当前位置：文档之家 › 泛函分析(丁时进教授)

泛函分析(丁时进教授)

  • 格式：ppt
  • 大小：1.03 MB
  • 文档页数：67

下载文档原格式

  / 67

合集下载

泛函分析讲稿-FudanUniversity

泛函分析讲稿-FudanUniversity

1.3.1 内点、开集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 极限点、闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 度量空间中的点集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 赋范线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i
ii
目录
1.6.1 标准正交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6.2 正交系的完备性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.6.3 线性无关向量系的正交化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.6.4 可分Hilbert空间的模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.7 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.1 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.2 可分空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.8 紧性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.8.1 相对列紧集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.8.2 完全有界集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.8.3 Arzel`a-Ascoli定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.8.4 列紧集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.8.5 紧集上的连续映照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.9 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

泛函分析

泛函分析

拓扑线性空间
巴拿赫空间
希尔伯特空 间
这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函 数空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格 可测函数”所构成的空间。
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。 对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单 同态。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多 维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种 可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后， 希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。
历史
背景
研究现状
十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几 何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。 这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更 为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立 两个任意集合之间的某种对应关系。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如， 代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分 方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着 类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

泛函分析第一讲

泛函分析第一讲

线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间

泛函分析在力学和工程中的应用

泛函分析在力学和工程中的应用

泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。

并介绍当前非线性分析中部分动态。

$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。

所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。

其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。

根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。

力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。

对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。

从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。

同时带有拓扑和代数结构。

所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。

有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。

这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。

由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。

泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。

线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。

但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。

每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。

线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。

就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。

于是，具有这两个空间中所有概念。

例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。

即任何柯西序列是否为收敛序列。

（iv）Banach空间。

它是完备的线性赋范空间。

完备性使该空间具有十分良好的性质。

例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。

（v）内积空间。

内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。

内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。

泛函分析张远航笔记

泛函分析张远航笔记

泛函分析张远航笔记所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。

在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。

大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。

在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算学研究生的基础理论课程，是必选的。

我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。

课时大约是48学时（粗略估计）。

由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。

所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。

我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。

3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

它是20世纪30年代形成的。

从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

一、泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。

这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。

这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。

泛函分析中的八大空间

泛函分析中的八大空间

泛函分析中的八大空间泛函分析绪论总结参考教材是孙炯老师的《泛函分析》❞泛函分析学习目标1、了解和掌握空间理论（距离、赋范、内积空间）和线性算子理论（线性算子空间、线性算子谱分析）中基本概念和理论。

2、运用全新的、现代数学的视点审视、处理数学基础课程中的一些问题。

3、将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何手段处理问题。

❞泛函分析研究对象与方法泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。

泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、并将这些概念和方法几何化。

解析几何的创立，将代数问题几何化、几何问题代数化，那么这种模式可类比的推广到泛函分析的研究中。

❞（1）建立一个新的空间框架，空间中元素包括函数、运算。

「注」：空间中的元素？空间的结构（距离、范数、内积）（2）在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题，把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。

「注」：泛函分析主要研究无穷维空间到无穷维空间的映射、运算，因此关注无穷维空间的性质，收敛性问题（如加法与无穷级数的区别）一些个人思考在三维实向量空间中进行了坐标分解，这样可以更清楚的表示这个向量的相关一些信息，那么空间的几何结构变得非常明了；另外将一个矩阵映射进行了分解，那么它的作用效果，也变得很明了。

所以自然联想到，无穷维空间能否有这样的几何结构（坐标系、正交性、元素能否分解？）、其中的映射又能否分解？但是在这其中就会遇到新的问题，也就是无穷项相加，就会有收敛性的问题。

❞泛函分析主要内容（1）空间、极限的概念，讨论他们的性质.包括：距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间.（2）研究线性算子（线性算子空间）.包括：有界线性算子、有界线性算子的重要性质、共轭空间。

