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高中物理竞赛教程(超详细) 第十九讲 相对论初步知识

高中物理竞赛教程(超详细) 第十九讲 相对论初步知识
高中物理竞赛教程(超详细) 第十九讲 相对论初步知识

高中物理竞赛原子物理学教程 第一讲 原子物理 第二讲相对论初步知识

第二讲 相对论初步知识

相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一,它标志着物理学的重大发展,使一些物理学的基本概念发生了深刻的变革。狭义相对论提出了新的时空观,建立了高速运动物体的力学规律,揭露了质量和能量的内在联系,构成了近代物理学的两大支柱之一。

§2. 1 狭义相对论基本原理 2、1、1、伽利略相对性原理

1632年,伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书,作出了如下概述:

相对任何惯性系,力学规律都具有相同的形式,换言之,在描述力学的规律上,一切惯性系都是等价的。这一原理称为伽利略相对性原理,或经典力学的相对性系原理。其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。 2、1、2、狭义相对论的基本原理

19世纪中叶,麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上,建立了完整的电磁理论,又称麦克斯韦电磁场方程组。麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象,而且预言了电磁波的存在,确认光是波长较短的电磁波,电磁波在真空中的传播速度为一常数,秒米/100.38

?=c ,并很快为实验所证实。

从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。如果光波也和声波一样,是靠一种媒质(以太)传播的,那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。科学家们为了寻找以太做了大量的实验,其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。这个实验不但没能证明以太的存在,相反却宣判了以太的死刑,证明光速相对于地球是各向同性的。但是这却与经典的运动学理论相矛盾。

爱因斯坦分析了物理学的发展,特别是电磁理论,摆脱了绝对时空观的束缚,科学地提出了两条假设,作为狭义相对论的两条基本原理:

1、狭义相对论的相对性原理

在所有的惯性系中,物理定律都具有相同的表达形式。

这条原理是力学相对性原理的推广,它不仅适用于力学定律,乃至适合电磁学,光学等所有物理定律。狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无关,或者说一切惯性系都是等价的,人们不论在哪个惯性系中做实验,都不能确定该惯性系是静止的,还是在作匀速直线运动。

2、光速不变原理

在所有的惯性系中,测得真空中的光速都等于c ,与光源的运动无关。 迈克耳孙—莫雷实验是光速不变原理的有力的实验证明。

事件 任何一个现象称为一个事件。物质运动可以看做一连串事件的发展过程,事件可以有各种具体内容,如开始讲演、火车到站、粒子衰变等,但它总是在一定的地点于一定时刻发生,因此我们用四个坐标(x ,y ,z ,t )代表一个事件。

间隔 设两事件(1111,,,t z y x )与(2222,,,t z y x ),我们定义这两事件的间隔为

()()()()2

122

122

122

1222z z y y x x t t c s -------=

间隔不变性 设两事件在某一参考系中的时空坐标为(1111,,,t z y x )与(2222,,,t z y x ),其间隔为

()()()()2

122

122

122

1222z z y y x x t t c s -------=

在另一参考系中观察这两事件的时空坐标为('1'1'1'1,,t z y x ,)与('

2'2'2'2,,t z y x ,),

其间隔为

()(

)(

)(

)

2

'1'22'1'22'1'22'1'22'2z z y y x x t t c s -------=

由光速不变性可得

'22s s =

这种关系称为间隔不变性。它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。它是相对论时空观的一个基本关系。

2、1、

3、相对论的实验基础

斐索实验 上世纪人们用“以太”理论来解释电磁现象,认为电磁场是一种充满整个空间的特殊介质——“以太”的运动状态。麦克斯韦方程在相对以太静止的参考系中才精确成立,于是人们提出地球或其他运动物体是否带着以太运动?斐索实验(1851年)就是测定运动媒质的光速实验。其实验装置如图2—1所示;光由光源L 射出后,经半透镜P 分为两束,一束透过P 到镜1M ,然后反射到2M ,再经镜3M 到P ,其中一部分透过P 到目镜T 。另一束由P 反射后,经镜3M 、2M 和1M 再回到P 时,一部分被反射,亦到目镜T 。光线传播途中置有水管,整个装置是固定于地球上的,当管中水不流动时,两光束经历的时间相等,因而到达目镜中无位相差。当水管中的水流动时,两束光中一束顺水流传

播,一束逆水流传播。

设水管的长度皆为l ,水

的流速为v ,折射率为n ,

光在水中的速度为n c 。

设水完全带动以太,则

光顺水的传播速度为v n c +,逆水为v n c -;

若水完全不带动以太,光对装置的速度顺逆水均为n c

;若部分被带动,令带动系数(曳

引系数)为k ,则顺水为kv n c +,逆水为kv

n c -,k 多少由实验测定,这时两束光到达

目镜T 的时差为

2

422??? ??≈

+-

-=

?n c lkv kv n

c

l kv n

c

l t

L

图2-1-1

斐索测量干涉现象的变化,测得

n k 1

1-

=,所以光在介质参考系中的传播速度为

θcos 11v n n c u ???

??-+=

式中θ是光线传播方向与介质运动方向间的夹角。

现在我们知道,匀速运动介质中的光速可由相对论的速度合成公式求得,设介质(水)相对实验室沿X 轴方向以速度v 运动,选'

s 系固定在介质上,在'

s 上观察,介质

中的光速各方向都是n c

,所以光相对实验室的速度u 为

cn v v n c c v n c v n c u +

+=?++=112

??? ??

-??? ??+≈cn v v n c 1 2

n v v n c -+≈ ??? ??

-+=211n v n c 。

由此可知,由相对论的观点,根本不需要“以太”的假说,更谈不到曳引系数了。

迈克尔孙—莫来实验

迈克尔孙—莫来于1887年利用灵敏的干涉仪,企图用光学方法测定地球的绝对

运动。实验时先使干涉仪的一臂与地球的

运动方向平行,另一臂与地球的运动方向

垂直。按照经典的理论,在运动的系统中,光速应该各向不等,因而可看到干涉条纹。

再使整个仪器转过900

,就应该发现条纹的移到,由条纹移动的总数,就可算出地球运动的速度v 。迈克尔孙—莫来实验的装置如图2-1-2所示,使一束由光源S 射来的平行

光,到达对光线倾斜450

角的半镀银镜面M 上,被分成两束互相垂直的相干光。其中透射部分沿2MM 方向前进,被镜2M 反射回来,到M 上,再部分地反射后沿MT 进行;反射部分沿1MM 方行进行,被镜反射回来后再到达M 上,光线部分透过,也沿MT 进行。这两束光在MT 方向上互相干涉。而在T 处观察或摄影,由于2MM 臂沿着地球运动方向,臂1MM 垂直于地球运动方向,若2MM = 1MM =l ,地球的运动速度为v

,则两束光回

图2-1-2

到M 点的时间差为

2

?

?? ??=?c v c l t

当仪器绕竖直轴旋转900角,使1MM 变为沿地球运动方向,2MM 垂直于地球运动方向,则两束光到达M 的时差为

2

'

?

??

??-=?c v c l t

我们知道,当时间差的改变量是光波的一个周期1T 时,就引起一条干涉条纹的移动,

所以,当仪器转动900

后,在望远镜T 处看到的干涉条纹移动的总数为

2

2

1'2c v l T t t N ?=?-?=?λ,

式中λ是波长,当l=11米,秒米秒,米/103/1038

4

?=?=c v ,所用光波的波长

米时,7109.5-?=λ则△N ≈0.4,这相当于在仪器旋转前为明条纹,旋转以后几乎变为

暗条纹。但是他们在实验中测得△N ≈1001

,而且无论是在白天、夜晚以及一年中的所

有季节进行实验,始终得到否定的结果,就是说光学的方法亦测不出所在参考系(地球)的运动状态。

§2、2 伽利略变换

2、2、1 伽利略变换

(1) 如图2-2-1所示,有两个惯性 系S 和'S , 它们对应的坐标轴相互平行,且

当t ='t =0时,两系的坐标原点'O 与O 重合。

设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运动。

同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t),在S`系中的时空坐标为 (x’,y’,z’,t’)

图2-2-1

???????===-=t t z

z y y ut x x '''' 即

t u r r -='或 (1) x=x '+ut ???

