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正多边形和圆(二)在上一篇文档中，我们讨论了正多边形和圆的基本概念，以及它们之间的相互关系。
在本文档中，我们将继续探讨正多边形和圆的性质，并介绍它们在几何学和实际应用中的应用。
1. 正多边形的性质正多边形是一种具有相等边长和相等内角的多边形。
以下是正多边形的一些性质：•对于一个正多边形，所有边长相等，所有内角也相等。
•一个正n边形可以被划分为n个等边三角形，这些三角形的内角为60度。
•内角的大小可以使用下式计算：内角的度数 = (n - 2) * 180 / n，其中n为边的数量。
•外角的大小为360度除以n，即外角的度数 = 360 / n。
2. 圆的性质圆是一个平面上一组到一个固定点之间距离相等的点的集合。
以下是圆的一些性质：•圆心是到圆上任意点的距离相等的点。
•半径是圆心到圆上任意点的距离。
•直径是通过圆心且在圆上的线段，它等于两倍的半径。
•圆周长是圆上所有点之间的距离，公式为周长= 2πr，其中r是半径。
•面积是圆内部的区域，公式为面积= πr^2，其中r是半径。
3. 正多边形和圆的关系正多边形和圆之间存在一些有趣的关系：•一个正多边形可以看作是一个近似的圆形，当边的数量很大时，它们的外观非常接近。
•当正多边形的边的数量越多时，它的内角越接近于圆的内角，即60度。
•正多边形的面积可以通过将正多边形分割为许多小三角形，并计算这些小三角形的面积之和来逼近圆的面积。
•当正多边形的边的数量增加时，正多边形的面积逐渐逼近圆的面积。
4. 实际应用正多边形和圆在几何学和实际应用中有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：•建筑设计中，正多边形和圆形的形状常用于设计建筑物的平面图和外观。
•机械工程中，正多边形和圆形的形状常用于设计齿轮、螺旋桨和其他旋转部件。
•地理学中，正多边形和圆形的形状常用于描述地球上的各种地形特征。
•圆形运动在物理学中有广泛的应用，如行星的运动轨迹、电子的轨道等。
•数学中，正多边形和圆形是许多数学问题的重要基础，如三角函数、概率论等。
27.6 正多边形与圆（2）[几何计算]第一组 27-171、如果一个正多边形的外角的余弦值是12，那么它为（ ） A 、等边三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正五边形2、将正十边形绕它的中心旋转，可以与原来的正十边形重合，如果是首次重合，那么旋转角为（ ）A 、180ºB 、36ºC 、60ºD 、18º3、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是（ ） A 、两角互余 B 、两角互补 C 、两角互余或互补 D 、不能确定4、已知正十边形的边心距是30，那么这个正十边形的面积是（ ） A 、45sin 36º B 、90tan 18º C 、45cos 36º D 、90cot 18º5、圆的内接正n 边形与外切正n 边形的边长之比是（ ） A 、sin 180ºnB 、cos 180ºnC 、tan180ºnD 、cot180ºn6、半径长相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A 、1：√2：√3B 、1：2：3C 、√3：√2：1D 、3：2：17、如果正方形ABCD 的外接圆的半径为R ，那么这个正方形的面积是 。
8、如果圆的半径为R ，那么它的内接正三角形的边长等于 ，边心距等于 。
9、边长为3的正三角形的面积是 。
10、正n 边形的一个中心角为40º，那么n = 。
11、在半径为4的圆中，内接正方形的边心距为 。
12、正多边形有27条对角线，则这个正多边形的内角和为 。
13、若正六边形ABCDEF 的外接圆的半径为r ，则正六边形ABCDEF 的面积等于 。
14、一个正多边形的一个外角的余弦值等于√32，则这个正多边形的边数是 。
15、已知圆的半径为6，求这个圆的外切正六边形的周长。
16、已知正六边形的边长为a ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。
教师姓名 学生姓名 填写时间 学科
年级
教材版本
课题名称
正多边形与圆
本人课时统计
第（ 、 ）课时 共（）课时
上课时间
教学目标
同步教学知识内容
掌握正多边形与圆的关系 个性化学习问题解决
解决正多边形的相关概念与各种计算
教学重点 勾股定理的运用以及概念的理解
教学难点
各种概念的理解
教 学 过 程 、 课 堂 设 计
知识点1 正多边形的相关概念
（1） 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2） 正多边形和圆：把一个圆n 等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个
圆是这个正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（3） 正多边形是对称图形。
当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心
对称图形。
（4） 与正多边形有关的概念：
a 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；
b 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；
c 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。
正n 边形的每个中心角都等于
360/n ，正n 边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.
d 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
例题1
圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化 例题2
正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3
正n 边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。
例题4
知识点2 正多边形的计算
1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。
2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。
3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。
注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式 提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决.
例题5如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
例题6如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900
，AD ＝4，BD ＝6，求图中阴影部分的面积。
∙第1题图
E
F A
B
O
C D
2
2
2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=a r
R
2
O 1O ∙∙例1图
B A
一、选择题
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A.
26 B.43 C.3
6
D.34
4.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A.
63 B.43 C.332 D.3
3
5.已知正多边形的边心距与边长的比为
2
1
，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 6．如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（ ）
(A)36° (B)18° (C)72° (D)54° 7．下列命题正确的是（ ）
(A)正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1； (B)正六边形的边长等于其外接圆的半径；
(C)圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍； (D)各边相等的圆的外切四边形是正方形。
二、填空题
1.若正n 边形的一个外角是一个内角的
3
2
时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 3.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
4.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
5.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
6.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_________度.
7．已知正六边形边长为a ，则它的内切圆面积为_______．
8．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为 ．
1.已知⊙O和⊙O上的一点A.
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.
2．已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
3.如图，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
4
．已知，⊙O 的内接等腰三角形ABC ，AB =AC ，弦B(D)CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，BE =BC ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．
5．分别求半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、•边心距和面积．
6．如图，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24m 的正六边形ABCDEF (如图20-191 (2))，点O 为中心
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）己知塔的墙体宽为1m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
7.如图，请观察这两个图形是怎么画出来的？并请画出这个图形
8.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方
形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
提交时间教学组长审批教学总监审批。
