3322
11
132
1.lim _____
21
2.lim _____
3(5)33.lim _____
(5)34.lim ______
1234....(21)25.lim _____
1
(2)6.lim ______
124...(2)7.lim(
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n
n n
n →∞→∞++→∞→∞
→∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题
21213
)______
2
1
1118.lim ....(1)______
3927319.lim 0,____,_____
110.(1)lim(12),_____
(2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n
n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞
→∞
→∞
→∞
--=+⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦⎛⎫+--=== ⎪+⎝⎭
-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1
(3)1,lim()113(1)
12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n
n n a b a b n n n a S a n n a S →∞
-→∞
→∞
-=-⋅⎧
≤≤⎪+⎪=⎨
⎪⋅≥⎪⎩求的值
若为数列的前项和求
{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31
14.,1,,,32
lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n
n n n n
n n n
n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞
→∞
++--→∞→∞+===-=∈-⎡
⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦
数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围
数列都是公差不为的等差数列12211212
22
1121
,lim 2, (i)
17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim
,lim ...19.{},,lim
n
n n
n
n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n n
a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞
→∞
++→∞
→∞++→∞
=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围
数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111,1...20.lim
...1
21.{},lim(
)12
n
n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞
-++++++++-=
+求范围求等比数列公比为求取值范围
1122
24122213212
22.{},1,3
(1)lim (2)lim(...)
23.{},4,16,lg lg ...lg lim
24.{},53,lim(...)25.()2(2n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n a n S S a S a S a S a S a a a a a a n a n S a S a a a f x x x →∞
→∞
++→∞-→∞
=-+++==+++=-+++=-+≥数列前项和为且求设正数等比数列求数列前项和为求
已知函数1
1
1122
11)
(1)()
(2){}1()2,{}{},
2lim()n n n n n n n n
n n n n
n n f
x a n S n S f S a a a a n T a a T n ---++→∞
==+=-求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式
(3)设C 又设数列C 前项和为求的值
方法一:应用数列极限的定义(证明题)
用定义求数列极限有几种模式:
(1)0>∀ε,作差a a n
-,解方程ε<-a a n
,解出()εf n >,则取()εf N =或() ,1+=εf N
(2)将
a a
n
-适当放大,解出()εf n >；
(3)作适当变形,找出所需N 的要求。
方法二:常用方法:约去零因子求极限,分子分母同除求极限,分子(母)有理化求极限
方法三(迫敛性)设收敛数列
{}{}b a n
n
,都以a 为极限,数列{}c n
满足:存在正整数N 0
,当N n 0
>
时有: b c a n
n
n
≤≤ 则数列{}c n
收敛,且a c n
n =∞
→lim 。
方法四:(单调有界定理)在实系数中,有界的单调数列必有极限。
方法五:两个重要极限是1sin lim
0=→x
x
x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1
0)1(lim )11(lim )11(lim 方法六:(柯西收敛准则)数列{}a n
收敛的充要条件是:对任给的0>ε,存在正整数N,使得
当n,m N >时,有
ε≤-a
a m
n
方法七:Stolz 定理:设n>N 时,y
y n n
1
+<
且
+∞=∞
→y
n
n lim ,若l y
y x
x n n
n n n =----∞
→1
1lim
(l 为有
限数或无穷大),则
l y
y x x y
x n n
n n n n
n n =--=--∞
→∞
→1
1lim
lim