??==='''t t z z y y 即 t u r r +='

式(1)称为伽利略时空坐标变换公式。

(2)将式(1)中的空间坐标分别对时间求一次导数得:

???

???

???====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dx

dt dx v ''

'''' 即u v v -= '

或???

???

???======+=+==z z y y

x x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1

即u v v '+'= (2)

式(2)称为伽利略速度变换公式。 (3)将式(2)再对时间求一次导数得

???

??

?

???=='='=='='=='='z z z z y y y y x x x x

a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ='

???

??'

='='=z z y y x x a a a a a a a a

'= (3) 式(3)表明在伽利略变换下加速度保持不变。式(3)称为伽利略加速度变换公式。

2、2、2 经典力学的时空观

(1) t=t ',或Δt=Δt ' (4)

(2) Δr '=2

12212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?,

Δr '=2

12212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?。 因,,)()(1212121212

y y y y x x ut x ut x x x -='-'-=---='-' r r z z z z ?='?-='-'所以,1212 (5)

式(4)表明:在伽利略变换下,任何事件所经历的时间有绝对不变的量值,而与

参照系的选择(或观测者的相对运动)无关。式(5)表明:在伽利略变换下,空间任何两点间的距离也有绝对不变的量值,而与参照系的选择测得的同一事件的时间间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者称之为绝对时空观。用牛顿本人的话来说:“绝对的真实的数学时间,就其本质而言,是永远均匀地流逝着,与任何外界事物无关。”“绝对空间就其本质而应是与任何外界事物无关的,它从不运动,并且永远不变。”按照这种观点,时间和空间是彼此独立、互不相关,并且独立于物质和运动之外的某种东西。

2、2、

3、力学规律在伽利略变换下的不变性 (1)伽利略变换下的牛顿第二定律

在s 系中,

a m F '=∑

在S '系中,a m F '='∑

(6)

(2)伽利略变换下的质点动量定理

在s 系中, ?∑?=v

m dt F

在s`系中,

?∑'

?=''v m t d F

(7)

(3)伽利略变换下的质点动能定理

在s 系中,

v m v m Ek W 21212221-=

?=∑外 在s`系中,v m v m k E W '-'='?='∑21212221外

(8)

(4)伽利略变换下的功的公式 在s 系中,

??=r

d F w

在s`系中,

????-='?='?'=dt

u F w r d F r d F w

(9)

若F

为质点所受的合外力,则有

u v n w w

??-=' (10)

(5)伽利略变换下的动量守恒定律 在s 系中,若

)恒量(,则外c v M F n i i

i

==∑∑=1

对两个而点组成的封闭系统的一维动量传递问题则有

2211202101v m v m v m v m +=+

在s`系中,若,则外外

0=='∑∑F F

恒量(c v m n i i i '='∑=1

(11)

∑=-='n

i i

m u c c 1

(6)伽利略变换下的机械能守恒定律

在s 系中,210E E W W ==+,则非保内外

在s`系中,210E E W W '

='='+',则非保内外 (12)

综上所述,力学规律在伽利略变换下具有不变性。即力学规律在不同的惯性参照系中具有相同的形式,是规律的形式相同,而不是每一个物理量的数值在不同惯性系中都相同。

§2、3 洛仑兹变换

2.3.1、洛仑兹变换

如图18-1-1所示的两个惯性系:S 系和S ′系。设同一事件的两组时空坐标分别为(X,Y,Z,t ) 和(),,,t Z Y X ''''。按洛仑兹变换有

???

??

????-='='='-=')()(2X c u t t Z Z Y Y ut X Y X γ (13)

或???

??

????'+'='='='+'=)()(2x c u t t Z Z Y Y t u X X γγ

式(13)称为洛仑兹坐标变换公式,式中=1/

2

2

1c u -。请注意t '是X 和t 的函数,t 是X '和t '的函数,即时间不再与空间无关。

2.3.2、 洛仑兹速度变换公式

?????

??????-='

=-='

=?????

?

--='=)1(/')1(/')(1/)('222c

uv u dt z d v c

uv u dt y d v c uv u v dt x d v x z x y y y x x x γγ 或????

???????+==+==??????

++==)'1(/')'1(/'()'(1/)'(2

2

2c

uv v dt dz

v c uv v dt dy v c uv u v dt dx v x x x y y y x x x νν (14)

式(14)中=1/

2

)(1c u

-

§2、4、相对论时空理论

2.4.1、 运动时钟延缓 亦称爱因斯坦延缓。我们考虑晶体振动这样一个物理过程。设晶体在 S '系中静止,在静止系中测得晶体的振动周期为0τ,若S '系匀速v 相

对S 系沿x 轴运动,若晶体相邻两次达到振幅极大值的事件在S 系中的坐标为(x 1,t 1),(x 2,t 2) ,在S '系中为(1

'x ,1

t '),(2x ',2t '),其中2x '=1x '。由洛仑兹变换可得 2t -1t =)(122

2122122211)()(11

t t c v

x x c v t t c v '-'-=??????'-'+'-'-

因为2

t '-1t '=0τ,令2t -1t =t,则 t=

2

20

1c v -τ

这表示在S '系中同地发生的两事件的时间间隔,由S 系观察是延长了。 将同地发生的两事件换为事件发生处钟的读数,就得到两个惯性系中时钟快慢的比较。当S '系中的一个钟通过S 系的两个钟(S 系认为已校准的两个钟)时,S 系的钟所记时间间隔比S '系所记的大,即每一个惯性系都测得对它运动着的时钟变慢了。所有发生在运动物体上的物理过程都具有这种延缓,因此它是时空的一种基本属性,与过程的具体性质无关。这种延缓又称为时间膨胀或爱因斯坦延缓。

2.4.2、 运动尺度缩短 设一棍静止在S '系中,沿 x '轴放置,且S '系想对

于S 系以匀速v 沿x 方向运动。在S '系的观察者观察,棍后端的坐标为1

x ',前端的坐标为2

x ',棍对他没有运动,因此他测得棍长为0l =2x '-1x '。S 系的观察者观察到在同一时刻t ,棍后端的坐标为1x ,前端的坐标为2x ,则他测得棍长为l =2x -1x ,根据洛仑兹

变换

1x '=2211c v vt x --,

2x ' =2

221c v vt x --.

两式相减,得

2

2

1212

1c v x x x x --='-',

2

20

1c v l l -=.

这表示物体沿其长度方向运动时,其长度缩短为静止时的

2

21c v -倍。这种现象称为洛仑兹收缩。缩短是相对的,每一惯性系都测得对它运动着的物体沿运动方向的长度

要缩短。

运动物体沿运动方向的长度缩短是时空的一种基本属性,不但物体的长度缩短,物体间的距离也要缩短,所以这种收缩不是物体内部结构的改变。

2.4.3、 相互作用的最大传播速度和因果律 由同时的相对性可知,事件的先后次序与它们的空间位置和两惯性系间的运动状态有关。在经典的时空理论中,时间的次序是绝对的。在相对论时空观中,是否事件的先后次序没有客观意义呢?显然不是的,如果两事件有因果关系(如农样生产中,先播种后收获,人的先生后死),则它

们的先后次序应当是绝对的,不容颠倒,这是事件先后这个概念所必须反映的客观内容。相对论在什么条件下才与这个条件一致呢?

设两事件的时空坐标在S 系中为(11,t x )和(22,t x ) ,在S '系中为(11

,t x '') 和(22,t x '') ,由洛仑兹变换有

2

21221212

1)()(c v x x c v

t t t t ---

-='-'.

如果两事件有因果关系,而且2t >1t ,由于它们的次序不能颠倒,必须在S '系中观

察时,亦有12

t t '>'。这就要求 )(12212x x c v

t t ->

-,

2

1

21

2c t t x x v

<--.

因为c v <,满足上式的条件是

c t t x x <--1

21

2.

对于因果事件,12

1

2t t x x --正是事件进展的速度,因此因果事件先后次序的绝对性对

相对论的要求是:所有物体的运动速度、讯号传输的速度是光速c 。

同时的相对性 在惯性系S 中异地同时发生两个事件:事件1(11,t x ),事件2(22,t x ) ,且t t =12(设y ,z 不变,故事件只用x , t 表示)。在另一惯性系中看这

两事件的时空坐标为1:(11

,t x '')与2:(22,t x '')。由洛仑兹变换关系 ???

