24.6正多边形和圆(2)(正多边形的画法).

专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2.正多边形的中心对称性。

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3.正多边形的画法。

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。

正多边形与圆及正多边形的画法内容：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．3．正多边形的画法．问题：1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．探究：如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC 的边AB 上的高h ．（2）设DN=x ，且h DN NFh AB-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hF DEC BANG课时作业1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°(1) (2) (3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．5．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O 的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．7．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．8．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．9．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．。