运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行
统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、 线性规划的图解法
1. 基本概念
线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2. 线性规划的标准形式
约束条件为等式（=）
约束条件的常数项非负（𝑏𝑗≥0）
决策变量非负（𝑥𝑗≥0）
3. 灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4. 目标函数中的系数𝑐𝑖的灵敏度分析
目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5. 约束条件中常数项𝑏𝑖的灵敏度分析
对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、 线性规划问题在工商管理中的应用
1. 人力资源分配问题（P41）
设x𝑖为第𝑖班次开始上班的人数。
一、课程概述
课程名称：运筹学
授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生
授课时长：共16周，每周2学时
教学目标：
1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。
3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。
4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。
二、教学内容与安排
第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础
1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。
2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。
第3-4周：线性规划
1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。
3. 线性规划的应用实例。
第5-6周：整数规划
1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。
3. 整数规划的应用实例。
第7-8周：非线性规划
1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。 2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。
3. 非线性规划的应用实例。
第9-10周：网络优化
1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。
3. 网络优化的应用实例。
第11-12周：动态规划
1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。
3. 动态规划的应用实例。
第13-14周：排队论
1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。
3. 排队论的应用实例。
第15-16周：案例分析
1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。
2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。
三、教学方法与手段
1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。
一、名词解释（3×5=15分）
1.可行基 2.阶段变量 3.决策变量 4.时差 5.偏差变量
二、判断题（1×10=10分）
1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。
2．若、是某线性规划问题的最优解，则也是该问题的最优解。
3．用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，若存在，且该列系数，则线性问题最优解不存在（无界解）。
4．用单纯形法求解标准型的线性规划问题 时，当所有的检验数时，即可判定表中的解为最优解。
5．若线性规划的可行域是空集，则表明存在矛盾的约束条件。
6．用大M法处理人工变量时，若最终单纯形表上基变量中仍含人工变量，则原问题无可行解。
7．线性规划原问题的对偶问题是原问题。
8．线性规划原问题无可行解，其对偶问题必无可行解。
9．线性规划原问题存在可行解，其对偶问题必定存在可行解。
10．在目标线性规划问题中，正偏差变量取正值，负偏差变量取负值。
三、线性规划问题 (10分)
已知某线性规划问题的初始单纯行表（见表1）和用单纯形法迭代后得到的表（见表2）如下，试求括弧中未知数的值。
表1
x bi
6
1 1 0
-1 3 0 1
2 0 0
表2 x bi
（f）
4 2 -1 1/2 0
1 1/2 1
-7
四、已知线性规划的最终单纯形表（见表3）（10分）
表3
2 5 0 1 0 1/2 1/2
试题结构：1、判断题（10×2`）
2、单选题（10×2`）
3、多选题（5 ×2`）
4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）
第一张 ： 绪论
1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测
3.运用运筹学解决问题的一般过程
（课件答案） （课本答案）
规定目标和明确问题 认清问题
收集数据和建立模型 找出一些可供选择的方案
求解模型和优化方案 确定目标或评估方案的标准
检验模型和评价方案 评估各个方案
方案实施和不断改进 选出一个最优的方案
执行此方案
进行最后评估：问题是否得到圆满解决
第二章 ：线性规划的图解方法
1.怎样辨别一个模型是线性模型？
其特征是：
（1）问题的目标函数是多个决策变量的 线性 函数，通常是求最大值或最小值；
（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的 线性 不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤
决策变量、目标函数、约束条件 3.LP问题的标准型
11max.1,2,,0,1,2,,njjjnijjijjZcxaxbstimxjn
特点：
(1)目标函数求最大值
(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零