??

?----='-')()(11

122122

212

x x c v t t c v t t =),

(111222

2x x c v c v -?--

只要12x x ≠,则12

t t '≠'。就是说在S 系中同时发生的两事件,在S '系看却不同时,即在某惯性系内不同地点同时发生的两事件,对具有相对运动的另一惯性系内的观察者

说来,他所测得的两个事件发生的时刻是不同的,同时是相对的。

§2、5、相对论动力学基础

2.5.1、 相对论质量

2

020)(1/1,)(1/c v

m c v m m -==-=γγ

式(18-18)中0m 为物体的静止质量,v 为物体的运到速度,c 为真空中的光速。

此式告诉我们在狭义相对论中物体的质量不再是一个恒量,而是一个随速度变化的物理量。当c v →时,∞→m ,而当c v <时,0m m →。因此一个有限大小的力作用于静止质量无论如何小的物体上,其速度不可能趋近于无限大,物体的极限速度为c 。

2.5.2、相对论能量

(1)物体的总能量 2

02

202

)(1c m c

v c m mc E γ=-=

=

式(18-19)表明:一定的质量必定联系着一定的能量,反之一定的能量必定联系着一定的质量。这个方程就叫做爱因斯坦质能(联系)方程。既然物体的质量与能量有一定的对应关系,所以在相对论力学中质量守恒与能量守恒等价。

(2)物体的静能 2

00c m E =

(3)物体的相对论动能 2

02020)1(c m c m mc E E E k -=-=-=γ (4)质能变化方程: 2

mc E ?=?

上式告诉我们当物体的质量发生m ?的变化时,必同时伴随

着能量的变化2

mc E ?=?。

2.5.3、相对论动量

v

m c v

v m v m p 020)(1/γ=-==

2.5.4、相对论能量、动量的关系

(1)

02

222E c p E += 若以 pc 、0E 表示一直角三角形的两条直角边,则E 必构成此直角三角形的斜边。

(2) 2

/c Ev P =

2.5.5、相对论的动力学的基本方程

∑+==dt dm

v dt v d m dt v m d F )(

2.5.6、相对论的速度叠加

由于时间和空间的相对性,对于物体的速度,在某一惯性系S '内观测,要用S '系的时间和空间坐标表示;在另一惯性系S 内观测,要用S 系的时间和空间坐标表示。这样,速度叠加公式就不再是绝对时空的速度叠加公式了。假如S '和S 两系的坐标轴相平行,S '以速度v 沿x 轴而运动,一质点以v '相对S '沿x '轴而运动,则相对S ,其速度u 为

2/1c v v v v u '+'+=

这是相对论的速度叠加公式。如果c v <',则u

(2)设实验室为参照系S ,一个电子参照系为S ',则S '相对于S 系的速度是0.6c ,另一个电子相对于S 系的速度为-0.6c ,按洛仑兹变换,另一个电子相对于S '系的速度

是x u '

,则

x

x x v c v v

v u 21--=

' =)(12v c v

v v ---- =2

212c v v +- c 88.0-≈

这就是说,以一个电子为参照物看另一个电子的速度是0.88c <c ,即小于光速,与

实验相符合,是合理的。

例2、有一条河宽为l ,其河水流速是v ,船相对河水的速度为u ',且v u >'。今有船A 和B 分别沿图2-6-4(a )中所示路径往返一次,求各需要时间多少?哪条船需时长些?

解 本题是经典力学问题,用力伽利略变换处和即可。设岸的坐标系为S ,河水的坐标系为S ',如图2-6-4(b )所示,若船相对岸的速度为u ,则对于A 船

j u i u u y x ''+''=',

j u i u u y x += , 0=x u .

由伽利略变换知:v u u x x -'

=,则v u x ='.而 x '

图2-6-4

(a)

S y

v

x

x '

u '

O ' S '

y ˊ

(b)

2122)(x y y u u u u '-'='= =

2122)(v u -' =2

12

2

1???

? ?

?'-'u v u

所以A 船往返一次所需时间为

2

1

22)1(22u v u l u l t y A '-'=

=

对于B 船,相对于岸的往返速度x u 分别为v u +'和v u -',所以其往反一次所需要的时间为

)1(222u v u l

v u l v u l t B '-'=

-'++'=

因为u u >',所以1<'u v .按2

1)

1(--x 和1

)1(--x 展为幂级数的公式有

2122)1(2-'-'=

v u l

t A

=)83211(244

22

+'?+'?+'u v u v u l 1

22)1(2-'-'=u v u l

t B

=)

1(244

22 +'+'+'u v

u v u l

所以 0

)8521(244

22>+'?+'?='=- u v u v u l t t A B ,

故A B t t >,即B 往返一次的时间比A 船往返一次的时间要长。

例3、一个中微子在惯性系S 中沿+y 方向以光速c 运动,求对S 系以速度v 沿+x 方向运动的观察者

所观测到的中微子的速度和方向怎样?

解: 设运动观察者为S '系,他所

看到的中微子的速

度分量为x u ', y u ',

S ' y ' v

O ˊ x ˊ

图2-6-5

z u ',则按洛仑兹变换

x u '=x x u c v v

u )(12

-- =),0(=-x u v

x y

y u c v u u )(1)

1(2

2

1

2-?

-='β (令

c v

=

β)

=

)()1(2

122c u c c v y =?- ),

0(0)(1)

1(2

2

1

2==-?

-='z x

z

z u u c v u u β

因此, 2

1222)(z y x u u u u '+'+'='

[

]

,)1(2

12

22

2c c c v

v =?-+=

即运动中的观测者测得中微子的速度仍是c ,中微子的运动方向是

,1211

???? ???--=''=--c v tg

u u tg a y x β

即中微子运动方向与y O '轴的夹角。

例4、试证明:物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系: 证明:E 2

- p 2

c 2

=(mc

2

)2-(mvc)2

=m 2c 2( c 2- v 2

)=

2

22201c v v m -( c 2- v 2) =(22420v c c

m -c 2- v 2)= m 20c 4

=E 20

∴E 2=p 2c 2

+ E 2

读者可试为之,从E 2

- E 2

0入手证明它等于p 2c 2

例5、一个静止质量为m 0的粒子以速率 v=c

54运动,它和一个同类的静止粒子进

行完全非弹性碰撞。求:

(1)复合粒子的速率。

(2)复合粒子的静止质量。

解: 在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒。故有

v m v m ''=0γ ①

22020c m c m c m '=+γ ②

35)54(1/1)(1/122=-=-=c c

c v γ ③

将③代入②得: 0

2202038,3

5m m c m c m c m =''=+ ④ ③与④代入①得:

.

33

4,)(1/.2,385435002000m m c v m m c v v m c m =''-'='=''=?故可得而

即复合粒子的速率为2c ,静止质量为m

33

4。

例6、求证:在伽利略变换下,质点动量定理具有不变性。

证明:在S 系中, )

(,)(v m d dt F dt v m d dt v d m a m F

=∑===∑ 两边同时作定积分得: ???-=∑=∑2121,)(2112v v t t

v m v m dt F v m d dt F t t

这就是S 系中质点的动能定理的数学公式。在S '系中

)

(,)(,v m d t d F t d v m t d v d m F a m F

'=''∑''='=∑'=∑ 两边同时作定积分可得: ???'-'='∑'='∑212121,12t t v v t t

v m v m t d F v dm t d F

这就是S '系中的质点动量定理的数学公式。为回避高等数学,可设一质量为m 的

质点沿x 轴正方向,在平行于x 轴的恒定的合外力F 作用下作匀加速直线运动。经过时间t ,速度从1v 增大到2v ,根据牛顿第二定律在S 系中有

t v v m m a F 12

-'?