其中：一致有界原则、开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理.（3）线性算子的谱理论.线性算子的谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是自共轭算子的谱分解，与有限维空间对称矩阵的分解很类似.❞定义1：设有集合,且存在映射,使得对任意的都有：1.非负性：;2.对称性：;3.三角不等式：映射称为集合上的一个度量，称为度量空间.度量函数有时也用表示.下边我们给出一些常用的度量空间：1.,度量函数为经典度量.这样的实空间就称为欧式空间.2.(平凡度量)在任何一个集合上，我们都可以定义上述度量，因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.1.(空间) 所有的方勒贝格可积函数，定义度量：1.(空间) 所有的在可测的本性有界的函数，定义度量：表示它的本性上界.1.(空间和空间) 元素是数列：.2.3.(连续函数空间) 如果不做声明时，我们的定义的度量是：4.当然还可以有其他度量：有了度量函数后，我们可以定义收敛性：定义2：设为距离空间中的一个点列(或称序列), 这里如果存在中的点, 使得当时, , , 则称点列收敛于, 记为有时也简记为称为的极限.注意到，这里一定要要求在集合中！命题1：设是距离空间中的收敛点列,则下列性质成立:(i) 的极限唯一;(ii) 对任意的, 数列有界.(iii) 如果收敛，那么它的任意子列也收敛.定义3：距离空间中的点列叫做基本点列或柯西点列,若对任给的, 存在, 使得当时,如果中的任一基本点列必收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.注意到：一个空间是否完备与它的集合和度量都有关系，比如：按照最大值定义的度量是完备的，但是按照积分定义的度量不完备，在比如上配备欧式度量，点列是基本列但是不收敛，因为不在集合中.一个不完备的空间，我们可以想方设法的添加一些元素使其完备，然而是否任何的不完备空间都能这样做使其完备呢？这就要需要我们的完备化定理了！在此之前，我们需要引入一些其他有必要的东西！定义4设是两个度量空间, 如果存在映射：满足：(1):是满射；(2):.则称和是等距同构的, 称为等距同构映射, 有时简称等距同构。

泛函分析(丁时进教授)

泛函分析(丁时进教授)

多 元 函 数 的 极 值 （ 假 设 f (x, y, z) 在 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 两 次 可 微 ） f x ( x0 , y0 , z0 ) f y ( x0 , y0 , z0 ) f z ( x0 , y0 , z0 ) 0 f xx f xy f xz 半正定——极小 f xy f yy f yz f f f 半负定——极大 xz yz zz P 0
的一致收敛性 fn f 等 价 于 数 学 分 析 中

2 把 f ( x )在 a , b 上 L e b e s g u e可 积 的 函 数
2
全 体 构 成 一 个 集 合 .定 义 内 积

f,g



n
b
f ( x) g ( x)dx,
a
那么它满足R 中关于内积的定义 记作L
4 .紧 性
若 度 量 空 间 （ X ， ） 中 的 任 何 一 个 点 列都有收敛列，X中某个元素的子列，则 （ X ， ） 叫 紧 空 间 。 在 数 学 分 析 中 叫 致 密 性 。 如 a,b紧 , （ a , b） 不 紧 ， R 不 紧 。
1
一般说来，R n 中有界闭集合一定是紧 的，这就是数学分析中所说的致密性定理。
2
a,b
f 与 g垂 直 ： f , g

0

L
2
f , f
为 f 的 长
度
f g , f g 为 f 与 g 的 距 离
a,b 是
无限维
6.另三个典型的例子可以看到
人类认识的发展：
1˚ Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它 是Lebesgue可积的. 2˚积分与极限交换顺序的问题

泛函分析 PPT课件

泛函分析 PPT课件
• 研究的空间的目的，在于把由实际问题归纳出来 的某些集合抽象为具有某种属性的空间，从而利 用数学上已有的结论去分析他们的性质。
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则

intro1数学课程简介

intro1数学课程简介

课程号：20100440 课程名：泛函分析课程英文名：Functional Analysis学时：68 学分：4先修课程：实变函数、高等代数基本面向：数学学院教材：《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书：1.《实变函数与泛函分析》（下册）夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》（下册）曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin，Functional Analysis，McGraw_HillBook Company，1973课程简介：线性赋范空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。

