【精准解析】2021届高考数学人教B版单元检测五 平面向量与复数(小题卷B)
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1 单元检测五 平面向量与复数(小题卷B)
考生注意：
1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
2．本次考试时间45分钟，满分80分．
3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z＝4i1＋i，则z对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在平行四边形ABCD中，M为BC边的中点，N为线段AM上靠近A点的三等分点，则DN→等于( )
A．－13AB→＋23AD→ B.13AB→－56AD→
C.13AB→－23AD→ D.13AB→－34AD→
3．已知向量a＝(x,6)，b＝(3,4)，且a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为( )
A．[－8，＋∞) B.－8，92∪92，＋∞
C.－8，92∪92，＋∞ D．(－8，＋∞)
2 4．(2020·滨州质检)已知点O是△ABC的外接圆圆心，AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y使得AO→＝xAB→＋yAC→且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为( )
A.13 B.23 C.33 D.23
5．(2020·襄阳摸底)已知△ABC的垂心为H，且AB＝3，AC＝5，M是BC的中点，则HM→·BC→等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BE→·CE→＝2，BF→·CF→＝－1，则BA→·CA→等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，AD＝BC＝5，E是DC的中点，F是线段BC上的动点，则EF→·BF→的最小值是( )
A．0 B．－45 C．－95 D．1
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第6题图 第7题图
8．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：
(1)OA→＋OB→＋OC→＝0；
(2)OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→；
(3)OA→·AC→|AC→|－AB→|AB→|＝OB→·BC→|BC→|－BA→|BA→|＝0；
(4)(OA→＋OB→)·AB→＝(OB→＋OC→)·BC→＝0.
则点O依次为△ABC的( )
A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8) C．(－4，－8) D．(－4,8)
10．(2019·辽宁省庄河市高级中学期中)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若2OA→＋OB→＋3OC→＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是( )
4 A．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
12．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”，这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心，下列四个选项中结论错误的是( )
A.GH→＝2OG→
B.GA→＋GB→＋GC→＝0
C．设BC边中点为D，则有AH→＝3OD→
D.OA→＝OB→＝OC→
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2019·荆门期中)设i是虚数单位，若复数z满足|z－i|＝2，则|z|的最大值为________．
14．(2020·山东省临沂市期末)在△ABC中，D为AC上的一点，满足AD→＝13DC→.若P为BD上的一点，满足AP→＝mAB→＋nAC→(m>0，n>0)，则mn的最大值为________；4m＋1n的最小值为________．(本题第一空3分，第二空2分)
15．(2019·天津市红桥区模拟)已知点O是△ABC内一点，满足OA→＋2OB→＝mOC→，S△AOBS△ABC＝47，则实数m＝________.
16.如图，点D在△ABC的边AC上，且CD＝3AD，BD＝2，cos ∠ABC2＝104，则3AB＋BC的最大值为________．
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6 答案精析
1．A 2.B 3.B 4.D 5.D
6．C [BE→·CE→＝DE→2－BD→2＝4DF→2－BD→2＝2，BF→·CF→＝DF→2－BD→2＝－1，所以DF→2＝1，BD→2＝2，因此BA→·CA→＝DA→2－BD→2＝9DF→2－BD→2＝7，故选C.]
7．C [由已知得EF→·BF→＝(EC→＋CF→)·BF→＝EC→·BF→＋CF→·BF→，
由平面几何知识得cos〈EC→，BF→〉＝－55，
设BF＝x，所以EF→·BF→＝1·x·－55－x·(5－x)＝x2－655x(0
所以当x＝355时，EF→·BF→有最小值－95]．
8．C [由三角形“五心”的定义，我们可得，
(1)OA→＋OB→＋OC→＝0时，得OC→＋OB→＝－OA→＝AO→，在△ABC中，设E是边BC的中点，则AO→＝2OE→，即O是△ABC的重心；
(2)OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→时，得(OC→－OA→)·OB→＝0，即AC→·OB→＝0，所以AC→⊥OB→.同理可知AB→⊥OC→，BC→⊥OA→，所以O为△ABC的垂心；
(3)OA→·AC→|AC→|－AB→|AB→|＝OB→·BC→|BC→|－BA→|BA→|＝0，
∴OA→·AC→|AC→|－OA→·AB→|AB→|＝OB→·BC→|BC→|－OB→·BA→|BA→|＝0，
当OA→·AC→|AC→|－OA→·AB→|AB→|＝0时，OA→·AC→|AC→|＝OA→·AB→|AB→|，
即|OA→|×|AC→|×cos∠OAC|AC→|＝|OA→|×|AB→|×cos∠OAB|AB→|，
∴cos∠OAC＝cos∠OAB，∴∠OAC＝∠OAB，
∴O点在三角形的角A的平分线上；同理，O点在三角形的角B，角C的平分线上，
∴点O是△ABC的内心；
7 (4)(OA→＋OB→)·AB→＝(OB→＋OC→)·BC→＝0时，设D是边BA的中点，则2DO→·AB→＝0，故OD为AB的中垂线，同理设E是边BC的中点，2EO→·CB→＝0，故OE为CB的中垂线，所以O为△ABC的外心．]
9．BD [设b＝(x，y)，
依题意有 x2＋y2＝412＋－22，y＋2x＝0，
解得 x＝4，y＝－8，或 x＝－4，y＝8.]
10．BC [A选项错误，例如b＝0，推不出a∥c；
B选项，设AC的中点为M，BC的中点为D，
因为2OA→＋OB→＋3OC→＝0，
所以2×2OM→＋2OD→＝0，
即2OM→＝－OD→，
所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的13，
而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，
故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16，
根据三角形面积公式可知B选项正确；
C选项两边平方可得－2a·b＝2|a||b|，
所以cos〈a，b〉＝－1，即夹角为π，结论正确；
D选项错误，例如b＝0.]
11．AC [由acos A＝bcos B＝ccos C，
利用正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，
即tan A＝tan B＝tan C，
所以A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；
8 由acos A＝bcos B，可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；
由bcos C＋ccos B＝b，
可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
即sin(B＋C)＝sin B，所以sin A＝sin B，
则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；
由余弦定理可得cos C＝a2＋b2－c22ab>0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确．]
12．CD [如图，
A项，由题得AG→＝2GD→，OD⊥BC，
AH⊥BC，∴OD∥AH，
∴GH→＝2OG→，该选项正确；
B项，GB→＋GC→＝2GD→＝－GA→，
∴GA→＋GB→＋GC→＝0，∴该选项正确；
C项，由A项易知△AGH∽△DGO，
∴AH→＝2OD→，故C选项错误；
9 D项，向量OA→，OB→，OC→的模相等，方向不同，故D选项错误．]
13．3
解析 由|z－i|＝2得复数z对应的点在圆x2＋(y－1)2＝4上，
|z|表示复数z对应的点到原点的距离，
因此，|z|max＝02＋1－02＋2＝1＋2＝3.
14.116 16
解析 如图所示，
由AD→＝13DC→，得AD→＝14AC，
所以AP→＝mAB→＋4nAD→，
所以m＋4n＝1(m>0，n>0)，
所以mn＝14m·(4n)≤14m＋4n22＝116，
当且仅当m＝12，n＝18时等号成立．
所以mn的最大值为116.
因为4m＋1n＝4m＋1n(m＋4n)＝8＋16nm＋mn≥16，
当且仅当m＝12，n＝18时等号成立．
