大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。
10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导
第一章 函数
一．本章重点
复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求
1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中
⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运
算性质，还能熟练应用它与指数函数 x
y e
=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v
u v u
e =
⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.
4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解
例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2
sin x y e =
⑵.2
1
arctan(
)1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解：
⑴.2,,sin u y e u v v x
===⑵.21
arctan ,, 1.y u u v x v
==
=+
例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：
cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是
(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=.
cot14
arc π
=
四．练习题及参考答案
1. ()arctan f x x =
则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .
2.()arcsin f x x =
则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) =
；f = .
3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3
ln(1)y x =- 答案：
1.（-∞ +∞）, (,
)2
2
π
π
-
,
,04
π
2. []1,1,,,,2223ππππ
??--????
.3. ⑴.,
3u y e u x ==-
⑵.3ln ,
1.
y u u x ==-
自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；
习题一.（B ）.11.
第二章 极限与连续
一．本章重点
极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数
的连续性。
二．复习要求
1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：
1
sin lim sin
0,lim
0x x x
x x
x
→→∞==
3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，
利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当()x α 0时,有：
sin ()x α～()x α； tan ()x α～()x α
()1x e α-～()x α;
ln(1())x α+～()x α
;
1～
()
x n
α
1cos ()x α-～
2()
2
x α.…….
（参见教材P79）
4.掌握两个重要极限:
(Ⅰ).0sin lim
1x x
x
→=
(Ⅱ).1
01lim(1)lim(1)x
x x x e x x
→∞→+==+
记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞型未定式极限：
1
0lim(1)lim(1)x
k x x x k e kx x
→∞→+==+ 1
0lim(1)lim(1)x k
x x x k e kx x
-→∞→-==- 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是：函数在x 0点极限存在且等于
0()f x ，即：
0lim ()()x x f x f x →=
当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时，函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是：
0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -
+→→==.
6. 掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点，函数()f x 在
0x 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：
⑴、()f x 在0x 点无定义；
⑵、0
lim ()x x f x →不存在；
⑶、存在0
lim ()x x f x →，但0
0lim ()()x x f x f x →≠.
若0x 为()f x 的间断点，当)(lim 0
x f x x +→及
)(lim 0x f x x -
→都存在时，称0x 为()f x 的第一类间断
点，特别)(lim 0
x f x x +→＝)(lim 0
x f x x -→时（即0
lim ()
x x f x →存在时），称0x 为()f x 的可去间断点；
)(lim )(lim 0
0x f x f x x x x -+
→→≠时称0x 为()f x 的跳
跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。
三.例题选解
例1.单项选择题
⑴下列极限中正确的是（ ）
A.sin lim
1x x
x
→∞= B. 1
sin lim
11
x x x
→∞=
C. 2
0sin lim
1x x x
→= D. 0tan lim 1x x x →= ⑵ 当0x →
1是2
sin x 的
（ ）
A.低阶无穷小；
B.高阶无穷小；
C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；
D. 等价无穷小； 分析与解：
⑴． A 与 C 显然都不对，对于D, 记tan ()x
f x x
=
， 则tan 0
()tan 0
x x x
f x x x x
?>??=?
?
∴0
tan lim ()lim 1x x x
f x x
++
→→==
tan lim ()lim 1x x x
f x x
--
→→==--0lim ()x f x +→≠
即D 也不对，剩下的B 就是正确答案。
⑵． 由于
2
22200022lim lim 1x x x x x x x →→→=== ∴ 应选择D. 例3.求极限：
⑴0lim x →2ln(1)1cos x x
-- ⑵lim x →∞
2(
)5
x
x x --
解: ⑴ 此极限为
00
型 ∵当0x →时，有
2
ln(1)x -～2
()x -, 1cos x -～2
2
x
∴0lim x →2ln(1)
1cos x x
-- 220lim 22
x x x →-==-
⑵ 此极限为1∞
型，可用重要极限()II 。
lim x →∞
2(
)5x x x -- ＝x
x x )5
31(lim -+∞→
x x x x x ?-?-∞→-+=5
3
35)5
3
1(lim x x x x x ?--∞→??
