高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：5.双曲线被直线截得的弦长

18.直线与双曲线的位置关系

教学目标 班级_____姓名________

1.了解直线与双曲线的位置关系.

2.掌握双曲线中弦长问题的解法.

教学过程

一、直线与双曲线的位置关系.

1.直线与双曲线的位置关系.

（1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上；

②有一个交点；（直线与渐近线平行时）

（2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切）

（3）相离：直线与双曲线无交点.

2.分析直线与双曲线的位置关系.

（1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点）

（2）通过分析.（注意特殊情况）

3.弦长公式.

设直线方程mkxy，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11yxA，),(22yxB. 则

（1）2122124)(1||xxxxkAB（联立方程，消y，应用韦达定理）；

（2）2122124)(11||yyyykAB（联立方程，消x，应用韦达定理）.

二、例题分析.

1.直线与双曲线的位置关系.

例1：已知双曲线C：1222yx，直线l过点P)1,1(，当斜率k为何值时，直线l与双曲线C：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点.

2.双曲线中的弦长问题.

例2：双曲线的两条渐近线的方程为xy2，且经过点)32,3(，若过双曲线的右焦点F且倾斜角为60的直线交双曲线于A、B两点，求AB弦长.

作业：已知斜率为2的直线l在双曲线12322yx上截得的弦长为4，求直线l的方程.

直线与双曲线的位置关系

【学习目标】

1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；

2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；

3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.

【知识网络】

【要点梳理】

【高清课堂：双曲线的性质371712一、复习】

要点一、双曲线的定义及其标准方程

双曲线的定义

在平面内，到两个定点1F、2F的距离之差的绝对值等于常数2a（a大于0且122aFF）的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F、2F叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

双曲线的标准方程：

焦点在x轴上的双曲线的标准方程

说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2

焦点在y轴上的双曲线的标准方程

双曲线

双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题

双曲线的弦问题 双曲线离心率及渐近线问题

22221(0,0)yaxbba22221(0,0)xaybba

说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2

要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.

要点二、双曲线的几何性质

标准方程 22221xyab(0,0)ab 22221yxab(0,0)ab

图形

性质 焦点 1(,0)Fc，2(,0)Fc 1(0,)Fc，2(0,)Fc

焦距 2212||2()FFccab 2212||2()FFccab

范围 {}xxaxa或，yR {}yyaya或，xR

对称性 关于x轴、y轴和原点对称

今天我们研究双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（大于1）的动点M的轨迹叫做双曲线。定点为双曲线的一个焦点，定直线为双曲线的相应准线。

先看例题：

例：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:alxc的距离之比是常数1cea,求点M的轨迹方程。

解：如图

设d是点M到直线l的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|||54MFd},

即222()xcycaaxc

化简得22222222()()caxayaca

两边同时除以222()aca得22221xyab(0,0)ab其中

整理：

双曲线的第二定义：

平面内，当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2:alxc的距离之比是常数 1cea时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。

其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线2:alxc叫双曲线的一条准线，

常数e是双曲线的离心率。

注意：

1. 22221(0,0)xyabab对应于右焦点2(,0)Fc的准线称为右准线方程为2axc

对应于左焦点1(,0)Fc的准线称为右准线方程为2axc

2.e的几何意义：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

再看一个例题，加深印象

例：如果双曲线22125144xy上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿

解：P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知

a=5，b=12，c=13，135cea

准线方程为22513axc

根据双曲线第二定义得,91345513emm

2550()131325又两准线间的距离为13

45951313P50到右准线的距离为13。

注意：也可以结合双曲线第一定义，直接求得P到右焦点的距离进而求解。

总结： 1.了解双曲线的第二定义中的各常量a，b，c，ca，2ac的几何意义。认识到离

- 1 - 双曲线与直线相交的弦长公式

在数学领域中，双曲线是一个令人着迷的主题。自从第一次被引入以来，它已经成为了许多数学家和学生的研究对象。本文将介绍双曲线与直线相交的弦长公式，这是一个关于双曲线的重要定理，也是许多数学问题的基础。

双曲线的定义

双曲线是一种二次曲线，它是由一个平面上的点P到两个定点F1和F2的距离之差为常数2a所确定的点集。这两个定点F1和F2称为双曲线的焦点，直线F1F2称为双曲线的主轴，距离2a称为双曲线的焦距。

双曲线的方程可以表示为：

(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

其中，a和b分别是双曲线的半轴长，满足a>b>0。双曲线的图形如下所示：

双曲线与直线相交的弦长公式

当双曲线与直线相交时，我们可以通过计算相交部分的弦长来求解双曲线与直线的交点。这里，我们将介绍双曲线与直线相交的弦长公式。

假设双曲线的方程为：

(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

直线的方程为：

y = mx + c - 2 - 其中，m和c分别是直线的斜率和截距。

双曲线与直线相交的点可以通过联立双曲线和直线的方程求解。解出的交点的横坐标为：

x = a * sqrt(1 + m^2) / m

然后，我们可以使用弦长公式计算相交部分的弦长。设交点的横坐标为x1，纵坐标为y1，则相交部分的弦长为：

L = 2 * a * sqrt(1 + m^2) * sqrt(1 + ((c - y1) / (m * a))^2)

这就是双曲线与直线相交的弦长公式。这个公式可以用来计算双曲线与直线的交点和相交部分的弦长，是双曲线相关问题的重要工具。

应用举例

下面，我们将介绍一些应用双曲线与直线相交的弦长公式的例子。