Banach 空间上有界线性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定理，谱理论，紧算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert 空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示定理）。

课程号：20100640 课程名：概率统计课程英文名Probability and Statistics学时：68 学分：4先修课程：数学分析、线性代数基本面向：数学学院各专业教材：《概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社1997参考书：1．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。

2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）梁之舜等高等教育出版社1988课程简介：事件与概率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。

课程号：20100850 课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学基本面向：数学数院各专业教材：《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer（计划2004年出版参考书：1。

《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。

数学学院硕士研究生课程内容简介

数学学院硕士研究生课程内容简介

数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。

内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。

主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。

参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。

2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。

5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。

泛函分析ppt课件

泛函分析ppt课件

傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。

泛函分析中常见空间相对紧集判别充要条件探讨

泛函分析中常见空间相对紧集判别充要条件探讨

泛函分析中常见空间相对紧集判别充要条件探讨1. 引言1.1 引言在泛函分析中，空间的相对紧集是一个非常重要的概念。

通过研究空间中的相对紧集，可以帮助我们更好地理解空间的性质和结构。

在本文中，我们将探讨泛函分析中常见的空间相对紧集的判别充要条件。

相对紧集是指在拓扑空间中，如果它的闭包是紧的，那么这个集合就是相对紧的。

相对紧集在泛函分析中有着重要的应用，特别是在研究空间的性质和结构时。

空间中的相对紧集通常具有一些特定的性质，比如有界性和闭包的紧性。

通过举例和应用，我们将进一步说明相对紧集在泛函分析中的重要性和实际应用。

我们将总结本文的内容并展望未来可能的研究方向，希望能够为读者对空间相对紧集的理解提供帮助和启发。

【2000字】2. 正文2.1 泛函分析的基本概念泛函分析是数学中重要的一个分支，它主要研究的是向量空间上的泛函及其性质。

泛函分析是现代数学的一个基础理论，广泛应用于微分方程、概率论、数值分析等各个领域。

在泛函分析中，我们通常考虑的是定义在向量空间上的线性泛函。

线性泛函是一种将向量映射到标量的线性函数，它在分析各种函数空间的性质和结构时起到非常重要的作用。

泛函分析的基本概念包括范数空间、内积空间、完备空间等概念，这些概念是泛函分析研究的基础。

在泛函分析中，我们经常遇到的一个重要概念是紧集。

紧集是一种在拓扑空间中表现出的一致有界性和闭性的性质，它在分析空间的紧性和连续性质时起到关键作用。

相对紧集则是紧集的一种推广，它在泛函分析中有着重要的应用。

泛函分析作为数学的一个重要分支，其基本概念对于理解空间的性质和结构起着至关重要的作用。

对泛函分析基本概念的深入理解，有助于我们更好地研究和理解各种复杂的函数空间及其性质。

2.2 相对紧集的定义相对紧集是泛函分析中一个重要的概念，对于理解空间的性质和结构具有重要意义。

在定义相对紧集之前，我们需要先了解紧集的概念。

一个集合称为紧集，如果它的闭包是紧致的，也就是说，集合中的任何序列都有收敛子序列并且收敛于该紧集内。

实变函数与泛函分析基础

实变函数与泛函分析基础

