高等数学与初等数学的关联之我见

高教论坛　浅论初等数学教育与高等数学教育的接轨　

张妮　（黔西南民族师范高等专科学校，贵州兴义５６２４００）　摘要：本文主要从初等教育和高等教育的联系着手，提出了顺利实现初等教育和高等教育接轨的几种方法，并通过高中　数学新教材透视初等数学教育与高等教学教育的接轨，给出了导数、概率与统计以及行列式等三个典型的例子，进一步讨论了　初等数学和高等数学的接轨问题。　关键词：初等数学；高等数学；数学教育；接轨　数学是个继承的学问。小学数学是学习数学的基础，中学把　算术提升到代数，来求解方程，并且出现了几何，具有了数形，这　样就有了初等数学的雏形。初等数学研究固定不变的东西，相反，高　等数学研究变化的东西。然而，当前数学教育状况令人担忧！初等　数学教育的目标似乎就是高考，致使初等数学教育与高等数学教育　有脱轨的迹象，冈０人大学的学生积极性、主动性不高这一事实普遍　存在。为解决这一矛盾，必须使初等数学教育与高等数学教育顺利　接轨，并整合成一个有机系统。　一、高等数学和初等数学的联系性　１、两种教育接轨期的含义　高等数学的教育实践中存在着一个长期难以解决的问题：从　初等数学到高等数学，大多数教师都是按教材的顺序，从最抽　象、最难掌握的极限概念　一｜ｖ、　—　定义讲起，仅一个极限、连　续定义就把学生折磨得筋疲力尽。使得相当一部分学生感到心理压　力大，甚至觉得高等数学没什么用处，对高等数学的学习丧失了　兴趣和信心。多数学生除了能机械模仿例题验证、计算几个简单　极限外，都难以接受这种全新的有关极限的定义方式，难以掌握　极限这一基本工具。通常，人们把这一艰难的时期称为高等数学　的过渡时期，同时也称为初等数学教育和高等数学教育的接轨时　期。　２、两种教育的联系　高等数学是在初等数学的基础上逐步发展起来的，前者是后　者的延续和补充，如《高等几何》、《高等代数》就分别是在《初等　几何》、《初等代数》的基础上发展起来的。初等数学的一些思想方　法至今仍在高等数学中起着非常重要的作用。而初等数学的研究对　高等数学的发展也起了极大的促进作用。　由于高等数学和初等数学的知识是阶梯式的上升，高等数学　与初等数学之间存在着相当大的差距。一般地讲，初等数学与高等　数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高　等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋　予它们以新的涵义．而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学　数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、映射等。高等　数学正是在初等数学的基础上发展起来的。　３、接轨时期的教学内容　初等数学和高等数学接轨时期的教学重点就是函数、极限、　连续性。核心是极限。它是初等数学进入高等数学的转折点，是一　个很重要的衔接。同时它所表现的观点和方法是整个高等数学的精　髓，也是高等数学的重点之一，这一接轨时期的教学目的是使学　生初步形成运动与变化的观点，理解极限与连续的概念，掌握极　限的精确定义。　二、初等数学教育与高等数学教育顺利接轨的方法　１、发挥高等数学中的数学思想方法和背景，培养学生的思　维能力和解题能力，用数学思想剖析初等数学。　高等数学中蕴涵着丰富的数学思想方法，而这些重要的数学　思想方法也贯穿着整个中学数学的教材之中，是中学数学教学内容　的精髓和灵魂ｌ１１。因此，教师在传授初等数学知识的同时，应充　分挖掘高等数学中的思想方法，引导和培养学生的思维能力和解题　能力。在中小学数学教材中，蕴含着丰富的数学思想，如集合思　想，化归思想，换元思想，对应思想，数形结合思想，公理化　与结构思想，函数与方程思想，抽样统计思想，极限思想等。　例如，构造法是高等数学和初等数学中的一种重要的思想方　法，它在数学教学和解题中起着独特的作用。像Ｃａｕｃｈｙ微分中值定　理等重要的定理都是运用构造法加以解决的，在初等数学中的作用　也举不胜举。　２、适当运用高等数学的观点分析初等数学的问题　基本初等函数是高中数学代数的一个重要的组成部分，内容　庞大、复杂，它与大学中的数学分析、常微分方程等课程存在着密　切的联系，知识结构之间也是一种螺旋式的深入。但中学阶段的基　本初等函数是从解析式引申推广得到的。有些定义是形式的，有些　定义则是依赖于几何直观而提出的，没有完整地指明这些基本初等　函数的本质属性。　例如，指数函数和对数函数是一个重要的基本初等函数，通　过高等数学的知识，能把握其本质属性。因此，在课堂教学中，　最好要指明：指数函数的实质就是一个厂：Ｒ　Ｒ上的满足条件：　（１）Ｖｘ，Ｙ∈Ｒ，ｆ（ｘ＋　）＝／（　）・＿厂（　）　（２）Ｖｘ∈Ｒ，有厂（　）　１＋舡（常数ｋ≠０）　的唯一函数。（不考虑底数ａ的不同值）　实数域、有理数域、复数域是中学代数很重要的三个数系，　贯穿于整个中学阶段。因此，有机地结合高等数学课程的教学，可　以使学生在思想上明确中学教学中定义无理数的根据，解决了正实　数ａ的无理指数ａ的幂ａｘ的存在唯一性问题，正实数的对数存在唯　一性问题，算术根的存在唯一性问题，复数的大小比较问题等中学　数学无法解决的问题，正确区分了有理数域和实数域的代数结构和　序结构问题。　因此，在高等数学课程教学中，有意识地渗透与初等数学内　容的联系，既开阔了学生的视野，培养和锻炼研究初等数学的意识　和能力，保证了学生对初等数学教学内容的正确理解，也增强了学　生学习高等数学的自觉性与兴趣。　

