绝密★启用前玉溪市2023届高三毕业生第一次教学质量检测数学试题卷（本卷满分150分，考试时间为120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上2.每小题选出答案后，将对应的字母填在答题卡相应位置上，在试题卷上作答无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}24A x x =<，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则A B ⋃=（）A.()2,2-B.[)0,3C.()2,3-D.(]2,3-2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()2i i z a =+（其中a ∈R ）为“等部复数”，则复数2i z a -在复平面内对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在扇形COD 中，23COD π∠=，2OC OD ==，设向量2C m O OD =+，2OC OD n =+，则m n ⋅=（）A.4-B.4C.6-D.64.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.圆锥的高是0.4m ，底面直径和球的直径都是0.6m.现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）克（精确到个位数）A.176B.207C.239D.2705.已知奇函数()()()2co 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<图象的相邻两个对称中心间的距离为2π，将()f x 的图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图象，则()g x 的图象（） A.关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.关于点5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C.关于直线3x π=-对称D.关于直线2x π=对称6.若a ，{}1,2,3b ∈，则在“函数()()2ln f x x ax b =++的定义域为R ”的条件下，“函数()xxg x a b -=-为奇函数”的概率为（）A.16B.13C.12D.237.已知()()()()45202220231121202312022x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则m n p ++=（） A.2022 B.2023 C.40 D.508.已知e 2a =-，1ln 2b =-，e2e e c =-，则（） A.c a b >> B.a c b >> C.a b c >> D.c b a >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知双曲线C 过点(且渐近线方程为0x ±=，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213y x -= B.C 的离心率为C.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点 D.C 的焦点到渐近线的距离为110.已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论一定正确的是（） A.()228a b ab +≥B.ab 有最大值4≥ D.14a b+有最小值911.已知函数()22,02sin ,242x x x f x x x π⎧-⎪=⎨<⎪⎩剟…，则下列结论正确的有（）A.522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.函数()f x 图象关于直线1x =对称C.函数()f x 的值域为[]1,0-D.若函数()y f x m =-有四个零点，则实数m 的取值范围是(]1,0-12.在棱长为1的正方体1111A B C D ABCD -中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111D Q D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，则下列结论正确的是（） 与QM 共面B.三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关C.当14λ=时，AM QM ⊥ D.当13λ=时，过A ，Q ，M三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线的倾斜角为α，则c o s α=______.14.已知随机变量()2,X B p ~，若()7116P X =…，则p =______. 15.已知直线0x y +=与圆C ：()()22211221x y a a ++-=-+相交于点A ，B ，若ABC △是正三角形，则实数a =______.16.已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>）的左、右焦点，A ，B 是椭圆C与抛物线P ：2x y a a=-+的公共点，A ，B 关于y 轴对称且A 位于y 轴右侧，22AB AF ≤，则椭圆C 的离心率的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在①q d =，②4q d ⋅=这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解 设等差数列{}n a 的公差为()d d N*∈，前n 项和为nS，等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =，22b =，______，10100S =.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）（1）请写出你的选择，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足nn na cb =，设{}nc 的前n 项和为n T ，求证：6n T < 18.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边长依次是a ，b ，c，b =，222sin sin sin sin sin A C A C B ++=（1）求角B 的大小；（2）当ABC △面积最大时，求BAC ∠的平分线AD 的长 19.（本小题满分12分）某地A ，B ，C ，D 四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+； （2）假设每台冰箱的售价均定为4000元.若进入A 商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p ，12112p p ⎛⎫-<<⎪⎝⎭，且甲乙是否购买冰箱互不影响.若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p 的取值范围参考公式：回归方程 y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2PA AD ==，4AB =，M ，N 分别是线段AB ，PC 的中点（1）求证：MN∥平面PAD ；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得直线NQ 与平面DMN 所成角的正弦值为13？若存在，求出CQCD的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）如图，已知()1,0F ，直线l ：1x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与轨迹C 交于A ，B 两点，与直线l 交于点M ，设1MA AF λ=，2MB BF λ=，证明12λλ+为定值，并求12λλ的取值范围22.（本小题满分12分） 已知函数()12e1x f x ax -=++的图象与直线l ：0x by c ++=相切于点()()1,1T f（1）求函数()y f x =的图象在点()()0,0M f 处的切线在x 轴上的截距； （2）求c 与a 的函数关系()c g a =（3）当a 为函数()g a 的零点时，若对任意[]1,2x ∈-，不等式()0f x kx -≥恒成立，求实数k 的最值.数学参考答案一、选择题二、选择题三、填空题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.特别说明：所标示的得分点，仅仅作为评分参考，具体阅卷需要请阅卷题组长组织讨论制定相对科学合理又方便于评分操作的评分细则. 17.（本小题满分10分）解：（1）选填条件①，由题意得()11111045100,2,,.a d b q b a q d d N *+=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=∈⎩，即()112920, 2.a d a d d N *+=⎧⎪⎨=∈⎪⎩， 解得111,1,2,2.a b d q =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故121,2.n n n a n b -=-⎧⎨=⎩ 选填条件②，由题意得11111045100,2,,4.a db q b a qd +=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即112920,42.a d a d+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得111,1,2,2.a b d q =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎨=⎩ （2）由（1）得1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++⋅⋅⋅+①，2345113579212222222n n n T -=+++++⋅⋅⋅+②， ①-②得：221111212323222222n n n nn n T --+=+++⋅⋅⋅+=-， 故12362n n n T -+=-.因为对n N *∀∈，12302n n -+>，所以6n T <18.（本小题满分12分）解：（1）已知222sin sin sin sin sin A C A C B ++=，由正弦定理可得222a cb ac +-=-.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-. 又()0,B π∈，所以23B π=（2）在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，222122cos 3a c ac π=+-， 即2212a c ac ++=因为0a >，0c >，则221234a c ac ac ac =++≥⇒≤， 当且仅当2a c ==时，()max 4ac =， 所以，当且仅当2a c ==时ABC △面积最大2a c ==时，12236BAC C π∠∠ππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.在ABD △中，6124ADB πππ∠=+=.由正弦定理得222sin sin342AD AD ππ=⇒== 19.（本小题满分12分） 解：（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==413 2.543546 4.566.5i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221345686i i x ==+++=∑所以，266.54 4.5 3.50.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯，则 3.50.7 4.50.35ˆa y bx =-=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+（2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X ，则X 的所有可能取值为0，1，2.()()()20122242P X p p p p ==--=-+，()()()()2112122451P X p p p p p p ==--+-=-+-，()()22(212P X p p p p ==-=-所以，X 的分布列为所以()()()()222024*********E X p p p p p p p =⨯-++⨯-+-+⨯-=-，()()4000400031E X p =-，令()40006000E X ≤，即()4000316000p -≤，解得56p ≤， 又112p <<，所以1526p <≤. 所以p 的取值范围为15,26⎛⎤⎥⎝⎦法二：记甲购买冰箱的期望为()E X ，乙购买冰箱的期望为()E Y ，则()4000E X p =.()()400021E Y p =-，()()()4000316000E X E Y p +=-≤，56p ≤又已知112p <<，则p 的取值范围为15,26⎛⎤ ⎥⎝⎦20.（本小题满分12分）解：（1）如图，取PB 中点E ，连接ME ，NE .∵M ，N 分别是线段AB ，PC 的中点， ∴ME PA ∥.又∵ME ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴ME ∥平面PAD . 同理得NE ∥平面PAD .又∵ME NE E ⋂=，∴平面PAD ∥平面MNE . ∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面PAD （2）∵ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，∴AP 、AB 、AD 两两垂直.依次以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则()4,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()2,0,0M ，PC 中点()2,1,1N ， ∴()2,2,0DM =-，()2,1,1DN =-， 设平面DMN 的法向量(),,n x y z =，则00DM n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得1y =，1z =-，()1,1,1n =-.若满足条件的CD 上的点Q 存在，设(),2,0Q t ，04t 剟， 又()2,1,1N ，则()2,1,1NQ t =--.设直线NQ 与平面DMN 所成的角为θ，则(1sin 32t NQ n NQ nt θ⋅===⋅-，解得1t =或3t =- 已知04t ≤≤，则1t =， ∴()1,2,0Q1DQ =，4CD =，413CQ CD DQ =-=-=，34CQ CD = 故CD 上存在点Q ，使直线NQ 与平面DMN 所成角的正弦值为13，且34CQ CD = 21.（本小题满分12分）解：（1）设点(),P x y ，则()1,Q y -，且()1,0F由QP QF FP FQ ⋅=⋅得()()()()1,02,1,2,x y x y y +⋅-=-⋅-，即()()22121x x y +=--+，化简得24y x =. 故动点P 的轨迹C 的方程为：24y x =（2）设直线AB 的方程为：()10x my m =+≠，则21,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭联立直线AB 与轨迹C 的方程得241y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my --=， ()2Δ4120m =-+> 设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理知，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩. 由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y m λ+=-， 整理得1121my λ=--，2221my λ=--. 1212121221122422204y y m m y y m y y m λλ⎛⎫++=--+=--⋅=--⋅= ⎪-⎝⎭ 故12λλ+为定值0. ()()2212121222212122442442211111|4|m y y m y y m m m my my m y y m m λλ+++-+⋅+⎛⎫⎛⎫=--⋅--===+> ⎪ ⎪⋅⋅-⎝⎭⎝⎭，所以12λλ的取值范围是()1,+∞22.（本小题满分12分） 解：（1）()12e1x f x ax -=++，()1e 2x f x ax -=+'，()101f e =+，()10f e '=. 函数()12e 1x f x ax -=++的图象在点()()0,0M f 处的切线方程是：111y x e e⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令0y =得1x e =--，所以该切线在x 轴上的截距等于1e --（2）()12f a =+，()112f a '=+，函数()12e 1x f x ax -=++的图象在1x =处的切线方程是：()()()2121y a a x -+=+-，即()121y a x a =+-+，两端乘以b 变作：()()121by b a x a b =++-①.又已知函数()f x 的图象在点()()1,1T f 处的切线方程是：by x c =--②.直线①与直线②重合，则()121b a +=-③ ()1a b c -=-④，联立③④消去b 得112a c a -=+， 所以c 与a 的函数关系为：()11122a c g a a a -⎛⎫==≠- ⎪+⎝⎭ （3）函数()112a c g a a-==+的零点为1a =， 1a =时.()12e 1x f x x -=++对[]1,2x ∀∈-，()0f x kx -≥恒成立，转化为对[]1,2x ∀∈-，不等式12e 1x x kx -++≥恒成立.①当0x =时，20k ≥⋅对k R ∀∈恒成立，此时R k ∈.②当02x <≤时，12e 1x x k x-++≤恒成立. 设()12e 1x x h x x -++=，求得()()()121e 1x x x h x x-'-++=. 02x <≤时1e 10x x -++>，由()0h x '>得1x >，由()0h x '<得01x <<，所以()h x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增.所以当1x =时，()h x 取得极小值，()()()min 13h x h x h ===极小，此时3k ≤③当10x -≤<时，12e 1x x k x-++≥恒成立.与②同，设()12e 1x x h x x -++=，()()()()121e 110x x x h x x x --++=-≤<'. 令()1e 1x p x x -=++，则()1e 10x p x -=+>'，()p x 在()1,0-上单调递增.所以，10x -≤<时()()21e 0p x p -≥-=>，得()0h x '<，()h x 在()1,0-上单调递减.所以，1x =-时，()h x 取得最大值()212h e --=--，此时22k e -≥--整合①②③三种情形，得223e k ---≤≤，且等号都取得到.所以，实数k 的最大值为3，最小值为22e ---。
云南省玉溪市玉溪一中高三上学期第一次月考数学（文）试题Word 版含答案文科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 已知会合 A x 0 x 2 ， Bx x 21 ，则 A U B （）A. 0,1B. 1,2C.1,1D., 1U2,2. 已知 i 为虚数单位， z 1 i 1 i ，则复数 z 的共轭复数为（）A. iB. iC. 2iD. 2i3. 某校有高级教师 90 人，一级教师 120 人，二级教师 170 人，现按职称用分层抽样的方法 抽取 38 人参加一项检查，则抽取的一级教师人数为（ ） A.10B.12C.16D.18x y 1 04. 若变量 x, y 知足拘束条件 2xy 1 0 ，则目标函数 z 2xy 的最小值为（）xy 1 0A.4B. 1C. 2D. 3 5. 履行下列图程序框图，若输出 y 2 ，则输入的 x 为（ ）A. 1 或 2B.1 C.1 或2 D.1 或 26. 已知平面 平面 ，则“直线 m 平面 ”是“直线 m ∥ 平面 ”的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7. 等差数列 a n 的前 11 项和 S 11 88 ，则 a 3 a 6 a 9 （）A.18B.24C.30D.328. 函数 f xcos x（0 ）的最小正周期为 ，则 f x 知足（ ）6A.在 0,上单一递加B. 图象对于直线 x对称 36C. f3 D. 当 x5 12时有最小值3129. 函数 f xx 2 ln x 的图象大概为（）A BC D10. 某四棱锥的三视图如下图，则其体积为（）A.4B.8C.4D.83311. 在平面直角坐标系224，直线 l 的方xOy 中，圆 O 的方程为 x y程为 yk x 2 ，若在圆 O 上起码存在三点到直线l 的距离为 1，则实数 k 的取值范围是（ ）A. 0,3B.3 31 , 1D. 0,13,C.3 3 2 2212. 已知函数 f x x 3 ax 2bx 有两个极值点 x 1, x 2 ，且 x 1 x 2 ，若 x 1x 0 2x 2 ，函数g xf xf x 0 ，则g x （）A. 仅有一个零点B. 恰有两个零点C.恰有三个零点D. 起码两个零点第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 a 4, x ， b 1,2 ，若 a b ，则 x ．14. 已知双曲线过点2,3，且与双曲线x 2y 21 有同样的渐近线，则双曲线的标准4方程为 ．15. 直角△ABC的三个极点都在球O 的球面上，AB AC 2 ，若球O 的表面积为12 ，则球心 O 到平面 ABC 的距离等于．16.a n 是公差不为0 的等差数列，b n 是公比为正数的等比数列，a1 b1 1 ， a4 b3，a8 b4，则数列a n b n 的前n 项和等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在△ABC 中，角 A ， B ，C所对应的边分别为 a ，b， c ，a b bcos C .（1）求证：sin C tan B ；（2）若 a 1 ，b 2 ，求 c .18.某学校用简单随机抽样方法抽取了 30 名同学，对其每个月均匀课外阅读时间（单位：小时）进行检查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生称为“念书迷”.（1）将频次视为概率，预计该校900 名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7 名“念书迷”中随机抽取男、女“念书迷”各 1 人，参加念书日宣传活动.（i ）共有多少种不一样的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“念书迷”月均念书时间相差不超出 2 小时的概率 .19. 如图，平行四边形 ABCD 中， BC 2AB 4， ABC 60 ， PA 平面 ABCD ，PA 2 ，E， F 分别为BC， PE的中点.（1）求证：AF 平面 PED ；（2）求点 C 到平面PED的距离 .20. 已知椭圆x2 y2 1，且离心: a2 b21 a b 0 经过点M 3,2率为 3 .2（1）求椭圆的方程；（2）设点M在x轴上的射影为点N ，过点 N 的直线 l 与椭圆订交于A，B两点，且uuur uuurNB 3 NA 0 ，求直线 l 的方程 .21. 已知函数 f x e x， g x ln x a .（1）设 h x xf x ，求 h x 的最小值；（2）若曲线 y f x 与 y g x 仅有一个交点P ，证明：曲线y f x 与 y g x 在点P 处有同样的切线，且 a 2, 5 .2请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22. 点P是曲线 C1 : x 2 24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建y2立极坐标系，以极点 O 为中心，将点P逆时针旋转90 获得点 Q ，设点 Q 的轨迹方程为曲线C2 .（1）求曲线 C1， C2的极坐标方程；（2）射线0 与曲线 C1， C2分别交于A，B两点，定点 M 2,0 ，求△ MAB 的面3积.23. 已知函数 f xx 2a x 1 .（1）若 a 1 ，解不等式 f x 5 ；（2）当 a 0 时， g a f 1 ，求知足 g a 4 的a的取值范围 .a文科数学参照答案一．选择题： BABCDDBDAD BA二．填空题：22（ 13）2（14）yx1 （ 15）1 （16） n 1 2n128三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由 ab b cosC依据正弦定理得sin A sin Bsin B cosC，即 sin BCsin Bsin B cosC，sin B cosCcos B sin Csin Bsin B cosC，sin C cos Bsin B，得 sin C tan B ．（Ⅱ）由 a bb cosC ，且 a 1 ， b 2 ，得 cosC1 ，2由余弦定理， 2221 4 21 2 1 ，ca b 2ab cosC72因此 c 7 ．（18）解：（Ⅰ）设该校 900 名学生中“念书迷”有 x 人，则7x，解得 x 210.30 900因此该校 900 名学生中“念书迷”约有 210 人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“念书迷”为a 35 ， a 38 ， a 41 ，抽取的女“念书迷”为b 34 ， b 36 ， b 38 ， b 40 ( 此中下角标表示该生月均匀课外阅读时间 ) ，则从 7 名“念书迷”中随机抽取男、女念书迷各1 人的全部基本领件为：a 35 ,b 34 ， a 35 ,b 36 ， a 35 ,b 38 ， a 35, b 40 ， a 38 ,b 34 ， a 38 , b 36 ， a 38 ,b 38 ， a 38 , b 40 ， a 41 , b 34 ， a 41 ,b 36 ， a 41 ,b 38 ， a 41, b 40 ，因此共有 12 种不一样的抽取方法．（ⅱ）设 A 表示事件“抽取的男、女两位念书迷月均念书时间相差不超出 2 小时”，则事件 A 包括 a 35 , b 34 ， a 35 ,b 36 ， a 38 , b 36 ， a 38 ,b 38 ， a 38 ,b 40 ， a 41, b 406 个基本领件，因此所求概率 P A61．122（19）解：（Ⅰ）连结 AE ，在平行四边形 ABCD 中，PBC 2AB 4， ABC 60 ，∴ AE 2 ，ED 2 3 ，进而有 AE 2 ED 2 AD 2 ，F ∴ AEED ．AD∵ PA 平面 ABCD ， ED平面 ABCD ，∴B ECPA ED ，又∵ PAI AE A ，∴ ED平面PAE ， AF平面PAE进而有 ED AF ．又∵ PA AE 2 ，F 为 PE 的中点，∴ AF PE ，又∵ PE I ED E ，∴ AF平面 PED ．（Ⅱ）设点 C 到平面 PED 的距离为 d ，在 Rt △PED 中， PE2 2，ED2 3 ，∴ S △ PED 2 6 ．在 △ECD 中， EC CD2 ，ECD 120 ，∴ S △ ECD 3 ．由 V C PEDV PECD得， 1△ d1△PA ，S PED3 S ECD3S △ ECD PA 2 ．∴ dS △ PED2因此点 C 到平面 PED 的距离为2 ．2（20）解：（Ⅰ）由已知可得31 1 ， a2 b 23，解得 a2 ， b 1 ，a 2 4b 2 a2因此椭圆 Γ的方程为x 2y 2 1 ．4（Ⅱ）由已知 N 的坐标为 3,0 ，uuur uuur 0 不建立．当直线 l 斜率为 0 时，直线 l 为 x 轴，易知 NB3 NA当直线 l 斜率不为0 时，设直线l 的方程为 x my 3 ，代入 x2 y2 1 ，整理得， 4 m2 y2 2 3my 1 0 ，4设 A x1 , y1 ， B x2 , y2 则 y1 y2 2 3m2，①y1 y2 1 ，②4 m 4 m2uuur uuur0 ，得 y2 3y1，③由 NB 3NA由①②③解得m 2 ．2因此直线 l 的方程为x 2 y 3 ，即 y 2 x 3 ．2（21）解：（Ⅰ） h ' x x 1 e x ，当 x 1 时， h ' x 0 ， h x 单一递减；当 x 1 时， h ' x 0 ， h x 单一递加，故 x 1 时， h x 获得最小值 1 ．e（Ⅱ）设 t x f x g x e x ln x a ，则t ' x e x 1 xe x 1x 0 ，x x由（Ⅰ）得 T x xe x 1在 0, 单一递加，又 T 1 0 ， T 1 0 ，2因此存在 x0 1使得 T x0 0 ，,12因此当 x 0, x0时， t ' x 0 ， t x 单一递减；当 x x0 , 时， t ' x 0 ， t x 单一递加，因此 t x )的最小值为t x0 e x0 ln x0 a 0 ，由 T x0 0得e x0 1 ，因此曲线 y f x 与 y g x 在 P 点处有同样的切线，x0又 a e x0 ln x0，因此 a 1 x0，x0由于 x0 1 ,1 ，因此 a 2, 5 ．2 2（22）解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为4cos．设 Q , ，则 P ,2 ，则有4cos24sin ．因此，曲线 C2 的极坐标方程为4sin ．（Ⅱ） M 到射线的距离为 d 2sin3 3 ，3AB B A 4 sin cos3 2 3 1 ，3则S 1 AB d 3 3 ．2（23）解：（Ⅰ） f x x 2 x 1 ,因此表示数轴上的点x 到 2 和1的距离之和，由于 x 3 或 2 时 f x 5 ，依照绝对值的几何意义可得 f x 5 的解集为x 3 x 2 ．（Ⅱ） g a 12a11 ，a a当 a 0 时， g a 22a 1 5 ，等号当且仅当 a 1 时建立，因此 g a 4 无解；a当 0 a 1 时， g a 21，2aa由 g a 2 5a 2 0 ，解得1a 2 ，又由于 0 a 1，因此1a 1；4 得2a2 2当 a 1 时， g a 2 a 1 4，解得 1 a 3 ，2综上， a 的取值范围是 1 , 3 ．2 2。