== 整理得: 12mv

mv Ft -= 这就是S 系中的质点动量定理。在S '系中,

t t v v u v u v v v F F ='-=---='-'=',)()(,121212

即 12

v m v m t F '-'='' 此即S '系中的质点动量定理。

例7、一个静止质量为M 的物体静止在实验室中,裂变为静止质量为1m 和2m 的两部分,试求裂变产物的相对论动能1K E 和2K E 。

解:根据相对论能量守恒有 2

222

112

C m C m MC γγ+= 化简得:

[]221

11

m M m γγ-=

根据相对论动量守恒有 222111v m v m O γγ-= ②

,

1,)(1/122-=

-=γγ

γc

v c

v

1

211

1-=

γγc

v 和

1

222

2-=

γγc

v

代入②式化简得:

112

22211-=-γγm m ③

由①、③两式可解得:

12212212/)(Mm m m M r -+= ,21222222/)(Mm m m M r -+=, [

];2/)()1(222122111M m m M C C m E k --?=-=γ[].2/)

()1(1

222

2

2222M m m M C C m E k --=-=γ

例8、爱因斯坦的“等效原理”指出,在不十分大的空间范围和时间间隔内,惯性系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律是相同的。现在研究以下问题。

(1)试从光量子的观点出发,讨论在地面附近的重力场中,由地面向离地面的距离为L 处的接收器发射频率为0v 的激光与接收器接收到的频率v 之间的关系。

(2)假设地球物体没有引力作用,现在一以加速度a 沿直线做匀加速运动的箱子中做一假想实验。在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器,两者间的距离为L ,现从发射器向接收器发射周期为0T 的激光。试从地面参考系的观点出发,求出位于箱头处的接收器所到的激光周期T 。

(3)要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的。则问题(2)中的箱子的加速度的大小和方向应如何?

解: (1)对于能量为0hv 的光子,其质量

20

c hv m =

,在重力场中,当该光子从地

面到达接收器时,增加的重力势能为mgh 。由能量守恒得

gL c hv hv mgl hv hv ?+

=+=20

)1(20c gL

v v +

=

)1(20c gL v v -

=

(2)设t=0时刻,箱子从静止开始加速,同时,激光光波的某一振动状态从发射器发出,任何时刻t ,发射器和接收器的位置分别为

221at x =

2

21

at L x += 所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期0T 的振动状态的位置分别为:

x=ct

)(2102

0T t c aT x -+=

设所考察的振动状态在1t 时刻到达接收器,则有

2

1121at L ct +

=

解得

)211(21c aL

a c t --=

比所考察的振动状态晚一个周期0T 发出的振动状态到达接收器的时刻为2t ,则有

22022

021)(21at L T t c aT +=-+

解得 )

2211(22

2022c T a c aT c aL a c t +---=

接收器接收到的激光的周期为 T=t 2-t 1

=a c

()

221212202022c T a c aT c aL c aL +----

)21211(212

2c aL c aT c

aL a c --

-?-≈

??

?

???

??????-?--?-≈)211

1(1)1(202c aL c aT c aL a c

??????+-≈)21()1(202c aL c aT c aL a c

高中物理相对论知识点总结

高中物理选修3-4——相对论简 介知识点总结 1、惯性系:如果牛顿运动定律在某个参考系中成立,这个参考系叫做惯性系。相对于一个惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系。相对于一个惯性系做变速运动的另一个参考系是非惯性系,在非惯性系中牛顿运动定律不成立。 2、伽利略相对性原理:力学规律在任何惯性系中都是相同的。 3、狭义相对性原理:一切物理定律在任何惯性系中都是相同的。 4、广义相对性原理:物理规律在任何参考系中都是相同的。 5、经典速度变换公式:。(是矢量式) 6、狭义相对论的两个基本假设: (1)狭义相对性原理,如3所述; (2)光速不变原理:真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的。 7、广义相对论的两条基本原理: (1)广义相对性原理,如4所述; (2)等效原理:一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。

8、由狭义相对论推出的六个重要结论(所有结论都已经完全得到证实): (1)“同时”是相对的。 (2)长度是相对的。。是相对被测物静止的参考系中测得的长度,是相对被测物以速度运动的参考系中测得的长度,且的方向与速度的方向平行。 (3)时间是相对的。。是相对某参考系(如地面)运动的参考系中(如飞船内)的钟所测得的时间,是静止的参考系中(地面上)的钟所测得的时间。 (4)质量是相对的。。(静质量)是在相对被测物静止的参考系中所测得的质量,(动质量)是在相对被测物以速度运动的参考系中所测得的质量。 (5)相对论速度变换公式:。(是矢量式)(6)相对论质能关系公式:。其中是物体的动质量。 9、由广义相对论得出的几个结论: (1)物质的引力场使光线弯曲。如远处的星光经过太阳附近时发生偏折。

高中物理竞赛试题及答案

高中物理竞赛模拟试卷(一) 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一个选项正确,有的小题有多个选项正确,全部选对的得 4 分,选不全的得 2 分,有错选或不答的得 0 分. 1.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗,让漏斗左、右摆动,于是桌面上漏下许多砂子,经过一段时间形成一砂堆,砂堆的纵剖面最接近下图Ⅰ-1中的哪一种形状 2.如图Ⅰ-2所示,甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动,乙上连有一段轻弹簧,甲乙相互作用过程中无机械能损失,下列说法正确的有 A.若甲的初速度比乙大,则甲的速度后减到 0 B.若甲的初动量比乙大,则甲的速度后减到0 C.若甲的初动能比乙大,则甲的速度后减到0 D.若甲的质量比乙大,则甲的速度后减到0 3.特技演员从高处跳下,要求落地时必须脚先着地,为尽量保证安全,他落地时最好是采用哪种方法 A.让脚尖先着地,且着地瞬间同时下蹲 B.让整个脚板着地,且着地瞬间同时下蹲 C.让整个脚板着地,且着地瞬间不下蹲 D.让脚跟先着地,且着地瞬间同时下蹲 4.动物园的水平地面上放着一只质量为M 的笼子,笼内有一只质量为 m 的猴子.当猴以某一加速度沿竖直柱子加速向上爬时,笼子对地面的压力为F 1;当猴以同样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时,笼子对地面的压力为 F 2(如图Ⅰ-3),关于 F 1 和 F 2 的大小,下列判断中正确的是 A.F 1 = F 2>(M + m )g B.F 1>(M + m )g ,F 2<(M + m )g C.F 1>F 2>(M + m )g D.F 1<(M + m )g ,F 2>(M + m )g 5.下列说法中正确的是 A.布朗运动与分子的运动无关 B.分子力做正功时,分子间距离一定减小 C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象 D.通过热传递可以使热转变为功 6.如图Ⅰ-4所示,虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面,相邻等势面之 图Ⅰ -3 图Ⅰ -4 图Ⅰ-2

