大学期末复习试题资料整理大一数学分析复习题

1 332212211321.lim_____212.lim_____3(5)33.lim_____(5)344.lim______311234....(21)25.lim_____1(2)6.lim______124...(2)7.lim(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn数列极限练习题21213)______211118.lim....(1)______3927319.lim0,____,_____110.(1)lim(12),_____(2)4,__11.lim(2)5,limnnnnnnnnnnnnnnanbabnxxaab则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知1(3)1,lim()113(1)12.,1342(1)lim(2)limnnnnnnnnnnnnnababnnnaSannaS求的值若为数列的前项和求12123101511113.,9,27,,lim3114.,1,,,32lim15.,321111lim4lim1....(1),323927316.{},{}0nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaanSSSaanSSSaRaaaab数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围数列都是公差不为的等差数列12211212221121,lim2,...lim17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim,lim...19.{},,limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaaanbaaakaakaqqaaSSnSSaaaaqnSaS求数列为无穷等比数列求实数的范围数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111,1...20.lim...121.{},lim()12nnnnnnqqaaaaaaaaaqqqa求范围求等比数列公比为求取值范围

2 11222412221321222.{},1,3(1)lim(2)lim(...)23.{},4,16,lglg...lglim24.{},53,lim(...)25.()222(2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanSSaSaSaSaSaaaaaananSaSaaafxxxx数列前项和为且求设正数等比数列求数列前项和为求已知函数11112211)(1)()(2){}1()2,{}{},2lim()nnnnnnnnnnnnnnfxanSnSfSaaaanTaaTn求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式(3)设C又设数列C前项和为求的值 方法一:应用数列极限的定义(证明题)

用定义求数列极限有几种模式:

(1)0,作差aan,解方程aan,解出fn,则取fN或,1fN

(2)将aan适当放大,解出fn；

(3)作适当变形,找出所需N的要求。

方法二:常用方法:约去零因子求极限,分子分母同除求极限,分子(母)有理化求极限

方法三(迫敛性)设收敛数列bann,都以a为极限,数列cn满足:存在正整数N0,当Nn0

时有: bcannn 则数列cn收敛,且acnnlim。

方法四:(单调有界定理)在实系数中,有界的单调数列必有极限。

方法五:两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim

方法六:(柯西收敛准则)数列an收敛的充要条件是:对任给的0,存在正整数N,使得当n,mN时,有 aamn

方法七:Stolz定理:设n>N时,yynn1且ynnlim,若lyyxxnnnnn11lim(l为有限数或无穷大),则

lyyxxyxnnnnnnnn11limlim

3 方法八:形如)(1xxnnf数列极限

方法九:用等价无穷小量代换求极限(等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．),常见等价无穷小有:当0x 时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx1ex,

abxaxxxb~11,21~cos12；

方法十:用罗必塔法则求极限,用对数恒等式求)()(limxgxf极限,数列极限转化成函数极限求解。

算术－几何－调和平均不等式:

对,,,,21Rnaaa 记

,1 )(121niiniannaaaaM (算术平均值)

,)(1121nniinniaaaaaG (几何平均值)

.1111111)(1121niiniiniananaaanaH (调和平均值)

有均值不等式: ),( )( )(iiiaMaGaH等号当且仅当naaa21时成立.

(3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)

对,0x 由二项展开式

23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnnnnnnxnxxxx

)1(,1)1(nnxxn

(４)Cauchy－Schwarz 不等式: kkba,(nk,,2,1),有

21nkkkba21nkkkbankka12nkkb12

（５）Nn,nnn1)11ln(11

)1(21321nnn； )12)(1(613212222nnnn

223333)1(41321nnn； )133)(12)(1(30132124444nnnnnn

4 )122()1(1213212225555nnnnn；

)1363)(12)(1(421321346666nnnnnnn

)2463()1(241321234227777nnnnnnn

)1(2642nnn 2)12(531nn

)14(31)12(53122222nnn )12()12(531223333nnn

导数微分及应用习题

判断:

1、若)(xf可微,且为],[ll上的偶函数,则)(xf必为],[ll上的偶函数；( )

2 若 xf 是ll,上的奇函数,则)(xf必为ll,上的偶函数；( )

3、如果函数xfy 在0x点 的左、右 极限都存在,则函数在0x点的极限存在( )

4、若函数)(xf在点0xx连续,则)(xf在0x点可导 ； ( )

5、若函数)(xf在点0xx连续,则)(xf在0x点的极限一定存在；( )

6、若函数)(xf在点0xx可微,则)(xf在0x点可导 ； ( )

7、如果函数xfy 在 0x点 的左、右 极限都存在,则)(xf在0x点可导 ；( )

8、若函数)(xf在点0xx连续,则函数xfy 在 0x 点 的左、右 极限都存在且相等；( )

9、若)(xf在0x点不可导,则函数)(xf在点0xx一定不连续；( )

10、若函数)(xf在点0xx不可微,则)(xf在0x点不可导 ； ( )

11、若函数)(xf在点0xx不可微,则)(xf的左、右 极限一定不存在；( )

12、设函数)(xf在0x点可导,导数为)(0xf,则)()()(lim0000xfxxxfxfx ( )

13、设函数)(xf在0x点可导,导数为)(0xf,则)(2)()(lim0000xfxxxfxxfx ( )

5 14、设函数)(xf在0x点可导,导数为)(0xf,则)()()2(lim0000xfxxfxxfx ( )

15、函数1xy在1x处不可导；( )

16、函数1xy在1x处不连续；( )

17. 若)(0xf存在,且0)(0xf,则1)()()(lim0000xxfxfxxfx ( )

18、若)(xf在],[ba上可导,则)(xf在],[ba上有界； ( )

19、若)(xf在0x点导数不存在,则曲线)(xfy在))(,(00xfx点处没有切线；( )

20、曲线xycos上点21,3处的法线的斜率为32；( )

21.设)(xfy在0xx可微,则当0x时,

xxfxfxxf)()()(000是关于x高阶的无穷小；( )

22、若)0()()()(lim2llaxafxfax,则)(xf在ax处不可导；( )

23、若)0()()()(lim2llaxafxfax,则)(xf在ax处可导但0)(af；( )

24、若)0()()()(lim2llaxafxfax,则)(xf在ax处可导且0)(af；( )

25、若2sinlnxy,则2cos1xy； ( )

1.设)(xf在0xx的某个邻域内具有二阶连续导数,则hhxfhxfh)()(lim000( ).

A、0； B、)(0xf； C、)(0xf； D、)(20xf；.

2、设)(x在0x的邻域内连续,且有)()()(0xxxxf,则)(0xf( ).

A、0； B、)(0x； C、)(0x； D、.

3.设xxf22cos)(sin,则)(xf( ).

6 A、2sinx； B、cx2cos； C、cx1； D、cxx22.

4.设)(xf在1x点处可微,1)(2xxeef,则)(lim1xfx( ).