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一元二次方程
概念、解法、根的判别式（讲义）
一、知识点睛
1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成
_______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
思考次序：______________、__________、_______________．
2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程
的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．
3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要
解法有：________________，________________，_____________，_____________等．
4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；
分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．
5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此
_________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；
当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．
二、精讲精练
1. 下列方程：①3157x x +=+；②
21
10x x
+-=； ③2
5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322
=-m m ；⑤2
02
y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．
2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是
______．
3. 若关于x 的方程2
1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为
___________．
4. 若方程01)1(2
=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是
（ ） A ．m =0
B ．m ≠1
C ．m ≥0且m ≠1
D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根，则2a -1的值是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．3
D ．-3
6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ）
A ．x =1
B ．x =21
C ．x 1=1，x 2=-9
D ．x 1=-1，x 2=9
7. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是（ ）
A ．方程有两个不相等的实数根
B ．方程有两个相等的实数根
C ．方程没有实数根
D ．根的情况与k 的取值有关
8. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么
m =_________．
9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是
________． 10. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=；
解：22____x x -=，
22___1___x x -+=+，
()
2
___________=，
_______=_____， x =
∴1x = ，2x =
（3）23920x x -+=； （4）24810x x --=；
（5）20ax bx c ++=（a ≠0）．
11. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=； （2）22790x x --=；
解：a =___，b =___，c =___，
∵24b ac -=________
=________>0
∴ x =
=
∴1x = ，2x =
（3）21683x x +=；
（4）2352x x -+=-．
12. 用分解因式法解方程： （1）(54)54x x x +=+； （2）(1)(8)12x x ++=-；
解：( _____ )(54)0x +=， _______=0或_______=0， ∴1x = ，2x =
（3）22(2)(23)x x -=+； （4）29x -=；
（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．
13. 阅读题：
解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的常用工具． 例 解方程：42320x x -+=． 解：设2y x =，则2320y y -+=， 解得，11y =，22y =． 当21x =时，11x =，21x =-；
当22x =时，3x =，4x =
故原方程的解为11x =，21x =-，3x =4x = 仿照以上作法求解方程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．
三、回顾与思考
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