正多边形和圆

1 正多边形和圆、弧长和扇形面积

撰稿：庄永春 审稿：邵剑英 责编：张杨

一、目标认知

学习目标

1．了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会

应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．

2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积

的计算公式，并应用这些公式解决问题．

3．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决

问题．

重点

1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．

2．n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用．

3．圆锥侧面积和全面积的计算公式．

难点与关键

1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系

2．弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．

3．圆锥侧面积和全面积的计算公式．

二、知识要点透析

知识点一、正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点诠释：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).

知识点二、正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2 (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

知识点三、正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边

数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

知识点四、正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

知识点五、弧长公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即 3 ；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第

三个量.

知识点六、扇形面积公式

1.扇形定义：

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式：

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可

以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类

似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

知识点七、圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则 4 圆锥的侧面积，全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

三、规律方法指导

1．首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念；

2．在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结

合勾股定理进行计算；

3．注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；

4．注意弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先统

一单位，化为度；

5．扇形面积公式与三角形面积公式类似.把弧长看作底，R看做高就比较容易记忆了；

6．对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做.经典例题透析

类型一、正多边形的概念

1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.

求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.

思路点拨：欲证八边形EFGHKLMN是正八边形，依据定义，只要证它的各角相等(都为135°)，各边也相等.

证明：设正方形ABCD的边长为a，则

同理可证

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同理可证

∴八边形EFGHKLMN的各边相等

而△BFG、△CHH、△DML、△AEN都是等腰直角三角形，

由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90°+45°=135°

∴八边形EFGHKLMN是正八边形.

2.已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形

解：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠A=36°，

∴∠ABC=72°，∠ACB=72°，

又弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB

∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=36°

∴五边形AEBCD是正五边形.

类型二、正多边形的有关计算

3.已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

思路点拨：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形， 6 所以它的中心角等于，

△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=

利用勾股定理，可得边心距

OM=

∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=.

举一反三：

【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个八边形的面积.

解：如图，分别连结OA，OC及AC

由正八边形的对称性，则AC⊥OB，∠AOC=90°

探究思考：

这个八边形的边长a=?

提示：如图所示，当OA=R时，

7

.

类型三、考查弧长和扇形的计算

4.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)

思路点拨：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．

解：R=40mm，n=110

∴的长==≈76.8(mm)

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

5.如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长(•结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1).

思路点拨：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

解：的长=

S扇形=

因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.4．

8 举一反三：

【变式1】如图，为的直径，于点，交于点，于点．

(1)请写出三条与有关的正确结论；

(2)当，时，求圆中阴影部分的面积．

解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：

①； ②； ③；

④； ⑤是直角三角形； ⑥是等腰三角形．

(2)连结，则．

，，．

为的直径，．

在中，，，．

，．

，是的中位线．

．

．

．

． 9

类型四、圆锥面积的计算

6.圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)

思路点拨：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．

解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为，则

(cm)

22.03(cm)

S纸帽侧=×58×22.03=638.87(cm)

638.87×20=12777.4(cm2)

所以，至少需要12777.4cm2的纸．

举一反三：

【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角.

思路点拨：烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面的周长.

解：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，.

∵

∴