的使用存在一定的时间差，在后续课程用到时，往往都要花一定得时间去复习，否则学生难于跟上，造成教学重复现象，课时利用率不高。所以网络学习给我们提供了一个后备平台。 们合理利用网络来学习其他课程。 第四、通过网络学习增强了我们对远程教育的了解，提高了我们对这门课程的认真度，同时鼓励同学
小学期末考试质量分析报告 新一完小教导处 2016年下学期小学（1-6年级）期末教学质量检测工作已经结束，这次考试1-6年级由区教研室统一出题，联校组织考试（三年级全区统考）。本次考试能站在一个宏观的角度，坚持“考”服务于“教”，服务于“学”的原则，强化考试的激励、诊断和反馈功能。对全区的教育质量作出全面的监控，提高了考试的信度和效度，真正体现了新课程理念，与课程改革相适应，达到了以测导教、以测促教的功能。现对我校（1-6年级）各科成绩做如下分析报告： 一、试卷来源及试卷评价 本次考试由教研室统一命题。各科试卷，内容覆盖面广，重点突出，有一定的代表性，试卷题量适中，难易适度，有一定的层次性，较好地体现了《课程标准》的新理念和目标体系，既注重对基础知识的考查，又注重对学生能力的培养，较全面地检查了学生对本学期所学基础知识的掌握情况。 二、考试质量情况（见表） 三、本次教学质量检测取得的成效 1、立足基础，恰当评价学生对基础知识和基本技能的理解和掌握。 语文学科大部分学生对拼音、生字、词等基础知识掌握较好，说明任课教师重视基础知识教学，加强训练，反复巩固，常抓不懈。本
次考试中学生基础知识的得分率较高，书写、看拼音写词语、组词、联系上下文选择词语、古诗名言积累等学生掌握比较熟练、牢固。 2、关注差异，不同的学生有不同的体验、收获。 将开放题引入试卷，引入教育评价，试题反映的不仅仅是“会”与“不会”、“对”与“错”，也反映对问题理解的深度与广度，为学生提供自己进行思考并用他们自己的观点表达的机会，要求学生建构他们的思维反应而不是选择一个简单的答案，允许学生表达他们对问题的深刻理解。 3、题型灵活多变，体现课改理念。 试题注重学生动手、思维能力的培养，如动手画一画，解决问题等学生的综合能力得到了锻炼。 四、存在的问题及原因 从整个学科考试情况来看，存在问题比较大的是科学和品社学科，主要原因是师资力量薄弱，教学水平不高，缺少教师，一人担任多个班级或不同年级课程；品社学科无专任教师，教师对社会现象缺乏判断能力，导之学生对是非判断模糊。下面以语文、数学两科为例分析：语文学科存在的问题主要有： 1、盲目复习，忽视基本功训练。 学生书写不规范，习作中错别字较多，对易混淆的字，各年级都有部分学生没有完全掌握，导致失分，其实，学生的基础知识的掌握到技能的形成，需要一个实践操作、反复训练的过程。
们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。 Chp.1 距离线性空间 SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理 有序集的定义： （1）若a在b之先，则b便不在a之先。 （2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。 这种先后关系记作 良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。 良序集的超限归纳法： （1）为真，这里是A中最先的元素。 2）对一切,为真，则亦真 那么对一切皆真。 选择公理 设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有 部分有序 称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质： 例如X中包换关系 在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的C：。 例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。 佐恩引理 设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。 SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基 线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。 线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。 线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。 线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N 如果,则称M与N是代数互补的线性流形。 于是有下述定理：
定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N. 定理2.2 若，则dimX=dimM+dimN Hamel基的定义： 设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果 （1）H是线性无关的。 （2）H成的线性流形是整个空间。 则有Hamel基和线性无关子集的关系： 定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得 推论任何非零线性空间必有Hamel基 由定理2.3，可有 定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。 SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间 定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为
泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
第二章 平面裂纹问题的复变函数解法 第1节 绪论 如果二元实变函数()y x U ,在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace ）方程 02=?U ???? ????+??=?22222 y x 则称()y x U ,为区域D 内的调和函数。 弹性力学的分析表明, 平面问题可以归结为求解满足双调和方程022=??U 的应力函数U ，并使其在边界上满足全部边界条件。双调和方程022=??U 的解U 为双调和函数。 在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足02=?U )。而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。 1．复变函数的基础知识 复数 a i b + 1-=i 为虚单位 复变数（量） iy x z += 实变数x 和y 分别称为复变数z 的实部和虚部， 记为：z x Re =，z y Im = 则有： z i z z Im Re += (2-1-1) z 的极坐标形式为