高中物理竞赛教程15-温度和气体分子运动论

高中物理竞赛热学教程 第五讲机械振动和机械波 第一讲 温度和气体分子运动论 第一讲 温度和气体分子运动论 §1。1 温度 1.1.1、平衡态、状态参量 温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。 热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体,称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下,系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态,否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。 系统处于平衡态,所有宏观物理都具有确定的值,我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态,这几个量称为状态参量。P 、V 、T 就是气体的状态参量。 气体的体积V 是指盛放气体的容器的容积,国际单位制中,体积的单位是m 3 。 1m 3 =103L=106 cm 3 气体的压强P 是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力,单位是p a 。 1atm=76cmHg=1.013?105 p a 1mmHg=133.3p a 1.1.2、 温标 温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是: 1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度,制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。 2、规定固定点,即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前,规定冰点为0℃,汽点为100℃,其间等分100份,从而构成旧摄氏温标。1954年以后,国际上选定水的三相点为基本固定点,温度值规定为273.16K 。这样0℃与冰点,100℃与汽点不再严格相等,百分温标的概念已被废弃。 3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系,由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同,因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。 1.1.3、理想气体温标 定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。 T(P)=αP α是比例系数,对水的三相点有 T 3= αP 3=273.16K P 3是273.16K 时定容测温泡内气体的压强。于是 T(P)=273.16K 3P P (1) 同样,对于定压气体温度计有 T(V)=273.16K 3V V (2) 3V 是273.16K 时定压测温泡内气体的体积。 用不同温度计测量同一物体的温度,除固定点外,其值并不相等。对于气体温度计也有)()(V T P T ≠。但是当测温泡内气体的压强趋于零时,所有气体温度计,无论用什么气体,无论是定容式的还是定压式的,所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值,这个极限值就是理想气体温标的值,单位为K ,定义式为 T=lim 0 →p T(V)=lim 0 →p T(P) =273.16K lim →p 3V V =273.16K lim 0→p 3P P (3) 1.1.4、热力学温标 理想气体温标虽与气体个性无关,但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K ~1000℃),T <1K ,气体早都已液化,理想气体温标也就失去意义。 国际上规定热力学温标为基本温标,它完全不依赖于任何测温物质的性质,能在整个测温范围内采用,具有“绝对”的意义,有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内,热力学温标与理想气体温标是一致的,因而可以不去区分它们,统一用T(K)表示。 国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是: t=T-273.15o (4) 这样,新摄氏温标也与测温物质性质无关,能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为5?108 -K , 但是绝对零度是不可能达到的。 例1、定义温标t *与测温参量X 之间的关系式为t * =ln(kX),k 为常数 试求:(1)设X 为定容稀薄气体的压强,并假定水的三相点 16.273*3=T ,试确定t *与热力学温标之间的关系。(2)在温标t * 中,冰点和汽点各为多少度;(3)在温标t * 中,是否存在零度? 解:(1)设在水三相点时,X 之值是3X ,则有273.16o =In(kX 3)将K 值代入温标t * 定义式,有 3316.273*16.273X X In X X e In t +=? ???? ?= (2) 热力学温标可采用理想气体温标定义式,X 是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有 30 lim 16.273X X K T x →= (3) 因测温物质是定容稀薄气体,故满足X →0的要求,因而(2)式可写成 ) lim ln(16.273lim 30 *X X t x x →→+= (4) 16.27316.273*T In t += 这是温标* t 与温标T 之间关系式。 (2)在热力学温标中,冰点K T i 15.273=,汽点K T s 15.373=。在温标* t 中其值分别为 16.27316.27315 .27316.273*=+=In t 47.27315.27315 .37316.273*=+=In t (3)在温标*t 中是否存在零度?令* t =0,有 K e T 116.27316.273<<=- 低于1K 任何气体都早已液化了,这种温标中* t =0的温度是没有物理意义的。 §1-2 气体实验定律 1.2.1、玻意耳定律

《全国中学生物理竞赛大纲》2020版

《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订,2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订,修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过,并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中,凡用※号标出的内容,仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2.动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3.物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4.动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5.机械能 功和功率

动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6.※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7.有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8.※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9.流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10.振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 (线性)恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11.波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声

高中物理竞赛教程(超详细修订版)_第九讲_机械振动和机械波

第五讲 机械振动和机械波 §5.1简谐振动 5.1.1、简谐振动的动力学特点 如果一个物体受到的回复力回F 与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比,方向相反。即满足: K F -=回的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动。根据牛顿第二定律,物体的加速度m K m F a -== 回x ,因此作简谐振动的物体,其加速度也和它偏离平衡位置的位移大 小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为k 的轻质弹簧,上端固定在P 点,下端固定一个质量为m 的物体,物体平衡时的位置记作O 点。现把物体拉离O 点后松手,使其上下振动,如图5-1-1所示。 当物体运动到离O 点距离为x 处时,有 mg x x k mg F F -+=-=)(0回 式中 0x 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有mg kx =0,因此 kx F =回 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。因回复力指向平衡位置O ,而位移x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反,竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振动,以平衡位置O 为圆心,以振幅A 为半径作圆,这圆就称为参考圆,如图5-1-2,设有一质点在参考圆上以角速度ω作匀速圆周运动,它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为0?,那么在时刻t ,参考圆上的质点与O 的连线跟 x 的夹角就成为 0?ω?+=t ,它在x 轴上的投影点的坐标 )cos(0?ω+=t A x (2) 这就是简谐振动方程,式中0?是t=0时的相位,称为初相:0?ω+t 是t 时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为ωA ,其方向与参考圆相切,这个线速度在x 轴上的投影是 0cos(? ωω+-=t A v ) (3) 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为2 ωA ,其方向指向圆心,它在x 轴上的投影是 02 cos(?ωω+-=t A a ) (4) 这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)、(4)可得 x a 2ω-= 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为 x m k m F a -== 因此有 m k = 2ω (5) 简谐振动的周期T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以 图5-1-1 图5-1-2

全国中学生物理竞赛专题——电磁感应

第三讲 磁场 §3.1 基本磁现象 由于自然界中有磁石(43O Fe )存在,人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强,我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来,则两极总是分别指向南北方向,指北的一端称北极(N 表示);指南的一端称南极(S 表示)。 磁极之间有相互作用力,同性磁极互相排斥,异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体,它的N 极位于地理南极附近,S 极位于地理北极附近。 1820年,丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用;通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般;两根平行通电直导线之间的相互作用……,所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年,法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流,这些分子环流定向排列,在宏观上就会显示出N 、S 极的分子环流假说。近代物理指出,正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”,这就是物质磁性的基本来源。 一切磁现象的根源是电流,以下我们只研究电流的磁现象。 §3.2 磁感应强度 3.2.1、磁感应强度、毕奥?萨伐尔定律 将一个长L ,I 的电流元放在磁场中某一点,电流元受到的作用力为F 。 当电流元在某一方位时,这个力最大,这个最大的力m F 和IL 的比值,叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点,小磁针静止时N 极所指的方向,被规定为该点磁感应强度的方向。 真空中,当产生磁场的载流回路确定后,那空间的磁场就确定了,空间 各点的B 也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的B 要运用一个称为 毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们:一个电流元I ?L(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为r 的P 点所产生的磁场的磁感强度B ?大小为2 sin r L I K θ?=,θ为顺着电流I ?L 的方向与r 方向的夹角,B ?的方向可用右手螺旋法则确定,即伸出 右手,先把四指放在I ?L 的方向上,顺着小于π的角转向r 方向时大拇指方向即为B ?的方向。式中K 为一常 数,K=7 10-韦伯/安培?米。载流回路是由许多个I ?L 组成的,求出每个I ?L 在P 点的B ?后矢量求和,就得 到了整个载流回路在P 点的B 。 如果令πμ=40K ,7 0104-?π=μ特斯拉?米?安1-,那么B ?又可写为 20 sin 4r L I B θ?πμ=? 0μ称为真空的磁导率。 下面我们运用毕——萨定律,来求一个半径为R ,载电流为I 的圆电流轴线上,距圆心O 为χ的一点的磁感应强度 l I ? //B

高中物理竞赛的数学基础(自用修改)

普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律,因此我们经常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样,微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1.函数及其图形 1.1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 1.2函数的图象 1.3物理学中函数的实例 §2.导数 2.1极限 如果当自变量x无限趋近某一数值x0(记作x→x0)时,函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a,则a叫做x→x0时函数f(x)的极限值,并记作 (A.17)式中的“lim”是英语“limit(极限)”一词的缩写,(A.17)式读作“当x趋近x0时,f(x)的极限值等于a”。 极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义。 求极限公式

(2) (3) (4) 等价无穷小量代换 sinx~x; tan~x; 2.2极限的物理意义 (1)瞬时速度 对于匀变速直线运动来说, 这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A.5)。 (2)瞬时加速度 时的极限,这就是物体在t=t0时刻的瞬时加速度a: (3)水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动。为简单起见,我们假设水渠是直的,这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A-5),于是各处渠底的高度h便是x的函数:

高中物理竞赛教程(超详细)电场

第一讲电场 §1、1 库仑定律和电场强度 1.1.1、电荷守恒定律 大量实验证明:电荷既不能创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部分转移到另一部分,正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持 k 数, 0ε q F E = 式中q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是q 受到的电场力。 借助于库仑定律,可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为 2 2r Q k q r Qq k q F E === 式中r 为该点到场源电荷的距离,Q 为场源电荷的电量。

1.1.4、场强的叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强,等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。 原则上讲,有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例1、如图1-1-1(a )所示,在半径为R 、体电荷密度 为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为R '的一个小球,小球球心O '与大球球心O 相距为a ,试求O '的电场强度,并证明空腔内电场均匀。 ρ,R O 1.1.5.电通量、高斯定理、 (1)磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数,其大小为θsin BS =Φ,其中θ 为截面与磁感线的夹角。与此相似,电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为 θ?sin ES = θ为截面与电场线的夹角。 高斯定量:在任意场源所激发的电场中,对任一闭合曲面的总通量可以表示为 ∑=i q k π?4 ( 041πε= k ) Nm C /1085.82120-?=ε为真空介电常 数 O O ' P B r a )