????-+=5
3
35
)531(lim
3e =. )35
3lim 53lim
(=-=?-∞→∞→x x x x x x Θ
例2．判断函数229
6
x y x x -=-- 的间断点，并
判断其类型。
解：由于229(3)+3)
6(3)(2)
x x x y x x x x --==---+（
∴3,
2x x ==-是函数y 无定义的点，因而是
函数y 的间断点。 ∵33(3)(3)36
lim
lim (3)(2)25
x x x x x x x x →→-++==-++
∴ 3x =为函数 y 的可去间断点； ∵22(3)(3)3
lim
lim (3)(2)2
x x x x x x x x →-→--++==∞-++
∴ 2x =-为函数 y 的第二类（无穷型）间断。
例3．函数
2
1cos 2
()00
x f x x x x k ?
-??=≠??
=??
在点0x =处连续，求常数k .
分析与解：由于分段函数()f x 在分段点0x =的左右两边表达式相同，因此()f x 在0x =连续的充要条件是
lim ()(0).x f x f k →==
∵
2220001cos 82lim ()lim lim x x x x x f x x x
→→→-==代换
1.8
=
∴1.
8k =
四.练习题及参考答案
1.填空
⑴.当0x →时，(1)sin 2x
e x -与
1)ln(12)x +相比，是
__________________无穷小； ⑵.21lim(
)23
x
x x x →∞
-=+ __________________；
⑶.220[cos(3)1]tan
3lim (1)ln(15)
x
x x
x e x →-=-+______________. 2.单项选择题 ⑴．设2
(3)(2)
56
x x y x x +-=
-+，下面说法正确的是________；
A. 点3,2x x =-=都是可去间断点；
B. 点2x =是跳跃间断点，点3x =是无穷间断
点；
C. 点2x =是可去间断点，点3x =是无穷间断
点；
D. 点2x =是可去间断点，点3x =是跳跃间断
点；
⑵．下面正确的是______________. A.0tan lim
1x x
x
→= ； B. 01lim sin 0x x x →=；
C. 0
tan lim
x x
x
→不存在； D. 0tan lim
1x x x →=. 答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵.2
e - ；⑶.3
20
-
. 2. ⑴.C; ⑵.B .
自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺.
27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37．⑴,⑶. 习题二(B).14.
第三章 导数与微分
一.本章重点.
导数的概念，导数及微分的计算.
二.复习要求
1.掌握函数()x ?在0x 处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念，()x ?在0x 处的导数的定义式常用的有如下三种形式：
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
000
()()
lim
h f x h f x h
→+-=
00
()()
lim
x x f x f x x x →-=- .
2.知道导数的几何意义，会求()x ?在0x 处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。
4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。
5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6.掌握函数可微,可导及连续的关系。
三.例题选解
例1.求下列函数的导数：
⑴．2
(1)y f x =＋ ，求,
.y y '''
⑵．y
= 求.y '.
⑶．设y =tan x
e
，求dy
⑷. 3
ln(1)y x =+ ,求y ''
解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，
得：
221()(1)y f x x '''=＋＋ 2(1)2f x x '=+? 22(1)x f x '=?+ .
2
2
2(1)2(1)2y f x xf x x '''''=+++?
2
2
2
2(1)4(1)f x x f x '''=+++
⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。
原方程两边取对数：
ln ln y x =
上式两边对x 求导，视y 为中间变量:
'y y
1
ln x x +
1ln 12y x ?'=?+???
1ln 12x ?
=?+???
1
2
ln (
1)2
x
-
=+ 注：本题除此方法外，也可以：
x
x e
y ln 3?=Θ
)1
3ln 3321
(
ln 3x x x x
e
y x
x ?+??='∴?
⑶． ∵tan (tan )x
y e
x ''=? tan 2sec x e x =? . ∴tan 2sec x
dy e
xdx =?
⑷. 2
3
31x y x '=+
322326(1)33(1)x x x x y x +-?''=+ 332
3(2)(1)x x x -=+
例2. 设()x ?在1x =处可导,且'(1)2?=.
