九年级上数学培优10

【点方法】选择解一元二次方程的方法的顺序为：
直接开平方法→因式分解法→公式法，如无特殊要 求一般不用配方法． 解：x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0. x－3＝0或x＋1＝0. ∴x1＝3，x2＝－1.
(2)【2021·常德】x2－x－2＝0；
解：x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0， x－2＝0或x＋1＝0. ∴x1＝2，x2＝－1.
∴x＝
－b±
b2－4ac 2a
－2± 9 －2±3 ＝__2_×_1____＝____2____，
∴x1＝___12_____，x2＝__－__52____.
(4)用因式分解法解方程：x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得__x_(x_＋__2_)_－__3_(_x_＋__2_)＝__0____， 因式分解，得__(_x_＋__2_)(_x_－__3_)_＝__0___， 于是得_x_＋__2_＝__0_或__x_－__3_＝__0___， 解得x1＝___－__2___，x2＝__3______.
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9．【2021·嘉兴】小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x －3)2的过程如下框： 小霞：
小敏： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
两边同除以(x－3)，得 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.
3＝x－3， 则x－3＝0或3－x－3＝0，
则x＝6. 解得x1＝3，x2＝0.
解：原方程化成__(_x_－__3_)2_＝__3__， 开平方，得__x_－__3_＝__±__3__． ∴x1＝_3_＋___3___，x2＝_3_－___3___.
(2)用配方法解方程：3x2－x－4＝0.
解：移项，得_3_x_2_－__x_＝__4___， 二次项系数化为1，得_x_2_－__13_x_＝__43_． 配方，得_x_2_－__13_x_＋__16__2_＝__43_＋__31_6__，即_x_－__16__2_＝__43_96__． 开平方，得__x_－__16_＝__±_76___．

苏科版九年级数学上册《确定圆的条件》期中复习专题培优训练1．已知一个点到圆上的点的最大距离是5cm，最小距离是1cm，则这个圆的半径是（ ）A．3cm B．2cm C．3cm或2cm D．不能确定2．已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）A．2B．3C．4D．53．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP．若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（ ）A．B．C．D．4．下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（ ）A．矩形，菱形B．矩形，正方形C．菱形，正方形D．平行四边形，菱形5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OE⊥AB，垂足为点F，连接弦AE，已知OE＝1，则下面的结论：①AE2+BC2＝4 ②sin∠ACB＝③cos∠B＝，其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．②6．下面说法正确的是（ ）A．三点确定一个圆B．外心在三角形的内部C．平分弦的直径垂直于弦D．等弧所对的圆周角相等7．给出下列说法：①经过三点一定可以作圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块10．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定11．下列命题中，真命题的个数是（ ）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 ．13．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 ．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1﹣t，0）、C（1+t，0）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是 ．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．16．在直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 ．17．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE 于F，连接DF．若OE＝2，DF＝1，则△ABC的周长为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．19．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．20．已知：△AC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC＝2OH；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P．求证：∠ACD＝∠APB．21如图，已知⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD.求证：四边形AGCE是平行四边形．22、如图，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D. 已知AB=24cm，CD=6cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径23．已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．（1）求证：CD＝CE；（2）当AC＝2时，求BF的长；（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．24．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝，求AD的长．。