实变函数与泛函分析基础实变函数是数学分析的基础，它是研究实数集上的函数性质和运算规律的学科。

实变函数的研究内容包括连续性、可导性、极限性质、积分性质等等。

实变函数的研究不仅有助于理解和掌握数学分析的基本概念和方法，也为其他学科提供了基本工具和语言。

实变函数的研究可以追溯到古希腊数学家欧多克索斯的研究工作，随着时间的推移，人们对实变函数的研究越发深入和丰富。

泛函分析是实变函数的推广，它研究的对象是函数空间上的函数。

函数空间是指一组函数的集合，通过定义合适的范数或者度量，可以使得函数空间具备向量空间的结构。

泛函分析主要研究函数空间上函数的连续性、一致收敛性、极限性质、积分性质等等。

泛函分析的研究内容非常广泛，它不仅可以应用于实际问题的建模和求解，还为其他数学学科提供了基本工具和语言。

实变函数与泛函分析的基本思想和方法是相通的，都基于对函数的研究和分析。

不同之处在于实变函数的研究对象是定义在实数集上的函数，而泛函分析的研究对象是函数空间上的函数。

实变函数可以看作是泛函分析的特殊情况，而泛函分析则是对实变函数进行推广和推理。

实变函数与泛函分析的应用非常广泛，涵盖了很多学科，比如物理学、工程学、经济学等等。

实变函数可以用来描述物理问题中的函数关系，比如速度与时间的关系、力与位移的关系等等。

而泛函分析则可以应用于优化问题、偏微分方程的求解等等。

实变函数与泛函分析的研究成果也广泛应用于科学和技术的各个领域。

总之，实变函数与泛函分析是数学分析领域的两个重要概念，它们的研究内容相互关联，但也有一定的区别。

实变函数是研究定义在实数集上的函数的基础学科，而泛函分析是实变函数的推广，研究函数空间上函数的分析学科。

实变函数与泛函分析的研究结果在科学和技术的各个领域都有广泛的应用。

各向异性Ginzburg-Landau超导模型的整体极小元

各向异性Ginzburg-Landau超导模型的整体极小元

各向异性Ginzburg-Landau超导模型的整体极小元
寇艳蕾;丁时进
【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(000)004
【摘要】研究当磁场hex小于第一临界磁场HC1时,各向异性Ginzburg-Landau 超导模型整体极小元的存在性.找到了存在无涡漩的整体极小元.当
Hc1<<hex<<Hc2时,证明了涡漩的密度等于外加磁场.
【总页数】10页(P7-16)
【作者】寇艳蕾;丁时进
【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631;华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
【相关文献】
1.TbCo非晶薄膜垂直各向异性的磁偶极模型分析 [J], 章平;黄致新
2.关于各向异性的Ginzburg-Landau 泛函极小元的上界估计 [J], 包立平
3.一维含杂质Ginzburg-Landau超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 [J], 沈小华
4.一类各向异性Ginzburg-Landau超导模型的涡漩 [J], 寇艳蕾
5.各向异性超导体的Ginzburg-Landau理论 [J], 徐龙道;束正煌;王思慧
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死 年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘ 年贝克莱嘲笑 量的幽灵’ 量的幽灵’，因为是费马略去的无穷小量 ， E 还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 又是 o dx o 招之即来，挥之即去， 又不是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神 o 差”。 达朗贝尔——将微积分的基础归结为极 将微积分的基础归结为极 达朗贝尔 但没创造完整体系。 限。但没创造完整体系。
演讲者： 演讲者：丁时进教授 时 间：2006年11月30日 年 月 日
分析数学的发展历程： 一.分析数学的发展历程： 分析数学的发展历程
1.初创 初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的 发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“ 发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数 的理论的完善也归功于极限论的建立。 “的理论的完善也归功于极限论的建立。 经过16世纪中叶到 世纪初的酝酿 经过 世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿 世纪中叶到 世纪初的酝酿， （1642——1727）和莱布尼茨（1646—— ）和莱布尼茨（ 1716）终于在 世纪下半叶创立了微积分。 世纪下半叶创立了微积分。 ）终于在17世纪下半叶创立了微积分