式中k是静电常量,∑i q为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识,因此选取的高斯面即闭合曲面,往往和电场线垂直或平行,这样便于电通 量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求,但笔者认为简单了解高斯定律的内容,并 利用高斯定律推导几种特殊电场,这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 (2)利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场 一无限长直线均匀带电,电荷线密度为η,如图1-1-2(a)所示。考察点P到直线的 距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电,因此直线周围的电场在竖直方向分量为零, 即径向分布,且关于直线对称。取以长直线为主轴,半径为r,长为l的圆柱面为高斯面, E 图1-1-5

全国高中物理竞赛专题十三 电磁感应训练题解答

1、 如图所示为一椭圆形轨道,其方程为()22 2210x y a b a b +=>>,在中心处有一圆形区域, 圆心在O 点,半径为()r b <,圆形区域中有一均匀磁场1B ,方向垂直纸面向里,1B 以 1B t k ??=的速率增大,在圆外区域中另 有一匀强磁场2B ,方向与1B 相同,在初始时,A 点有一带正电q 的质量为m 的粒子, 粒子只能在轨道上运动,把粒子由静止释放,若要其通过C 点时对轨道无作用力,求2B 的大小。 解:由于r b a <<,故轨道上距O 为R 的某处,涡旋电场强度为 22122B r kr E R t R ?==? 方向垂直于R 且沿逆时针方向,故q 逆时针运动。 q 相对O 转过θ?角时,1B 对其做功为 2 2kr W F x Eq x q R R θ?=?=?=? 而2B 产生的洛伦兹力及轨道支持力不做功,故q 对O 转过θ角后,其动能为 2 2122 k kr E mv W q θ==?=∑ q 的速度大小为 2kr q v m θ = q 过C 时,()3 20,1,2,2 n n θππ=+= C 处轨道不受力的条件为 2 2mv qvB ρ = 其中ρ为C 处的曲率半径,可以证明:2 a b ρ=(证明略) A C 1 B 2 B O x y

将v 和θ的表达式代入上式可得 ()22 320,1,2,2br mk B n n a q ππ?? = += ??? 2、 两根长度相等,材料相同,电阻分别为R 和2R 的细导线,两者相接而围成一半径为a 的圆环,P Q 、为其两个接点,如图所示,在圆环所围成的区域内,存在垂直于图面、指向纸内的匀强磁场,磁感应强度的大小随时间增大的变化率为恒定值b 。已知圆环中感应电动势是均匀分布的,设M N 、为圆环上的两点,M N 、间的圆弧为半圆弧的一半,试求这两点间的电压()M N U U -。 解:根据法拉第定律,整个圆环中的感应电动势的大小 2E r b t π?Φ = =? (1) 按楞次定律判断其电流方向是逆时针的,电流大小为 23E E I R R R = =+ (2) 按题意,E 被均匀分布在整个圆环上,即?MN 的电动势为4E ,?NQPM 的电动势为34E ,现考虑?NQPM ,在这段电路上由于欧姆电阻所产生电势降落为()22I R R +,故 3242M N R U U E R I ? ?-=-+ ?? ? (3) 由(1)、(2)、(3)式可得 21 12 M N U U r b π-=- (4) 当然,也可采用另一条路径(?MTN 圆弧)求电势差 ()211 424321212 N M M N E R E E R U U I E r b U U R π-= -=-===--g g 与(4)式相符。 3、 如图所示,在边长为a 的等边三角形区域内有匀强磁场B ,其方向垂直纸面向外。一个边长也为a 的等边三角形导轨框架ABC ,在0t =时恰好与上述磁场区域的边界重合,而后以周期T 绕其中心在纸面内顺时针方向匀速转动,于是在框架ABC 中产生感应电流,规 R T M N P Q 2R S

教科版高中物理必修3-4知识讲解 相对论简介

相对论简介 : : 【学习目标】 1.理解经典的相对性原理. 2.理解光的传播与经典的速度合成法则之间的矛盾. 3.理解狭义相对论的两个基本假设. 4.理解同时的相对性. 5.知道时间间隔的相对性和长度的相对性. 6.知道时间和空间不是脱离物质而单独存在的 7.知道相对论的速度叠加公式. 8.知道相对论质量. 9.知道爱因斯坦质能方程. 10.知道广义相对性原理和等效原理. 11.知道光线在引力场中的弯曲及其验证. 【要点梳理】 【相对论简介】 要点一、相对论的诞生 1.惯性系和非惯性系 牛顿运动定律能够成立的参考系叫惯性系,匀速运动的汽车、轮船等作为参考系就是惯性系.牛顿运动定律不成立的参考系称为非惯性系.例如我们坐在加速的车厢里,以车厢为参考系观察路边的树木房屋向后方加速运动,根据牛顿运动定律,房屋树木应该受到不为零的合外力作用,但事实上没有,也就是牛顿运动定律不成立.这里加速的车厢就是非惯性系. 相对于一个惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系. 2.伽利略相对性原理 力学规律在任何惯性系中都是相同的.即任何惯性参考系都是平权的. 这一原理在麦克尔逊—莫雷实验结果面前遇到了困惑,麦克尔逊—莫雷实验和观测表明:不论光源与观察者做怎样的相对运动,光速都是一样的. 3.麦克尔逊—莫雷实验 (1)实验装置,如图所示. (2)实验内容:转动干涉仪,在水平面内不同方向进行光的干涉实验,干涉条纹并没有预期移动. (3)实验原理: 如果两束光的光程一样,或者相差波长的整数倍,在观察屏上就是亮的;若两束光的光程差不是波长的整数倍,就会有不同的干涉结果.由于1M 和2M 不能绝对地垂直,所以在观察屏上可以看到明

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第二节电场和电场强度 【知识要点】 从电场的观点看,电荷间的相互作用可分为两个基本问题:电荷产生电场和电场对电荷的作用. 电场强度,简称场强,是指放人电场中某一点电荷受到的电场力 F 跟它的电量q 的比值.数学表达式为 q为检验电荷, F 为q在场中受到的力.场强的方向规定为正电荷的受力方向. 只要有电荷存在,在电荷的周围就存在着电场.静止电荷在其周围的真空中产生电场,叫静电场,该电荷称为真空中静电场的场源电荷,电场对放人场中的电荷有力的作用. 在点电荷组成的电场里、任一点的场强等于各个点电荷单独存在时各自在该点产生的场强的矢量和,这就是场强叠加原理. 几种典型电场的场强: ( 1 )点电荷电场:由场强的定义和库仑定律可得,真空中点电荷的场 强分布为 ( 2 )均匀带电球壳的电场设有带电量为Q ,半径为R 的均匀带电球壳.由电场线的分布可知,只要球壳内没有电荷,壳内就没有电场线分 为0 布,即内部的场强 E 内 对于球壳外,电场线分布与点电荷Q 在球心处的电场线一样.因此 壳外的场强 E 外为 ( 3 )匀强电场 设有电荷面密度为δ的无限大带电平板,求其两侧的场强.根据场强叠加原理,空间某一点的场强,应是板上所有点电荷在该点产生场的叠加.由于平板是无穷大,根据对称性,板两侧的电场方向如图9 一 2 一 1 所示,且是匀强电场,但用叠加原理求场强的 大小要用到高等数学. 下面我们用不很严密的方法介绍一个定理,并根据它 求上述场强,先考虑点电荷,设一电量为Q 的点电荷, 则空间的场分布为