高等数学工本需要的数学基础

高等数学工本是数学学科的一个重要领域，也是各个学科领域中必不可少的一部分。因此，准备学习高等数学工本的各位同学必须具备一定的数学基础才能更好的学习和理解高等数学工本的知识。下面是高等数学工本需要的数学基础。

1.初等数学

首先，高等数学工本所需要的数学基础是初等数学知识。包括数的四则运算、初等代数、初等函数、初等几何、微积分等。初等数学是理解高等数学的必要前提，因此，掌握初等数学知识是学习高等数学的基础。

2.微积分

微积分是高等数学中的重要分支之一，是研究函数变化的规律性和对物理、化学、工程、生物等学科领域中实际问题的求解的一种强有力的工具。因此，在学习高等数学工本之前，需要对微积分进行深入的学习，包括数列和函数的极限、导数和微分、积分和定积分。

3.线性代数

线性代数是数学学科中的一门重要课程，用于研究线性方程组、向量空间及其线性变换、矩阵、特征值和特征向量等概念。高等数学工本中也大量应用了线性代数的知识。所以，掌握线性代数的知识是学习高等数学工本的基础。

4.数学分析

数学分析是高等数学的重要组成部分，它研究数学的基础概念和方法，包括极限、连续、一元和多元几何、多元微分学、无穷级数等。学习数学分析可以帮助我们更好的理解和应用高等数学工本的概念和技术。

5.常微分方程

Ｖｏ１．１３，ＮＯ．１　Ｊａｎ．，２０１０　高等数学研究　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　１１５　

初等数学思想与技巧在高等数学中的魅力　

李殿龙　

（江南大学理学院，江苏无锡，２１４１２２）　

摘要　举例说明初等数学中反证法及剖分思想在“高等数学”中的重要价值．给出调和级数发散的直观证　

明，指出Ｍａｃｌａｕｒｉｎ公式具有一般性，再现了初等数学技巧的魅力．　关键词　反证法；剖分；调和级数；Ｍａｃｌａｕｒｉｎ公式．　中图分类号　Ｏ１７１　

一些大学一年级学生认为，高等数学较中学阶段　

的初等数学抽象、不易接受，对纷繁复杂的题目更是　由　无从下手，甚至认为高等数学是不可理喻的．刚刚开　

始学习就有一种畏惧感，久而久之学习上必然产生抵　触情绪．下面两个例子试图向读者说明高等数学并不得　

可怕，将初等数学思想升华可以解决诸多问题．　例１Ⅲ　设函数，（　）和函数ｇ（　）在Ｒ上可导，　于是　

且对任意Ｘ∈Ｒ有　厂（ｚ）ｇ（　）≠ｆ（ｘ）ｇ　（ｚ），　则，（　）一０的任何两个根之间必有ｇ（　）一０的根．　

证明　假设原命题不真．即　

Ｘｌ＜　２，ｆ（ｘ１）一ｆ（ｘ２）一０，　且Ｖ　ｚ∈（　ｌ，ｚ２）有　

收稿日期：２００７—１１—１４．　作者简介：李殿龙（１９７１－－），男，黑龙江庆安人，硕士，副教授，从事代　数编码研究，Ｅ—ｍａｉｌｌ　Ｉｄ１１９７１（￣１２６．ｃｏｎＬ　