给定函数y − x = 0
2
时间的刹那用o表示（即dt） ɺ ɺ x, y 的刹那用xo和yo表示 dx dy （即dx = ⋅ dt , dy = ⋅ dt） dt dt
ɺ ɺ 以x + xo及y + yo代替 x, y代入 方程得到 ɺ ɺ ɺ y + yo - ( x + 2 xxo + x o ) = 0
20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和 世纪分析学的另一特征是用拓扑学和 代数学， 代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及 多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学—偏微分方 流形上的分析结合了微分几何学 偏微分方 多复变函数论， 程—多复变函数论，成为当代数学的主流方 多复变函数论 外微分形式—反函数理论 反函数理论， 向。外微分形式 反函数理论，成为当代分 析学的基础知识。 析学的基础知识。
1
4.紧性
若度量空间（X，ρ）中的任何一个点 列都有收敛列，X中某个元素的子列，则 （X，ρ）叫紧空间。 在数学分析中叫致密性。如[ a, b] 紧,
（a, b）不紧，R1不紧。
一般说来， 一般说来，R 中有界闭集合一定是紧 的，这就是数学分析中所说的致密性定理。 这就是数学分析中所说的致密性定理。
欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方 程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量 无穷级数， 天文，物理，力学问题，著有《 天文，物理，力学问题，著有《无穷小分析引 论》。 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德， 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶 在分析学方面都作出了巨大贡献。 在分析学方面都作出了巨大贡献。
3.实数理论 实数理论
在十九世纪分析学发展的同时， 在十九世纪分析学发展的同时，人类也 完善了实数理论。柯西首先认识到“ 完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数 是有理数迫近的极限” 是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理 数域的完备化）。但极限又要用到实数， ）。但极限又要用到实数 数域的完备化）。但极限又要用到实数，这 形成了一个循环论证。 形成了一个循环论证。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法， 戴德金采用对有理数分割的办法，建立 了不依赖于极限论的实数理论。 了不依赖于极限论的实数理论。
4. 20世纪分析学的发展 世纪分析学的发展
勒贝格（ 勒贝格（1875-1941）——创立可列可加 ） 创立可列可加 测度的积分论，形成实变函数论。 测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程， 以实分析为基础的概率论和随机过程， 称为现代分析。 称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论— 以函数空间为背景的泛函和算子理论 —泛函分析。 泛函分析。 泛函分析 此外还有傅立叶分析等。 此外还有傅立叶分析等。
泛函分析“ 二.从“数“到”泛函分析“的知识 从 体系
从上面可以看到，分析数学的发展经 从上面可以看到， 历了近3百年漫长的历史 百年漫长的历史。 历了近 百年漫长的历史。数学成为现代 科学的基础，已经成为人类的共识。 科学的基础，已经成为人类的共识。
函数空间上定义的函数， 函数空间上定义的函数， 整数—有 数（自然数—整数 有 自然数 整数 理数—实数 复数） 实数—复数 理数 实数 复数） 即泛函或算子 线性泛函
派生：微分几何学，复变函数， 派生：微分几何学，复变函数，微 分方程等； 分方程等； 现代：流形—流形上的分析学 流形上的分析学。 现代：流形 流形上的分析学。
三、用现代数学的观点看已学过数学 知识
从上面的发现过程看来，可以归结为： 从上面的发现过程看来，可以归结为：
变 →函 （ 函 →性 量 数 泛 ） 质
( f , g ) = ∫a
n
b
f ( x) g ( x)dx,
那么它满足R 中关于内积的定义 记作L ( a, b )
2
f 与 g垂 直 ： f , g ) = 0 (
( f , f )为 f 的 长 度 ( f − g , f − g )为 f 与 g的 距 离 2 L (a, b )是 无 限 维