现取以Q 为球心,R 为半径作一球面,则Q 发出的电场线全部穿过这个面.像这样穿过一个面的电场线总数叫做穿过这个面的电通量,用 符号Φ表示.对于点电荷 由上式可知电通量与所取的面无关,即取任一面,只要这个面内包含Q ,通过此面的电通量为4πk Q . 推论 1 若所取的面不包含Q ,则通过此面的电通量为零. 推论 2 通过任意一个闭合曲线的电通量等于该面所包围的电荷电量的代数和的 4 π倍. 推论2通常叫高斯定理,利用高斯定理可以很方便地求出许多对称场的场强分布.如无限大平板,我们可以取关于板对称的圆柱体面,如图所示,设圆柱面的横截面半径为r ,高为l ,则 因此,电荷面密度为,的无限大带电平板两侧的场强为 E = 2πkδ 【例题分析】 例 1 如图9 一 2 论所示,电荷均匀分布在半球面上, 它在这半球面的中心O 处的电场强度等于E0,( l )证明 半球面底部的平面是等势面;( 2 )两个平面通过同一直径, 夹角为 a ,从半球中分出一部分球面.试求所分出的这部分球面上的电荷在O 处的电场强度 E . 分析与解 (l )证明一个平面是等势面一般有以下两条思路: a .根据电势叠加原理求出各点的电势,判断是否相等; b .根据场强叠加原理求出各点的场强,判断场强方向是否垂直平面. 设想有另一个完全相同的半球面与此半球面构成完整的球壳,则球壳及其内部各点电势都相等.根据对称性可知上、下两个半球壳分别在底面上各点引起的电势是相等的,再由电势叠加原理可知,当只有半球壳存在时,半球壳在底面上各点引起的电势也是相等的,而且电势是两个球壳的一半.场强是矢量,场强叠加比电势叠加要复杂.此题直接在底面上计算场 强较困难.我们可用反证法来说明场强方向一定垂直底面.假 定半球壳在底面产生的场强不垂直底面,则当把半球壳补完 整时,两半球壳在底面产生的合场强也不垂直底面,这与球 壳是等势体相矛盾.因此,假设不成立. ( 2 )由对称可知,E0的方向如图9 一 2 一 3 所示, 同样我们可知分出两部分的电场强度E1、E2,由矢量图可 得

全国高中物理竞赛训练题及答案

1、有一无限大的导体网络,它是由大小相同的正六边形网眼组成,如图(1.1),所有六边形每边的电阻都为R ,求结点a 、b 之间的电阻。 解析:像这类求导体网络的等效电阻的题目,我们不可能由电阻的串并联关系求出等效电阻,只能用电流的分步法,在ab 间引入一个电压ab U ,在网络中形成总电流I ,再找出ac I ,ab I 与I 的关系,最后由R U I =确定ab R 。 由网络的对称性可知,假设有电流I 从a 点流入网络,必有 1 3I 电流由a 流向c ,在c 点又分为两支路电流,则cb 的电流为1 6 I 。 另一方面,假设有I 电流有b 点流出网络,必有13I 电流由c 流向b ,a 和d 分别有1 6I 流向c 。 将两种情况叠加,则有I 电流由a 流入,从b 流出,按电流的分步法,必有 362ac I I I I = += 方向经导线ac 由a 流向c 362 ab I I I I = += 方向经导线cb 由c 流向b 所以a 、b 两点间的等效电阻为 a b a c c b ab U I R I R R R I I +=== 2、证明图(2.1)中的Y 形电阻网络与图(2.2)中的?形电阻网络的等效变化关系为: 图(1.1) a b c d 2 3 1 2 I 3 I 12 R 31 R 23 R 1 I 图(2.2) 1 I 1 R 2 R 3R 3 I 3 2I 2 1 图(2.1)

12233112 3 12233123 1 12233131 2R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ?++=???++=???++=?? 和 3112 1 122331 12232 122331 23313 122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R ?=?++??=?++??=?++? 解析:所谓等效变换,就是指这两种网络联接方式之间,仍保持电路中其余各部分的电流和电压不变,即Y 形网络中三个端点的点位1U ,2U ,3U 及流过的电流1I 、2I 、3I 和?形网络中的三个端相同,见图(2.1)和图(2.2). 如图(2.3),设流经电阻12R 、23R 、31R 的电流分别是12I 、23I 、31I ,对图(2.1)所示的Y 形网络有 112212 331131123 0I R I R U I R I R U I I I -=?? -=??++=? 由此可得 3 2 11231 1223 31 12 23 31 R R I U U R R R R R R R R R R R R = - ++++ 对图(2.2)所示的网络有 121212 313131 11231U I R U I R I I I ?=?? ? =?? ?=-?? 解得 31 1211231 U U I R R =- 所以有 33121212311223311223311231 R U R U U U R R R R R R R R R R R R R R -=-++++ 式中各对应项的系数相等 122331 123 R R R R R R R R ++= 图(2.3) 3I 1I 2I 12 R 31R 23R 12I 23I 31I

高中物理必备知识点:相对论简介总结

第十七章 相对论简介 这一章介绍高速物体的运动规律和相对论的时空观。这章的教学有两个特点。 第一,我们平时接触的都是低速运动,因此本章很多结论与日常经验不一致,难于接受。第二,相对论的全面阐述要用到较多的高等数学知识,所以这章许多结论都是直接给出的。相对论内容非常抽象,不易理解,但考纲对本章要求不高,只要记住结论就行。 【教学要求】 1.了解相对论的几个基本假设。 2.知道长度、时间的相对性。 3.初步了解相对论速度、质量变换公式。 4.了解爱因斯坦质能关系。 【知识再现】 知识网络 本章概览 考点剖析 选修3-4 相对论简介 相对论的诞生:伽利略相对性原理 狭义相对论的两个基本假设:狭义相对性原理;光速不变原理 时间和空间的相对性:“同时”的相对性 长度的相对性――20)(1c v l l -= 时间间隔的相对性―― 2 )(1c v t -?= ?τ 相对论的时空观 狭义相对论的其他结论:相对论速度变换公式―― 2 1c v u v u u '+'= 相对论质量―― 2 0)(1c v m m -= 质能方程2mc E = 广义相对论简介:广义相对性原理;等效原理 广义相对论的几个结论:物质的引力使光线弯曲 引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别

1.惯性系:如果牛顿运动定律在某个参考系中成立,这个参考系就叫做惯性系.相对于一个惯性系做 运动的另一个参考系也是惯性系. 2.狭义相对论的两个基本假设 (1)狭义相对性原理: 。 (2)光速不变原理: 。 3.相对论质量 物体以速度v 运动时的质量m 与静止时的质量m 0之间的关系 2 0)(1c v m m -= 4.质能方程:E =mc 2 1.伽利略相对性原理:力学规律在任何惯性系中都是相同的。 2.狭义相对性原理:在不同的惯性参考系,一切物理规律都是相同的 3.光速不变原理:真空中的光速在不同的惯性参考系中是相同的,光速与光源、观察者间的相对运动没有关系。 4.对两个基本原理的正确理解 ①自然规律不仅包括力学规律,还包括电磁学规律等其他所有的物理学规律。 ②强调真空中的光速不变指大小既不依赖于光源或观察者的运动,也不依赖于光的传播方向。 ③几十年来科学家采用各种先进的物理技术测量光速,结果都不违背光速不变原理。 【应用1】下列说法正确的是 ( ) A .力学规律在任何参考系中都是相同的 B .在所有惯性系中物理规律都是相同的 C .在高速运动情况下,惯性系中的物理规律也不一定相同 D .牛顿运动定律在非惯性系中不变 相同的,在非惯性参考系中,牛顿运动定律不再选用。故选B 1.“同时”的相对性: “同时”是相对的。在一个参考系中看来“同时”的,在另一个参考系中却可能“不同时”。 同时性就是相对的。即在一个惯性系中同时发生的两事件,在另一个惯性系中就不一定是同时发生的。 2.长度的相对性:一条沿自身长度方向运动的杆,其长度总比静止时的长度小。即 20)(1c v l l -= 式中l ,是与杆相对运动的人观察到的杆长,l 0是与杆相对静止的人观察到的杆长。 ②这种长度的变化是相对的,如果两条平行的杆在沿自己的长度方向上做相对运动,与他们一起运动的两位 重点突破