()θθsin cos i r z +=θi re = z 的共轭复数 ()θθθi re i r iy x z -=-=-=sin cos 复变函数 以复变量iy x z +=为自变量的函数, 称为复变函数。复变函数也可以看成是由它的实部f Re 和虚部f Im 所组成，有： ()Re Im f z f i f p iq =+=+ ()iq p f i f z f -=-=Im Re (2-1-2) 例如 ()()22222y ixy x iy x z z f -+=+== 则有 22Re y x f p -==，xy f q 2Im == 几何上，可以将函数()z f 看成复数平面z 上的点),(y x 到另一复数平面W 上的点),(q p 的变换, 变换关系如图2-1-1所示。 p (p,q) q W 0 0y z (x,y) 图2-1-1 复数平面变换图 复变函数的导数 设复变函数)(z f 在某一点的领域内有定义，取z ?为复值增量，若 ()()z z f z z f Lim z ?-?+→?0 (2-1-3) 极限存在，则)(z f 在点z 处可导，并记为()z f '，即()z f '为)(z f 在点z 处的导数。
泛函分析是现代数学的一个分支，其研究的主要对象是函数构成的空间。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。下面结合这学期的学习和内容从以下几个方面来浅谈泛函分析： 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R. 弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。（一）、希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
复变函数发展历程 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 校内发展的历史 《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。 随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。 针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。 实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学
复变函数疑难问题分析 1. 设z z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。 2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz e e z y i --=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？ z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数 4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？ ()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x ?=? 但是 11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1 ）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。 解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过 点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程 为21z -==-。当0z =时 ，x y == ，所以,,1)22 对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112 x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333 ，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。 6．说明复变函数可微性与解析性的关系。 复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。 所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的， （2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导， （3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。 7．()1sin f z z =在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π =，但lim 0k k z →∞=，但0D ?，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是
解放路小学期末检测及教学质量分析报告 各位领导、老师们： 大伙儿好！学校托付我对上学期期末检测及学校教学质量作一个分析报告，专门抱歉！预备了好些天，由于能力有限，多有分析不准，辞不达意处，恳请各领导和同事位多多包涵。大伙儿都明白，今年，我校的教育教学质量专门不乐观，课堂教学评比、教学成绩检测等教学活动屡屡受挫，使大伙儿心情十分郁闷。痛定思痛，我们不能一味的陷入低迷，想要走出那个泥沼，我们有必要好好反思。 情况分析： 一、教学成绩情况 1、放在全县来看，我校目前教学成绩确实不尽人意。检测学校共16所，我们排名第四，城区四所小学，我们垫底了。那个成绩专门不理想。从检测年级科目来看，数学略好，十六所学校排名是二，但与第一名南关小学相比均值也相差1.5分；语文就差了，第七名与第一名东大街小学相比均值相差9之多，且比之全县平均成绩也要低0.3分；英语更惨，十二名，与第一名东大街小学相比均值相差5.4分，且比之全县平均成绩也要低0.4分。确实差不多上一些不能抬头看人的成绩。 2、放在校内来看，我校个年级成绩参差不齐，差异也专门大。语文成绩：三年级均值83.99，五年级均值95.45，一年级均值
98.40；数学成绩：一、五、六年级均值都在97分以上，三、四年级均值不上89。就讲年级间不宜做比较，但那个差距着实依旧有些大。不同学科之间也有不小差距，语文均值92.2，数学均值94.55，英语均值93，语文和数学均值差2.5个百分点，那个差距也不小，讲明学科之间也存在不均衡的现象。再看不同年级不同科目，比如六2班数学比六4班数学均值相差5个百分点以上；四3班数学比四1班数学均值相差5个百分点以上；三3班数学比三1班数学均值相差7个百分点以上；二4班数学比二2班数学均值相差6个百分点以上；三1班语文比三2班语文均值相差8个百分点以上；二5班语文比二1班语文均值相差5个百分点以上；六3班英语比六4班英语均值相差8个百分点以上；三2班英语比三1班英语均值相差11个百分点以上。这些数字触目惊心啊！这只是均值，算算优秀率，那可叫人眼球落地了。比如三2班英语比三1班英语优秀率相差33个百分点。三1班语文比三2班语文优秀率相差28个百分点；这是如此一个概念，大伙儿要想一想。 二、其它情况 老实讲，抛开考试成绩不谈，我们确实也做了大量的工作。这些工作成绩是不能否定的，就课堂教学改革而言，从开校伊始，我们就着手课堂教学改革方案的实施。首先是课堂教学优秀教师选拔工作，历时近一个月，指导十多节课，为参加教研协作区活动、县优质课评选活动，做了充分的预备。中间积极开展首席教
