函数的单调性与极值

1+ x 1+ x 1+ x
2、由f ′( x)在给定区间的正、负号，讨论f ( x )的增减性
≤0
∴ f ( x)在x ∈ [0, +∞)上为减函数
3 即 arctan x − x ≤ arctan 0 − 0 即arctan x − x ≤ 0
∴ x ≥ 0时 f ( x ) ≤ f ( 0 )
（1）当 f ′ ( x ) > 0时， f ( x ) 在 ( a , b )内单调递增
2 、若在 ( a , b )内 f ′( x ) ≥ 0(或 f ′ ( x ) ≤ 0)，但等号只在一些 孤立点成立，则 f ( x )在 ( a , b )内仍是单调 或
3、判断函数单调性的关键： 确定分界点 、判断函数单调性的关键：
（ 4、函数分界点的类型： 1 ）驻点：即使 f ′ ( x ) = 0的点 、函数分界点的类型：
（2）使得f ′ ( x ) ∃的点
定义域内
1
（二）判断函数单调性的步骤
(1)求出 求出f(x)的定义域 求出 的定义域 (2)求出 求出f(x)的分界点 求出 的分界点 (3)列表 列表
解： ① f ( x)的定义域为( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ ) 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) ② f ′( x) = 1− 3 = x x3 (i) 令f ′( x) = 0 ⇒ (x − 2)(x 2 + 2x + 4) = 0⇒ x = 2
极小值为f ( 0 ) = 0和f ( 2 ) = 0
x = 1是f ( x)的极大值点
极大值为 f (1) = 1
6
x2 Ex : 求出f ( x ) = 的极值 1+ x

⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。

函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。

本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。

一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。

图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。

由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。

设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。

同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。

函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。

一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。

如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。

例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。

二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。

例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。

解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。

则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。

所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。

2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。