双曲线习题及标准答案

圆锥曲线习题——双曲线

1. 如果双曲线2

42

2y x -

＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)

3

64 (B)

3

6

2 (C)62 (D)32

2. 已知双曲线C ∶22

221(x y a a b

-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的

圆的半径是 （A ）a

(B)b

(C)ab

(D)22b a +

3. 以双曲线

221916

x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．2

2

1090x y x +-+= B ．22

10160x y x +-+= C ．2

2

10160x y x +++=

D ．2

2

1090x y x +++=

4. 以双曲线2

2

2x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．2

2

430x y x +--= Ｂ．22

430x y x +-+= Ｃ．2

2

450x y x ++-=

Ｄ．2

2

450x y x +++=

5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于它到左准

线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

6. 若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心

率是（ ）

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

7. 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为,B C ．若1

2

AB BC =

，则双曲线的离心率是 ( )

A

B

C

D

8. 已知双曲线

)0(1222

2>=-b b

y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）

A. -12

B. -2

C. 0

D. 4 二、填空题

9. 过双曲线

22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______

10. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲

线上存在一点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是．

11. 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于

,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______ 12. 已知点P 在双曲线

22

1169

x y -=上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P 点的横坐标是_________

13. 已知12,F F 是双曲线

22

1169

x y -=的两个焦点，PQ 是过点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么22||||||PF QF PQ +-的值是__________

14. 已知(6,0),(6,0)B C -是ABC 的两个顶点，内角,,A B C 满足

1

sin sin sin 2

B C A -=

，则顶点A 的轨迹方程是________________ 15. 过双曲线42

2

=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0

105的直线，交双曲线于PQ 两点，则

|FP||FQ|的值为__________.

16. 已知P 是双曲线22

221x y a b

-=上除顶点外任意一点，12,F F 为左右焦点，C 为半焦距，

12PF F 内切圆与12F F 切于点M ，则12||||F M F M ⋅的值为__________

三、解答题

17. 如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上

一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线

C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .

若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.

18. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直

于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

19. 已知双曲线2

2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交

于A B ，两点．

（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 已知双曲线C 的方程为22

221(0,0)y x a b a b

-=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距

离为

5

。 （1）求双曲线C 的方程；

（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的