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题21.3解一元二次方程:配方法（限时满分培优测试）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分100分，建议时间：40分钟.试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型，没有标记的为基础过关性题目.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•姑苏区校级期末）将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2＝3B．（x+2）2＝﹣3C．（x+2）2＝3D．（x+2）2＝﹣52．（2023•武山县一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为（）A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣9）2＝4D．（x﹣9）2＝143．（2023•大同模拟）将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（）A．（x+3）2＝17B．(x+3)2=17 2C．（x﹣3）2＝17D．(x−3)2=17 24．（易错题）（2023•江夏区校级模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣4）2＝3c，则c的值为（）A．﹣4B．0C．4D．65．（2023•运城模拟）配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式ax2+bx+c ＝0（a≠0）化为（x+m）2＝n（n≥0）的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．函数思想C．转化思想D．公理化思想6．（2023•东莞市校级一模）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为（）A．﹣2B．2C．3D．47．（易错题）（2023•衡水二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（易错题）（2023春•招远市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定9．（培优题）（2023春•永州期中）不论x、y是什么数，代数式x2+y2+2x﹣2y+7的值（）A．总大于7B．总不小于7C．可能为负数D．总不小于510．（压轴题）（2023•娄底三模）基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2√ab，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+9a≥2√a⋅9a=6，当且仅当a＝3时取等号，a+9a的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+1x−1的最小值是（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•碑林区校级模拟）方程x2+4＝4x的解为．12．（2022秋•雄县期末）将一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为．13．（易错题）（2022秋•宁强县期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝．14．（培优题）（2023春•东阳市期中）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为．15．（培优题）（2023春•溧阳市期中）已知：x2﹣3x+5＝（x﹣2）2+a（x﹣2）+b，则a+b＝．16．（压轴题）（2023春•滨江区期末）利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如，x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+3有最小值2．对于多项式3x2+2x+1，当x＝时，有最小值是．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．用配方法解下列方程：（1）x2+6x＝﹣7；（2）x2﹣2√2x﹣3＝0；（3）x（x﹣4）＝2﹣8x；（4）4x2﹣8x+1＝0．18．（易错题）（2023春•庄浪县期中）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．19．（易错题）（2023•朔州模拟）（1）计算：√18−12÷116×|−14|；（2）下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2﹣12x﹣1＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：原方程可化为（2x）2﹣6×2x﹣1＝0……第一步移项，得（2x）2﹣6×2x＝1……第二步配方，得（2x）2﹣6×2x+32＝1……第三步∴（2x﹣3）2＝1……第四步两边开平方，得2x﹣3＝±1……第五步∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1．……第六步∴原方程的解为x1＝2，x2＝1……第七步任务一：小明同学的解答过程是从第步开始出错的，错误的原因是．任务二：请直接写出该方程的正确解．任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？20．（培优题）（2023春•平果市期中）阅读理解：在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：【初步尝试】比较大小：x2+1 2x；9 6x﹣x2．【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由．21．（培优题）（2023春•淮北月考）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣1，n＝3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．请你利用配方法，解决下列问题：（1）已知a，b是长方形ABCD的长与宽，满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积是；（2）求代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7的最小值，并求出此时a，b满足的数量关系；（3）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由．22．（压轴题）（2023•桐乡市一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：求代数式x2+4x2的最小值．23．（创新题）（2023春•古田县期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式．（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝．【探究问题】：（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（xx、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．。

2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )
A．(x＋1)(x－3)＝2
B．2(x－2)2＝x2－4
C．x2＋3x－1＝0
D．5(2－x)2＝3
[解析] A，C，D 项不适合用分解因式法解方程，B 项最适合用分解因式法解方程．故选 B.
3、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
① x2 x ；
A．x＝k
B．x＝±k
C．x＝k 或 x＝﹣k﹣1
D．x＝k 或 x＝﹣k+1
10、定义一种新运算：a♣b＝a(a－b)．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若 x♣2＝3，则 x 的值是( )
A．x＝3 二、填空题
B．x＝－1 C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
11、用因式分解法解方程 5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：
2
0
，故②能用分解因式法求解；
方程 x x2 3 0 不能用因式分解法求解；
方程 (3x 2)2 16 可变形为 3x 2 43x 2 4 0 ，即 3x 23x 6 0 ，故④能用
分解因式法求解．
综上，能用因式分解法求解的方程有 3 个，故选：C．
4、用因式分解法解方程 3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变形为( ) A．2x－1＝0 B．3x＝2 C．(3x－2)(2x－1)＝0 D．6x2－7x＋2＝0 [解析] 3x(2x－1)＝4x－2，3x(2x－1)－(4x－2)＝0，3x(2x－1)－2(2x－1)＝0，(2x－1)(3x－2)＝0. 故选 C.
B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )
A．(x＋1)(x－3)＝2