《泛函分析》课程标准 英文名称：Functional Analysis 课程编号：407012010 适用专业：数学与应用数学学分数：4 一、课程性质 泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。 二、课程理念 1、培育理性精神，提高数学文化素养 基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。 2、良好的学习状态，提高综合解题能力 本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。 3、内容由浅入深 本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的： “度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。第三步，在线性赋范空间上定义内积，可以得到内积空间和希尔伯特空间的定义，在内积空间上引入正交以及投影的概念，并建立起相应的几何学，还要讨论希尔伯特空间上的算子，特别是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性质。最后，介绍巴拿赫空间中的四个著名定理：Hahn-Banach泛函延拓定理，一致有界性定理,逆算子定理和闭图像定理，这些定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用。 4、理论联系实际，拓展学生知识面 在教学过程中，主要把握以下几点：将先进的教学思想和教学理念贯穿到课程的内容和体系；强化数学思想方法、加强学生分析解决问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启迪学生的创新思维；准确把握课程定位，培养学生掌握扎实的数学基础知识、严密的逻辑思维能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学生向科研型理论型人才发展留下充足的空间。课堂教学提倡启发式，采用各种现代化的教学手段，有些内容举一些数学分析中的例子使学生容易理解泛函分析的抽象理论等。教师通过应用信息技术手段，可以使得授课内容信息量大，学生更能深入泛函分析的内容。 要求学生做到：将书上的基本知识点吃透，注意咬文嚼字；注意抽象思维能力和逻辑思维能力，要求会做一些理论证明；要求在上课时认真听讲，完成课上训练和课堂作业．课下能够查阅
泛函分析作业 数学系08级5班 08020170 赵英杰
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空
间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。 （一）、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 （二）、巴拿赫空间
数学分析与复变函数的比较 姓名:*** 学号:*** 复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深. 数学分析与复变函数的相同点: 1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射； 实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的 性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等； 2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维 尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立； 3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的 形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同 的运算法则； 4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性 都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有 泰勒展式，并且形式一致。 数学分析与复变函数的不同点: 数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。 1. 极限 复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。 2. 求导与微分 数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分，可以算作是积分学的逆运算，在现实生活中有举足轻重的作用，而复变函数中虽提到导数与微分，但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理，函数的升降、凸性及极值理论，还提出了待定型求极限的方法。
2014年某小学期末考试成绩分析报告 年某小学期末考试成绩分析报告期末监测已经落下帷幕，我校圆满地完成了此次任务。 中心校对二年级语文六年级数学进行了抽考。 现对我校的各科成绩做如下分析汇报：一试卷来源及试卷评价：本次考试的试卷由县教育局统一命题，纵观整个试卷，期末测查试卷是一份精心设计有价值的试卷，内容覆盖面广，重点突出，有一定的代表性，试卷题量适中，难易适度，有一定的层次性，分值分配合理,既注重对基础知识的考察，又注重对学生能力的培养归纳，能较全面的检查学生对本学期所学基础知识的掌握情况。 以语文数学两个学科为例：语文：较好体现了《新课程标准》的新理念和目标体系。 具有以下特点：内容丰富，结构宽阔。 试卷是以《标准》所规定的教学内容为依据，注意题型的多样性，能够对学生的素质进行全面评价。 同时根据整套语文教材的知识能力和情感发展总体结构进行设计的，比较全面地考查了学生的学习情况，在注重考查学生的基础知识和基本能力的同时，适当考查了教学过程，能较好地反映出学生的实际知识的掌握情况。 重视积累，提高素质语文知识讲究的是积累，从试卷的编制上看，细节多，基础知识面广，试题所包含的知识点比较全面，题中涵盖了
拼音汉字词语句子段落篇章等多方面的考察。 并且题目多样，评分项目详细合理。 数学：突出基础性与全面性试卷能对——年级本学期所学知识，主要内容进行较为系统全面的考核，空间与图形统计与概率实践与综合应用等方面的考查知识均能有机地涵盖在其中，突出了基础性与全面性。 突出生活性与教育性数学来源于生活，并运用于生活。 试题突出数学知识在实际生活中的应用。 把知识的考查溶入富有生活味与教育性的题材中，让学生在解决问题的同时，也教育了他们要注意勤于思考和与人交流的重要性，教育学生提高成绩注意学习方式的必要性。 二质量检测数据班级语文数学优秀率及格率平均分优秀率及格率平均分存在的不足：从整体来看，各科的成绩都不是太好，有几个班级在全镇排名为倒数，但是，我们也看到了，各年级各学科之间还存在着明显的差距。 有些学科学习质量提高不大，或者说与其它学校横向比较还有一定的距离。 从学生答题情况来看，整体也不是很好。 这说明存在学习方式流于形式，淡化技能目标的倾向。 有一部分教师由于对课程标准把握不准确，对学科性质把握出现了偏差，片面追求开放活泼的课堂教学氛围，课堂教学效益不高。
泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连