求1(43)lim
1
x x x →---??(1)
分析:将()x ?在1x =处的导数的定义式理解为结构式:
(1)'?=0
(1)(1)
lim
→+-W W W
??
其中W 为1-=?x x 或x ?的函数.且当0→?x 时,0→X 即可. 解:
11(43)lim 1
(1)]lim (3)3(1)3(1)6
x x x x x x f →→-----=?---'=-=-??(1)?[1-3?(1) 例3．求曲线 3
3
3
3x y axy a +-=在点
()0,a 处的切线方程。
解：显然，点()0,
a 在曲线上，
现求切线的斜率，即(0,)y a ' 曲线方程两边对x 求导：
2233330x y y ay axy ''+?--=
解得 2
2ay x y y ax
-'=-
∴(0,)y a '＝1
切线方程为：y a x -= 即 y x a -=
例4、设2
1()000
x e f x x x
x -?-?
=≠??=?
试讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性。 分析与解：由已知，(0)0f =； （1）讨论()f x 在0x =处的连续性。
∵ 2
00201
lim ()lim lim 0(0).
x x x x e f x x x
f x
-→→→-=-=代换＝＝
∴()f x 在0x =处连续。
（2）讨论()f x 在0x =处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求：
(0)
()lim
x f x f f x →-'=-（）０
2
1
lim
x x e x x -→--=-
2
2
2
2001lim lim 1x x x e x x x -→→--===-代换 即存在 () 1.
f '=-０
四.练习题及参考答案
1.单项选择题 .设22
ln(1)0()10
x x x f x x ?-?
≠??
=?
?-=???
下面说法正确的是（ ）. A.()f x 在0x =不连续；
B. .()f x 在0x =连续，但不可导；
C. ()f x 在0x =可导，且(0)1f '=-；
D. ()f x 在0x =可导，且(0)0f '=.
2.填空题
()f x 在0x x =处可导，且0()1f x '=-,则
（1）000
()()
lim
______h f x h f x h h
→+--=
3.求函数的导数或微分： ⑴
1x
y x
=, 求y '
⑵[]
ln(1)
(1)y f x x =-<,
求,y y '''
⑶．y =dy .
4.设3
cos()y x xy =+确定y 是x 的函数，求
dy
dx
，并求出函数在点(0,1)的切线方程。
5、证明：（1）若)(x f 是偶函数且可导，那么)(x f '是奇函数，（2）若)(x f 是奇函数且可导，那么
)(x f '是偶函数，
答案：1.D. 2. 2- 3.⑴.1
2(1ln )x
y x x -'=-
(2).[]1
ln(1)1
y f x x ''=
?-- ； [][]2
21
ln(1)(1)
1ln(1)(1)
y f x x f x x ''''=
--'---
⑶.2
1
x
dy dx x =
-. 4.
21sin()3sin()
dy y xy dx y x xy -=+； 切线方程：33y x -=.
自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺； 47.⑴，⑵．54.
习题三(B) 1 ；3；11.
第四章 中值定理与导数的应用
一.本章重点
求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；
二.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的ξ，掌握拉格朗日定理推论的意义。
2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“
”型或“∞
∞
”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“
00”型或“∞
∞
”型未定式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.
三.例题选解
例1. 求下列极限
(1). 0sin 21
lim ln(1)
x x e x x x x →+--+
(2).
2sin 0
lim x x x +
→ (3). 011lim ln(1)x x x →??-??+??
解：
(1) 0sin 21
lim
()ln(1)
x x e x x x x →+--+ 20sin 21lim x x e x x x
→+--代换
＝ 0cos 20
lim ()20x x e x x →+-洛
＝ 0sin lim ()2
x x e x →-洛
＝不是未定式
12
=
.
(2) 原式为幂指型不定式（0
0型），利用代数变换：ln v
u v u
e =，得：
02sin 2si ln n 2si 0
li ln n m lim lim x x x x x x
x x
e x e ++
+
→?→→?==
其中 0
lim 2sin ln (0)x x x +
→??∞
x x x ln 2lim 0
?=+→ （代换）
02ln lim 1x x x
+→= （∞∞
）
022
lim 1x x x
+
→=-洛
lim(2)0x x +
→=-=. ∴原式＝0
1e =
(3) 011
lim ln(1)x x x →??-??+?
? ()∞-∞型 =0ln(1ln(1)lim
)x x x x x →+-+ 0
()通分化为型
=0ln(1)lim
x x x
x x
→+-? （代换）
01
11lim 2x x x
→-+= （洛必达） ＝01
lim
2(1)2
x x x x →-=-+.
例2.求函数2
1x
y x
=+的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 解：函数2
1x
y x =
+的定义域为(,)-∞+∞ 22
2222(1)21(1)(1)x x x x y x x +-?-'==++，
222224
(2)(1)2(1)2(1)
(1)x x x x x y x -?+-+??-''=+
223
2(3)
(1)x x x -=+ 。
令22
(1)(1)
0(1)x x y x -+'=
=+，得驻点1x =-，
1x =；无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：
令0y ''=
=
得 0,
x x ==y ''不存在的点。曲线的
凹向及拐点列表讨论如下：
由上面的讨论看出： 函数2
1x
y x =
+的单减区间为 (,1)(1,)-∞-?+∞；
单增区间为[1,
1]-。极小值是1
(1)2
y -=-
， 极大值是1(1)2
y =
。 曲线2
1x
y x =
+的凸区间是(,-∞?
凹区间是()?+∞。
曲线2
1x
y x
=+
的拐点有三个：(-， (0,0)
，。 例3.证明不等式
2
1(1)ln(1)(0)2
x x x x x ++<
+>
分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令
2
1()(1)ln(1)2
f x x x x x =++-
- 则问题转化为证()0(0)(0)f x f x <=>
即证在0x >时，()f x 单减。
∵1()ln(1)11x
f x x x x
+'=++
--+ ln(1)x x =+-
1()1011x
f x x x
-''=
-=<++ ∴0x >时，()f x '单减，有
()(0)0f x f ''<=
∴()f x 也单减，有()(0)0f x f <=， 证毕。 例4.证明：对任意1x ≥，有
1arcsin
2
x π
= 分析： 本题为恒等式的证明。我们设
1
()arcsin F x x
=+
由拉格朗日定理的推论，若能证明
()0F x '= 则()F x c ?≡，再确定 2
c π
=
即可。
证：当1x ≥时，
1()()F x '
''=+
2211111x x =-
+-
0=
-
=
∴ ()F x c ≡
∵2
1arcsin 0arctan )1(π
=
+=F
∴ 2
c π
=
，证毕！
例5求出函数5
4
3
551y x x x =-++在区间
[2,1]-上的最大、最小值。
解：显然函数5
4
3
551y x x x =-++在闭区间
[2,1]-上连续，因而必存在最大、最小值。 4322520155(1)(3)y x x x x x x '=-+=--
由0y '=，解得区间(1,2)-内的可疑点为：
120,1x x ==. 比较以下函数值，
(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-
得 max min (1)2,
(1)10f f =-=-.
例 6.某食品加工厂生产x 单位的总成本为
2()20040.03C x x x =++，得到的总收益是2()80.02R x x x =-，求出生产该商品x 单位的
边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。 解：⑴.利润函数
2()()()0.014200L x R x C x x x =-=-+-
边际利润函数()0.024L x x '=-+. ⑵.当300x =时，
(300)0.0230042L '=-?+=
⑶.令()0.0240L x x '=-+= 解得：200x =
(200)0.020L ''=-<，
∴产量200x =单位时，可获最大利润。 注：设函数)(x f y =可导，导函数)(x f '也称为边际函数。
四.练习题与参考答案
1. 求极限 (1) 2
1lim (1cos
)x x x
→∞
- ⑵ 0
11lim(
)sin x x x
→- ⑶ 1ln 0
lim(tan )x
x x +
→
2. 证明. 当1x >时，有: (1)ln 2(1)x x x +>-.
3证明： 21cos 1(0)2
x x x >-
>
4 .求3
2
399y x x x =--+单调区间和极值，凹凸区间和拐点。
5. 证明当0x >时，有：
C =，并求出常数C.
参考答案： 1. (1).
1
2
； ⑵.0 ； ⑶.e . 4. 单增区间(,1)(3,)-∞-?+∞； 单减区间(1,1)-；极大值(1)14y -=， 极小值(3)18y =-；
上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）. 5. 2
C π
=
.
自我复习：
习题四 （A ）
8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。
习题四 （B ） 10；12.
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；
⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
大学各种微积分公式 考务论坛-考巴精修版 关于高等数学计算中涉及的数学公式(集) 一、 (如果系数不是0) 二、重要公式(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)3 、以下常见等价无穷小关系() 四、导数的四种算法 五、基本导数公式 (1)(2)(4)(5)(6)(7)(9)(10)(11)(13)(14)(16)(18)(6 、高阶导数算法) (1) (2) (3) (4)七的N阶导数公式、基本初等函数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 8 、微分公式和微分算法 (1)(2)(4)(5)(6)(7)(9)(10)(11)(13)(14)(9 、微分算法) (1) (2) (3) (4)十、基本积分公式 (1) (2) (3) (5) (6) (7) (9) (10) (11 、下列常用的微分方程 积分变换公式12 、补充了以下积分公式 十三、零件公式积分 (1)形式，秩序，形式，秩序，(2)形式，秩序，形式，秩序，(3)形式，秩序。第二代换积分法中的14 、三角代换公式 (1) (2) (3) 特殊角度的[三角函数值] (1)(2) (3)(4)(5) (1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)不存在(5)(1)不存在
(2)(3)(4)(5)不存在15 、三角函数公式 1. 2角求和公式 2.双角度公式 3.半角公式 4.和微分积公式 5.乘积和差公式 6.通用公式 7.平方关系 8.倒数关系 9.商关系 十六、几个常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程； , 2.齐次微分方程: 3.一阶线性非齐次微分方程；解为:
（1） 1，补集的记号 2，什么是笛卡尔乘积 3，什么是邻域，记号，中心，半径 4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域 5，两个闭区间的直积 6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数 8，逆映射，复合映射 9，多值函数，单值分支 10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义 12，奇偶性、周期性 13，初等函数，基本初等函数 （2） 1，数列极限的定义，用符号语言 2，收敛数列的四个性质 3 (3) 1,函数在某点的极限定义，符号语言 2，函数在无穷大处的极限，符号语言 3，函数极限的性质 （4） 1，无穷小的定义 2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大 4，无穷大和无穷小的定义 （5） 1，有限个无穷小的和 2，有界函数与无穷小的乘积 3，极限的四则运算 4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是 （6） 1，极限存在的夹逼准则 2，单调有界的数列是否存在极限 3，（1+1/x）^x的极限 4，柯西审敛准则
1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小 2，等价无穷小的充要条件 3，两组等价无穷小之间的比例关系 （8） 1，函数连续性的定义，左连续，右连续 2，什么是连续函数 3，间断点的三种情况 4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点 （9） 1，连续函数的四则运算后的连续性 2，反函数和复合函数的连续性 3，初等函数的连续性 （10） 1，有界性与最大最小值定理 2，零点定理 3，介值定理和推论 第二章 （1） 1，导数的定义 2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示 3，可导和连续的关系 （2） 1，函数的和差积商如何求导 2，tanx、secx的导数，cscx和cotx 3，反函数的求导法则是什么 4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数 5，复合函数求导法则 （3） 1，二阶导数的微分表示法 2，莱布尼兹公式 3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导 4，隐函数的求导 5，对数求导法的应用 6，参数所表示的函数怎样求导 7，什么是相关变化率
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
教育类别+ 241 第四章 矢量代数与空间解析几何 微积分二大纲要求 了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图 形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、 垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法， 平面方程和直线方程及其求法. 第一节 矢量代数 一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念 定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。 定义4.2两个矢量a 与b ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。 因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ，则 .||0a a a 若},{321a a a a ，知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算 设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a
大一（上） 微积分 知识点 第一章 函数 一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。 二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者） 三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。 四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。 五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同 六、求反函数：反解互换 七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。 第二章 极限与连续 一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。 二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。 三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，
lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考） 空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 302),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??===??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时， ，当 ： 多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22