２　进一步分析　事实上，上述充分必要条件只是一个充分条件，　而不是一个必要条件．因为即使在一个零测度集上　ｆ（ｘ，３，）≠ｆｘ（　）・厂ｙ（　），　也不会使得我们所求的联合分布函数和边缘分布函　数值发生改变，所以要求处处有　ｆ（ｘ，　）一ｆｘ（　）・＾（　）　才能说明随机变量Ｘ、ｙ相互独立是过于苛刻的．　那么，如何证明Ｘ与ｙ相互不独立呢？我们先给出　准确的连续型随机变量Ｘ，ｙ相互独立的充分必要条件．　连续型随机变量Ｘ，ｙ相互独立的充分必要条件　是：几乎处处有联合概率密度函数等于两个边缘概率　密度函数的乘积．　如果要想证明两个随机变量Ｘ，ｙ相互不独立，　必须证明：至少在一个非零测度集上，几乎处处有　ｆ（ｘ，　）≠，ｘ（ｚ）・＾（３，）．　（４）　正确做法如下：由所求得的边缘概率密度可得　

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浅谈高等数学与中学数学课程的衔接问题

作者：杨丹 廖毕文 张敏

来源：《读写算》2013年第05期

【摘要】数学教育是一个完整的科学体系，中学数学与高等数学是有密切联系的，高质量人才的培养必须靠两者的相互衔接和共同努力。本文通过讨论高等数学与中学数学课程的衔接问题，提出通过数学教学培养学生分析问题、解决问题的能力及实现数学的价值是十分重要的。

【关键词】高等数学中学数学衔接能力

高等数学是自然科学和工程科学的基础。一方面，高等数学能为后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。另一方面，通过学习高等数学，可逐步培养学生具有初步抽象概括问题的能力，一定的逻辑推理能力，比较熟练的运算能力，综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力。扎实的数学基础及数学思维方法的运用是学生成才必备的素养。在高等数学的教学中，发现许多理科进校的学生觉得很多内容好像已学过。但是高等数学与初等数学相比，对学生的要求却有很大的不同，对数学的定理、概念的叙述及分析更加深入、更加严密，不仅要求学生熟练掌握最基本的运算，而且要求学生具备分析问题、解决问题的能力。这也是大部分学生学习高等数学的一个难点，因而怎样在中学的基础上讲授高等数学，以便很好引导学生适应这种转变和要求值得研究。笔者就该问题谈一些看法，不妥之处，敬请指教。

一、深入调查，摸清情况，循序渐进

首先应研究中学教材，了解学生的实际情况。许多学生数学的运算能力是不错的，但学习数学的方法不够科学，他们往往是死套公式，背结论，忽视了每一个定理、公式适用的条件和范围。超出了这些限制，公式就完全不能应用。还有的学生表达能力较差，简单的证明题说不清楚，能够简洁扼要叙述的不多。考虑到学生逻辑思维能力的形成与发展是一个循序渐进的过程，只有呈现思维形成的轨迹，才能便于学生操作，引导学生逐渐获取思维的方法，进而实现内化，强调形成性。要掌握一个数学概念本来就不容易，因此我们不能要求学生碰到一个新概念就能深刻理解，可以从初步认识到熟练掌握循序渐进，然后通过多次反复实践，逐步提高。例如高等数学中“导数”这个概念，许多学生在中学已学会了求导，而且有部分学生对一些简单的求导运算相当熟练，但可以说绝大部分学生对“导数”这个概念十分模糊。为了能正确理解导数是什么，在讲概念之前先从几个学生非常熟悉的例子中，例如变速直线运动的质点的瞬时速度问题和曲线的切线问题引申出导数的概念，使学生对一个抽象概念有一个直观的认识；为了能对它有个更巩固深刻的理解，在求分段函数的导数时特别强调分段点必须用导数的定义求，有相当一部分学生求分段点的导数是利用导函数的极限去求的，即他们认为limxaf'（x）就是a点的导数。但我们可以举一个简单的例子，设函数为f（x）=x2sin1x，x=00，x=0，用导数定义有，f'（0）limx0x2sin1xx=limx0xsin1x=0得在x=0点可导。但又发现用公式f'（0）=limx0f'龙源期刊网