20162017学年高中物理第15章相对论简介本章测评B新人教版选修34

第15章相对论简介 (高考体验) 一、选择题(本题共8小题,每小题6分,共48分。全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选 错或不选的得0分) 1.(2010·北京理综)属于狭义相对论基本假设的是:在不同的惯性系中() A.真空中光速不变 B.时间间隔具有相对性 C.物体的质量不变 D.物体的能量与质量成正比 解析:由爱因斯坦狭义相对论基本假设可知选项A正确。 答案:A 2.(2011·江苏单科) 如图所示,沿平直铁路线有间距相等的三座铁塔A、B和C。假想有一列车沿AC方向以接近光速行驶,当铁塔B发出一个闪光,列车上的观测者测得A、C两铁塔被照亮的顺序是() A.同时被照亮先被照亮 先被照亮 D.无法判断 解析:由“同时”的相对性可知,列车上的观察者观察到光信号先到达C,选项C正确。 答案:C 3.(2014·四川理综)电磁波已广泛运用于很多领域。下列关于电磁波的说法符合实际的是() A.电磁波不能产生衍射现象 B.常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机 C.根据多普勒效应可以判断遥远天体相对于地球的运动速度 D.光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同 解析:任何波都有衍射现象,选项A错误;遥控器发射红外线脉冲信号遥控电视机,选项B错误;根据多普勒效应可以测出天体运动速度,选项C正确;光在一切惯性系中的速度是不变的,选项D错误。答案:C 4.导学号(2015·山东聊城高二检测)惯性系S中有一边长为l的正方形,从相对S系沿x方向以接近光速匀速飞行的飞行器上测得该正方形的图象是() 解析:由相对论知识可知,沿运动方向,物体的长度将变短,而其他方向物体长度不会发生变化,因此,选项C正确,A、B、D错误。 答案:C

高中物理竞赛教程:4.1《基本粒子》.doc

第四讲 基本粒子 §4、1、基本粒子 4.1.1、 什么是基本粒子 在古代就有一些哲学家认为物质是由原子组成的,原子是组成物质的最小颗粒,不可再分。有基本的涵义,可称为基本粒子。自19世纪初,英国科学家道尔顿以化学反应为依据,提出物质是由原子组成的学说以来,人们相继发现了电子、质子、中子、正电子、中微子、介子等大量的基本粒子,基本粒子数目的大量增加,使人们认识到它们也不可能是最基本的组分,所以有“基本料子不基本”的说法。 中微子的发现,中子不是稳定粒子,它衰变为质子和电子:e P n 01111 -+→,实验发现此衰变中动量不守恒。经不断实验发现,中子衰变的正确反应应为v e P n ++→-01111 0。v 为中微子的符号,v 为v 反粒子的符号。 4.1.2、 粒子的自旋 到本世纪30年代末,加上在宇宙射线中发现的μ子,人们认为,电子、质子、中子、中微子、μ子和光子都是基本粒子。除中子和μ子是不稳定粒子外,其余都是稳定的。基本粒子的主要特征除质量的电荷外,还有自旋,这是一个量子力学概念,表征粒子的内部属性,相当于经典物概念是微粒的自转。它遵从量子力学的规律,以π2h 为单位,只能取整数0、1、2……,或半整数1/2、3/2……。上述6种粒子,除光子自旋为1外,其余都是自旋为1/2的粒子。自旋为整数的粒子又称为玻色子;自旋为半整数的粒子又称为费米子。 4.1.3、 粒子和反粒子 经实验发现,每一种粒子都存在相应的反粒子。反粒子和粒子的质量、自旋都相同,电量相同而符号相反。对不带电

的粒子,粒子和反粒子有其它的区分标志,这里不具体描述。在粒子的符号上加一横,代表反粒子,如v 是反中微子。也有的粒子的反粒子就是自身,而无区别,如光子。1932年安得森发现了正电子,使反粒子的存在第一次得到了证实。其他反粒子也先后被发现。如反质子和反中子分别是1955年和1956年在加速器中发现的。粒子和反粒子是互为反粒子的,只是当初称呼电子、质子等为粒子而已。我们这个世界是由粒子组成的,而不是由反粒子组成的。 4.1.4、 强子——介子和重子 本世纪40年代到50年代,从宇宙射线中又发现了一批粒子。比如发现了π介子和K 介子,它们的自旋为零;又发现了与核子(质子和中子)属于同一类而质量更大的粒子,称为超子,有Λ超子、∑超子和Ξ超子,它们都是不稳定粒子。核子和超子统称为重子。介子和重子又统称为强子。因为它们之间的相互作用强大。 4.1.5、 粒子的奇异性 仔细地分析新发现的各种粒子的衰变反应,以及它们参与的其它反应,发现K 介子和超子具有产生快,衰变慢和同时产生两个或多个粒子的新特性,与π介子和核子所有的性质不同,当时认为有些奇异,引入了一个称为奇异数的量子数来标志这种奇异性。 + K 介子 和0K 介子的奇异数为1;+-∑∑∑Λ,0,1,0超子的奇异数为-1;0,ΞΞ-超子的奇异数为-2。具有奇异数的粒子,如其奇异数为s ,则其反粒子的奇异数为-s 。π介子和核子的奇异数为0。在强相互作用中,奇异数守恒。 4.1.6、 基本粒子分类 按照基本粒子之间的相互作用可分为三类: ①强子:凡是参与强相互作用的粒子,分为重子和介子两类。 ②轻子:都不参与强相互作用,质量一般较小。 ③光子:静质量为零,是传递电磁相互作用的粒子。

第届全国中学生物理竞赛决赛试题与详细解答

第23届全国中学生物理竞赛决赛试题 2006年11月深圳 ★理论试题 一、 建造一条能通向太空的天梯,是人们长期的梦想.当今在美国宇航局(NASA )支持下,洛斯阿拉莫斯国家实验室的科学家已在进行这方面的研究.一种简单的设计是把天梯看作一条长度达千万层楼高的质量均匀分布的缆绳,它由一种高强度、很轻的纳米碳管制成,由传统的太空飞船运到太空上,然后慢慢垂到地球表面.最后达到这样的状态和位置:天梯本身呈直线状;其上端指向太空,下端刚与地面接触但与地面之间无相互作用;整个天梯相对于地球静止不动.如果只考虑地球对天梯的万有引力,试求此天梯的长度.已知地球半径R 0=6.37×106m ,地球表面处的重力加速度g =9.80m ·s -2. 二、 如图所示,一内半径为R 的圆筒(图中2R 为其内直径)位于水平地面上.筒内放一矩形物.矩形物中的A 、B 是两根长度相等、质量皆为m 的细圆棍,它们 平行地固连在一质量可以不计的,长为l =R 的矩形薄片的两端.初始时 矩形物位于水平位置且处于静止状态,A 、B 皆与圆筒内表面接触.已知A 、B 与圆筒内表面间的静摩擦因数μ都 等于1. 现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动,使A 逐渐升高. 1.矩形物转过多大角度后,它开始与圆筒之间不再能保持相对静止? 答:___________________________(只要求写出数值,不要求写出推导过程) l A 2R

2.如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时,立即令圆筒停止转动.令θ表示A的中点和B的中点的连线与竖直线之间的夹角,求此后θ等于多少度时,B 相对于圆筒开始滑动.(要求在卷面上写出必要的推导过程.最后用计算器对方程式进行数值求解,最终结果要求写出三位数字.) 三、 由于地球的自转及不同高度处的大气对太阳辐射吸收的差异,静止的大气中不同高度处气体的温度、密度都是不同的.对于干燥的静止空气,在离地面的高度小于20km的大气层内,大气温度T e随高度的增大而降低,已知其变化率 =-6.0×10-3K·m-1 z为竖直向上的坐标. 现考查大气层中的一质量一定的微小空气团(在确定它在空间的位置时可当作质点处理),取其初始位置为坐标原点(z=0),这时气团的温度T、密度ρ、压强p都分别与周围大气的温度T e、密度ρe、压强p e相等.由于某种原因,该微气团发生向上的小位移.因为大气的压强随高度的增加而减小,微气团在向上移动的过程中,其体积要膨胀,温度要变化(温度随高度变化可视为线性的).由于过程进行得不是非常快,微气团内气体的压强已来得及随时调整到与周围大气的压强相等,但尚来不及与周围大气发生热交换,因而可以把过程视为绝热过程.现假定大气可视为理想气体,理想气体在绝热过程中,其压强p与体积V满足绝热过程方程 pVγ=C.式中C和γ都是常量,但γ与气体种类有关,对空气,γ=1.40.已知空气的摩尔质量μ=0.029kg?mol-1,普适气体恒量R=8.31J?(K?mol)-1.试在上述条件下定量讨论微气团以后的运动. 设重力加速度g=9.8m·s-2,z=0处大气的温度T e0=300K. 四、

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