在此之前，通过略去高次项（ 在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶 无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯， ）。帕斯卡 无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等 著名学者使微积分学产生萌芽。 著名学者使微积分学产生萌芽。
牛顿的流数术（微积分） 牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发 明之一。 明之一。
流数术： 流数术：
2.在空间上定义拓扑 在空间上定义拓扑——定义收敛性 在空间上定义拓扑 定义收敛性
（） {Vλ：λ ∈Λ} = X； 1∪ 使x ∈Vλ ⊂ Vλ ∩Vλ
3 1
集合X的子集族Γ = {Vλ：λ ∈Λ} 如果满足：
（2）∀λ1，λ2 ∈Λ，若x ∈Vλ ∩Vλ , 则∃λ3 ∈Λ，
1 2 2
则X 与Γ一起成为一拓扑空间，Γ为X的拓扑结构。 有了拓扑结构，就可以定义收敛性。例如， 数学分析中的收敛性就完全可以用领域来研究。
3.空间的完备性，实数构成的空间R
如果度量空间（X，ρ）中按度量ρ所定义的 柯西列都会收敛到该空间的一点，那么， 这个空间就叫做完备的度量空间。
1
例如，有理数域不完备，但它可以完备化： 把有理数域的所有有极限加进去就会完备起 来，构成R 。
1
[ a, b] 是R 的完备子空间，（a, b）就不是。
非线性泛函
变量
函数空间的研究（ 函数空间的研究（Hilbert空 空 空间——无限维 间，Banach空间 空间 无限维 空间） 空间） 实分析（ 实分析（Lebesgue积分理论 积分理论
函数（ 函数（描述变量之间 的变化关系） 的变化关系）
极限
函数的分析性质， 函数的分析性质，实数理论的建 立（有限维欧式空间上的定义的 函数） 函数）
1.空间的可度量性 非空集合X上可定义一个双变量函数（x, y）X × X → R ρ : 符合: （）（x, y） 0，且（x, y） 0 ⇔ x = y 1 ρ ≥ = ρ （）（x, y） ρ y, x） 2 ρ =（ （）（x, z） ρ x, y） ρ y, z） 3 ρ ≤（ +（ 则 X和ρ 一起，（X，ρ）称为一个度量空间 或距离空间。
世纪分析学的发展， 同时，20世纪分析学的发展，使非线性 世纪分析学的发展 分析成为最活跃的数学分支之一， 分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理 论是算子理论。 论是算子理论。 泛函分析使分析学跃上新的高度。 泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔 伯特空间—巴拿赫空间 巴拿赫空间—广义函数论成为常 伯特空间 巴拿赫空间 广义函数论成为常 识。 现在我们知道，无穷小量不再是一个量， 现在我们知道，无穷小量不再是一个量， 而是一个变化的过程。 而是一个变化的过程。
x∈[ a,b]
为f 与g的距离（满足距离的三条） 可以证明
(1) ( C [ a, b] , ρ ) 是一个完备的度量空间. ρ → ( 2) C [ a, b]中, fn f 等价于数学分析中
的一致收敛性
2 把f ( x)在 [ a, b ] 上Lebesgue可积的函数
2
全体构成一个集合.定义内积
n
但是，到了无限维空间， 但是，到了无限维空间，例如一般的 Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛 空间， 空间 子列。常见的例子是， 子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一 定有一致收敛的子列，还要加上诸如“ 定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连 续性“条件（ 续性“条件（Arzela--Ascoli）. ）
2 2 2
由于y - x = 0, 故有
2
ɺ ɺ ɺ yo - 2 xxo + x o = 0
2 2
ɺ ɺ ɺ 略去x o 得y = 2 xx 流数
2 2
dy 现在通用的记号为 = 2 x dx
“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过 已知量之间的关系，求他的流数； 已知量之间的关系 牛顿的微分和积分的观点——互逆运 来”——牛顿的微分和积分的观点 牛顿的微分和积分的观点 互逆运 微积分学基本定理。 算：微积分学基本定理。(1736年发表 ) 年发表 莱布尼兹：考察切线， 莱布尼兹：考察切线，第一次引入了 dx, dy, ∫ 符号，沿用至今。 符号，沿用至今。
小学就开始学习“距离空间” 小学就开始学习“距离空间”。如，直 线 上点与点之间的距离。 上点与点之间的距离。中学时学习的
d = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )