【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.3.2 函数的极值与导数 课时作业]

排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=

2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2

3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学全册综合测试题新人教A版选修2-1(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选C.当-1≤a≤1时，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5--12≤5--12<0，所以原命题为真，逆否命题亦为真.反之，如a=-2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[-1，1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假.【变式训练】命题“若C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.原命题是真命题.其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C=90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角.这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题.因此，真命题的个数是2.2.(2014·某某高二检测)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2【解析】选B.对于选项A，α，β也可能相交，此时，l1，m都平行于交线，是必要不充分条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B符合题意；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，【变式训练】有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选 A.a>b>0⇒a2>b2，a2>b2⇒|a|>|b|⇒a>b>0，故①错.a>b>0⇒<，但<⇒a>b>0，故②错.a>b>0⇒a3>b3，但a3>b3⇒a>b>0，故③错，故选A.3.(2014·某某高二检测)“1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当方程+=1表示椭圆时，必有所以1<m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x2+y2=1，它表示一个圆.4.(2014·某某高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF⊥x轴得-=1得|y|=，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即=2c.得b2=2ac，所以=，e2-1=2e，所以e=+1.【拓展延伸】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法. (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】若双曲线C：x2-=1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.3D.【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以=，解得b=1，所以c=，所以e==.5.(2014·昌平高二检测)已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-2【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∃x0∈R，x0<2.6.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B 与D之间的距离为( )A.1B.C.D.【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=，BM=，=，DN=，MN=1.由于=++，所以||2=(++)2=||2+||2+||2+ 2(·+ ·+·)=+12++2(0+0+0)=，所以||=.7.(2014·东城高二检测)过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|===5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y轴的距离等于4.8.(2014·某某高二检测)在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若=λ，=λ，则∥，∥，即AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD 为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC，即=，=，此时λ=1，所以∃λ∈R，使得=λ，=λ成立.所以“∃λ∈R，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以=(0，1，-1)，=(1，1，-1)，=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n，>===-1.所以<n，>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90°.10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.【解析】选C.双曲线方程化为-=1(a>0)，因为·=0，所以PF1⊥PF2.所以||2+||2=4c2=20a. ①由双曲线定义||-||=±4，②又已知||·||=2，③由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11.(2014·某某高二检测)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值X围是( )A. B.C.[-1，0]D.【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)，其中0≤x≤1，0≤y≤1.则=(1-x，-y，1)，=(-x，1-y，0)，所以·=(1-x，-y，1)·(-x，1-y，0)=+-，因为+的几何意义是平面区域到点的距离的平方，所以当x=y=时，+有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，+有最大值，所以-≤+-≤0，即·的取值X围是.12.(2014·高二检测)已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，根据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则即x2=4x1，又AF==2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以=，x1=，即p===.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014·某某高二检测)抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为. 【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=，x1x2=-m，所以5=，把x1+x2=，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20. 所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.答案：x2=4y或x2=-20y14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.【解析】由条件知PC，AC，BC两两垂直，设=a，=b，=c，则a·b=b·c=c·a=0，因为∠BAC=60°，AB=8，所以|a|=||=8cos60°=4，|b|=||=8sin60°=4，|c|=||=4.设=x=x(b-a)，其中x∈[0，1]，则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+x b-c，||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)x a·b-2x b·c-2(1-x)a·c=16(1-x)2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64+28，所以当x=时，||2取最小值28，所以||min=2.答案：215.(2014·某某高二检测)在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量=.【解析】因为BG=2GD，所以=.又=+=-+-=a+c-2b，所以=+=b+(a+c-2b)=a-b+c.答案：a-b+c16.(2014·某某高二检测)曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·=k2，①，将(-1，1)代入得0=k2，因为k>0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，①错误.②，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，②正确.③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以+≥2=2k，故③正确.④，由题意知点P0在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2=4·=4k2，所以④正确.综上所述，正确结论的序号是②③④.答案：②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值X围.【解析】当p真时，0<a<1，当q真时，即a>，所以p假时，a>1，q假时，a≤.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a≤；当p假q真时，a>1.综上a的取值X围为∪(1，+∞).18.(12分)(2014·某某高二检测)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=-，=-，又因为=，=，所以=，所以BD∥B1D1.又B1D1⊂平面B1CD1，BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)=++=++(+)=++(-+)=++.设=a，=b，=c，则=(a+b+c).又=-=b-a，所以·=(a+b+c)·(b-a)=(b2-a2+c·b-c·a).又因为⊥，⊥，所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以·=0.所以MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为-1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.(12分)(2014·某某高二检测)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求的值.【解析】(1)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，|PF2|=，所以=.若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以=2，综上，=2或.21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以=，=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ===.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，=(-1，0，1)，=.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·=0，n·=0，得所以x=z，y=z.取z=2，得n=(2，1，2).因为F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1).又B1(1，0，1)，所以=(t-1，1，0).而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇒·n=0⇔(t-1，1，0)·(2，1，2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.22.(12分)(2013·某某高考)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最后在三角形AEH 中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE.(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量. 于是cos<m，>===-，从而sin<m，>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ====.于是=，解得λ=，所以AM=.【一题多解】(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B1+E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，B1C1∩B1G=B1，故CE⊥平面B1C1G，又C1G⊂平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x，在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.。

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课时提升作业(四)充分条件与必要条件(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·西安高二检测)使x>1成立的一个必要条件是( )A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.2.(2014·大连高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( )A.0<x<2B.-1<x<1C.<x<D.<x<2【解析】选 C.x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识易知只有C中由<x<可以推出0<x<1,其余均不可,故选C.3.下列p是q的必要条件的是( )A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1C.p:a<b,q:a<b+1D.p:a>b,q:a>b+1【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故选D.4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( )①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;④由于p:直线a,b不相交q:a∥b,所以p不是q的充分条件.5.(2014·武汉高二检测)如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是<x<,则实数a的取值范围是( )A.<a<B.≤a≤C.a>或a<D.a≥或a≤【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,由题意知(a-1,a+1),则有且等号不同时成立,解得≤a≤,故选B.【变式训练】(2014·上海高二检测)集合A=,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠”的充分条件,则实数b的取值范围是_____________.【解析】“a=1”是“A∩B≠”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b≤0,所以b的范围是-2<b<2.答案:(-2,2)6.已知等比数列{a n}的公比为q,则下列不是{a n}为递增数列的充分条件的是( )①a1<a2;②a1>0,q>1;③a1>0,0<q<1;④a1<0,0<q<1.A.①②B.①③C.③④D.①③④【解析】选B.由等比数列{a n}是递增数列⇔a n<a n+1⇔a1q n-1<a1q n⇔a1q n-1(1-q)<0, 若a1>0,则q n-1(1-q)<0,得q>1;若a1<0,则q n-1(1-q)>0,得0<q<1.所以等比数列{a n}是递增数列⇔a1>0,q>1或a1<0,0<q<1.所以a1>0,q>1⇒等比数列{a n}是递增数列,或a1<0,0<q<1⇒等比数列{a n}是递增数列;由a1<a2不能推出等比数列{a n}是递增数列,如a1=-1,a2=2.【举一反三】若把本题中的“不是{a n}为递增数列的充分条件”改为“是{a n}为递增数列的必要条件”,其他不变,结论如何?【解析】由等比数列{a n}是递增数列⇒a1<a2.由等比数列{a n}是递增数列a1>0,q>1,由等比数列{a n}是递增数列a1>0,0<q<1,由等比数列{a n}是递增数列a1<0,0<q<1.故a1<a2是{a n}为递增数列的必要条件.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·福州高二检测)“lgx>lgy”是“>”的条件.【解析】由lgx>lgy⇒x>y>0⇒>.而>有可能出现x>0,y=0的情况,故>lgx>lgy.答案:充分【变式训练】“x>y”是“lgx>lgy”的条件.【解析】因为x>y lgx>lgy,比如y<x<0,lgx与lgy无意义,而lgx>lgy⇒x>y.答案:必要8.函数f(x)=a-为奇函数的必要条件是_________.【解析】由于f(x)=a-定义域为R,且为奇函数,则必有f(0)=0,即a-=0,所以a=1.答案:a=19.(2014·广州高二检测)满足tanα=1的一个充分条件是α= (填一角即可)【解析】由于tanα=1,故α=kπ+(k∈Z),取α=,显然,α=是tanα=1的一个充分条件.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.(1)p:sinθ=0,q:θ=0.(2)p:θ=π,q:tanθ=0.(3)p:a是整数,q:a是自然数.(4)p:a是素数,q:a不是偶数.【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0q:θ=0,所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=πq:tanθ=0,所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.(3)由于p:a是整数q:a是自然数,p:a是整数⇐q:a是自然数,所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.(4)由于p:a是素数q:a不是偶数,所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.11.若p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,则p是q的什么条件?【解析】若a=-1,b=,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q. 若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0<x1<x2<1,则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以即⇒-2<a<0,0<b<1,即q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.不等式1->0成立的充分条件是( )A.x>1B.x>-1C.x<-1或0<x<1D.x<0或x>1【解析】选A.不等式1->0等价于>0,解得不等式的解为x<0或x>1,比较选项得x>1为不等式成立的充分条件,故选A.2.(2014·青岛高二检测)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的必要条件是( ) A.b>1 B.b<-1 C.b<0 D.b>-1【解析】选D.因为函数y=x2+bx+c在[0,+≦)上单调,所以x=-≤0,即b≥0,显然b≥0⇒b>-1,故选D.【举一反三】函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是( )A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1【解析】选A.当b>1时,y=x2+bx+c在[0,+≦)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x2+bx+c在[0,+≦)上是单调函数的充分条件.3.(2014·兰州高二检测)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y) |2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(ðB)的既是充分条件,U又是必要条件的是( )A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5【解析】选A.因为P∈A∩(ðB),U所以P∈A且P∉B,所以所以故选A.4.(2014·天津高二检测)设a,b为向量,则“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.若a,b中有零向量,则a·b=|a||b|⇒a∥b,若a,b中无零向量,则设a,b的夹角为θ,a·b=|a||b|⇒|a||b|cosθ=|a||b|⇒cosθ=1⇒θ=0⇒a ∥b,故有a·b=|a||b|可以推出“a∥b”,但若a∥b,则有a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,故“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分条件.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·长春高二检测)如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的条件.【解析】因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,所以A是B的必要条件.答案:必要6.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是____________.【解析】因为|a|=5⇒x2+9=25⇒x=〒4,所以|a|=5的一个充分条件是x=4(或x=-4).答案:x=4(或x=-4)三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件但不是充分条件,求使a>b 恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3}{x|1-a<x<1+a}(a>0),所以解得a>2,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,即(-≦,2].8.(2014·佛山高二检测)已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3-≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.【解析】因为p是q的充分条件,所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥恒成立,又当-1≤m≤1时,≤3,所以a2-5a-3≥3,所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.关闭Word文档返回原板块。

答案：0 0
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,